Matrices y sistemas lineales – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo del determinante y de la inversa, la comprobación y el lado correcto de la multiplicación en la ecuación matricial.

   1. \(\det A=6-5=1\) y \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\). Para una matriz \(2\times2\), \(A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\); existe porque \(\det A\neq0\).
   2. \(\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\). Por ejemplo, el elemento (1,1) es \(2\cdot3+1\cdot(-5)=1\) y el (2,1), \(5\cdot3+3\cdot(-5)=0\).
   3. Multiplicando por la izquierda por \(A^{-1}\): \(X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\). No vale \(BA^{-1}\): el producto de matrices no es conmutativo. Comprobación: \(AX=\begin{pmatrix}2-1&-2+2\\5-3&-5+6\end{pmatrix}=B\).

2. Solución del ejercicio 2 (5 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo del determinante, la discusión completa con Rouché-Frobenius y la solución paramétrica.

   1. \(\det=1(2k-9)-1(k-3)+1(3-2)=k-5\). Se desarrolla por la primera fila el determinante \(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&k\end{vmatrix}\).
   2. Si \(k\ne5\): compatible determinado. Si \(k=5\): restando, \(F_2-F_1=(0,1,2|3)\) y \(F_3-F_1=(0,2,4|m-3)\); compatible indeterminado si \(m-3=6\), es decir \(m=9\), e incompatible si \(m\ne9\). Si \(k\neq5\), el rango es 3, igual al número de incógnitas. Si \(k=5\) y \(m=9\), ambos rangos valen 2, menos que 3 incógnitas; si \(m\neq9\), la matriz tiene rango 2 y la ampliada 3.
   3. \(y+2z=3\), \(z=\lambda\): \(y=3-2\lambda\), \(x=3-y-z=\lambda\). Soluciones \((\lambda,\,3-2\lambda,\,\lambda)\). Comprobación con \(\lambda=1\): \((1,1,1)\) cumple \(1+1+1=3\), \(1+2+3=6\) y \(1+3+5=9\).

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   Criterios. Se valora aplicar las propiedades de los determinantes sin desarrollar, justificando cada factor.

   1. \(\det(3A)=3^3(-2)=-54\); \(\det(A^{-1})=-\frac12\). Multiplicar una matriz \(3\times3\) por 3 multiplica cada una de sus 3 filas por 3. Además \(\det(A^{-1})=\frac1{\det A}\).
   2. \(\det(A^TA)=\det A^T\det A=(-2)^2=4\). Se usa \(\det(MN)=\det M\det N\) y \(\det A^T=\det A\).
   3. El intercambio cambia el signo; la suma no lo cambia: \(\det B=2\). Sumar a una fila un múltiplo de otra no altera el determinante; por eso \(\det B=-\det A=2\).

4. Solución del ejercicio 4 (5 puntos)

   Criterios. Se valora el planteamiento del sistema, su resolución ordenada y la interpretación del porcentaje.

   1. \(\begin{cases}x+y+z=30\\200x+400y+700z=11400\\x=2z\end{cases}\) Las incógnitas son \(x\) (paseo), \(y\) (montaña) y \(z\) (eléctricas). La primera ecuación cuenta bicicletas, la segunda la facturación y la tercera relaciona paseo y eléctricas.
   2. Sustituyendo \(x=2z\): \(y=30-3z\) y \(400z+400(30-3z)+700z=11400\), es decir \(12000-100z=11400\), luego \(z=6\), \(x=12\), \(y=12\). Comprobación: \(12+12+6=30\) y \(2400+4800+4200=11400\) €.
   3. Eléctricas: \(6\cdot700=4200\) €, que es \(\frac{4200}{11400}\approx36{,}8\) % de la facturación. Las eléctricas son solo el 20 % de las unidades, pero aportan más de un tercio de los ingresos.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo de las potencias y la comprobación del producto, usando que \(N^3=0\).

   1. \(N^2=\begin{pmatrix}0&0&3\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\) y \(N^3=0\). Por ejemplo, el elemento (1,3) de \(N^2\) es \(0\cdot2+1\cdot3+2\cdot0=3\). En \(N^3=N^2N\), la única fila no nula de \(N^2\), \((0,0,3)\), multiplica a la tercera fila de \(N\), que es nula. \(N\) es nilpotente.
   2. \((I+N)(I-N+N^2)=I-N+N^2+N-N^2+N^3=I+N^3=I\). Basta un producto, porque para matrices cuadradas \(MX=I\) implica \(XM=I\). Es la misma idea que \(\frac1{1+x}=1-x+x^2-\cdots\), con la serie cortada porque \(N^3=0\).

Total : 20 puntos