Aplicaciones lineales – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Una aplicación \(f:V\to W\) es lineal si \(f(\lambda u+\mu v)=\lambda f(u)+\mu f(v)\) para todos los vectores y escalares. Estudia cada caso.

1. \(f(x,y)=(2x+y,\ x-3y)\)
2. \(g(x,y)=(x+1,\ y)\)
3. \(h(x,y)=(xy,\ x)\)
4. \(D:\mathcal P_2\to\mathcal P_1\), \(D(p)=p'\)

Sea \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(f(x,y,z)=(x+2y,\ y-z)\).

1. Calcula \(f(e_1)\), \(f(e_2)\) y \(f(e_3)\).
2. Escribe la matriz \(A\) de \(f\) en las bases canónicas.
3. Calcula \(f(1,1,1)\) y \(f(2,-1,3)\) multiplicando por \(A\).
4. ¿Qué dimensiones tiene \(A\) y por qué?

Sea \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) con matriz \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\3&6&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula el rango de \(A\).
2. Halla una base del núcleo \(\ker f=\{v:\ Av=0\}\).
3. Halla una base de la imagen \(\operatorname{Im}f\) y sus ecuaciones implícitas.
4. Comprueba el teorema de la dimensión \(\dim\ker f+\dim\operatorname{Im}f=3\).

Recuerda: \(f\) es inyectiva si y solo si \(\ker f=\{0\}\), y sobreyectiva si \(\operatorname{Im}f\) es todo el espacio de llegada.

1. \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3\), \(f(x,y)=(x,\,y,\,x+y)\).
2. \(g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\), \(g(x,y,z)=(x+z,\ y)\).
3. \(h:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\), \(h(x,y)=(x+2y,\ 3x+6y)\).
4. ¿Puede existir una aplicación lineal inyectiva de \(\mathbb R^3\) en \(\mathbb R^2\)? Justifica.

Sean \(f(x,y)=(x+y,\ 2y)\) y \(g(x,y)=(x,\ x-y)\) endomorfismos de \(\mathbb R^2\).

1. Escribe sus matrices \(F\) y \(G\).
2. Calcula \(g\circ f\) directamente y con el producto \(GF\).
3. Calcula la matriz de \(f\circ g\). ¿Coincide con la de \(g\circ f\)?
4. ¿Es \(f\) invertible? Calcula \(f^{-1}\).

Sea \(f\) el endomorfismo de \(\mathbb R^2\) con matriz \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}\) en la base canónica y sea \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).

1. Calcula \(f(1,1)\) y \(f(1,-1)\) y exprésalos en la base \(B\).
2. Escribe la matriz \(A_B\) de \(f\) en la base \(B\).
3. Comprueba que \(A_B=P^{-1}AP\) con \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\).
4. Describe geométricamente la acción de \(f\).

Un programa de diseño gráfico creado en Barcelona aplica a los dibujos transformaciones lineales del plano: el giro de \(90^\circ\) \(R\), el estiramiento horizontal \(S\) (duplica la \(x\)) y la reflexión \(T\) respecto del eje \(x\).

1. Escribe las matrices de \(R\), \(S\) y \(T\).
2. El usuario gira y después estira. Escribe la matriz de la composición y halla la imagen del cuadrado de vértices \((0,0),(1,0),(1,1),(0,1)\).
3. ¿Da lo mismo estirar y después girar? Justifica.
4. Calcula el área de la imagen del cuadrado con el determinante.

En un patio de un colegio de Almería se modela la sombra de objetos sobre una recta del suelo. La proyección ortogonal sobre la recta \(y=x\) es \(p(v)=\dfrac{v\cdot u}{u\cdot u}u\) con \(u=(1,1)\).

1. Calcula la matriz \(P\) de \(p\).
2. Calcula \(p(4,2)\) y \(p(1,-1)\).
3. Halla el núcleo y la imagen de \(p\).
4. Comprueba que \(P^2=P\) y explica su significado.

Una escuela de cocina de San Sebastián calcula la proteína y la grasa de sus recetas mediante una aplicación lineal \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) que lleva los gramos de pollo, legumbres y aceite de oliva a los gramos de proteína y de grasa. La tabla da los gramos de cada nutriente por cada 100 g de ingrediente (valores redondeados).

1. Escribe la matriz de \(f\) (con las cantidades en gramos).
2. Calcula los nutrientes de una receta con 200 g de pollo, 150 g de legumbres y 100 g de aceite.
3. Calcula el rango de la matriz y la dimensión del núcleo.
4. ¿Qué significa que el núcleo no sea nulo? ¿Tiene sentido práctico?

Un programa de tipografía de una imprenta de Valladolid convierte las letras normales en cursiva con la cizalla \(c(x,y)=\left(x+\frac14y,\ y\right)\).

1. Escribe la matriz de \(c\) y calcula su determinante.
2. Calcula la imagen del rectángulo de vértices \((0,0),(2,0),(2,4),(0,4)\) que contiene una letra.
3. ¿Cambia el área de la letra? ¿Y su altura?
4. Halla la matriz de la transformación inversa, que devuelve la letra a su forma normal.

La altura de un ascensor de un edificio de Benidorm durante una prueba es \(p(t)=2+3t+t^2-\frac13t^3\) (metros, segundos). La derivación \(D:\mathcal P_3\to\mathcal P_2\) convierte posición en velocidad.

1. Escribe la matriz de \(D\) respecto de las bases \(\{1,t,t^2,t^3\}\) y \(\{1,t,t^2\}\).
2. Calcula la velocidad \(v=D(p)\) usando la matriz.
3. Halla el núcleo y la imagen de \(D\). Interpreta el núcleo.
4. ¿Es \(D\) inyectiva? ¿Es sobreyectiva?

En un modelo de un planetario de Valencia, la Tierra gira alrededor del eje \(z\). El giro de ángulo \(\theta\) es la aplicación lineal de matriz \(R_\theta=\begin{pmatrix}\cos{\left(\theta \right)}&- \sin{\left(\theta \right)}&0\\\sin{\left(\theta \right)}&\cos{\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(\det R_\theta\).
2. Comprueba que \(R_\theta^TR_\theta=I\) y deduce que conserva las longitudes.
3. En 6 horas la Tierra gira \(90^\circ\). ¿Dónde estará el punto \((1,0,1)\)?
4. ¿Qué vectores quedan fijos? Relaciónalo con el núcleo de \(R_\theta-I\).

Una aplicación de fotografía suaviza una fila de 3 píxeles con brillos \((a,b,c)\) sustituyendo cada uno por la media con sus vecinos: \(f(a,b,c)=\left(\frac{a+b}2,\ \frac{a+b+c}3,\ \frac{b+c}2\right)\).

1. Escribe la matriz del filtro.
2. Aplica el filtro a \((3,9,6)\).
3. Calcula el determinante. ¿Se puede deshacer el filtro?
4. Encuentra la fila original que, filtrada, da \((4,5,6)\).

El brazo de un robot de un almacén logístico de Zaragoza mueve paquetes del plano. Primero gira \(90^\circ\) alrededor del origen y después se desplaza 2 unidades a la derecha: \(m(v)=Rv+b\) con \(R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) y \(b=(2,0)\).

1. Calcula \(m(1,0)\), \(m(0,1)\) y \(m(0,0)\).
2. ¿Es \(m\) una aplicación lineal? Justifica.
3. Comprueba que, añadiendo una tercera coordenada igual a 1, \(m\) se escribe como el producto por la matriz \(3\times3\) \(\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
4. ¿Qué punto queda fijo por \(m\)?

Una aplicación lineal queda determinada por las imágenes de una base. Sea \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^2\) con \(f(1,0,0)=(1,1)\), \(f(1,1,0)=(2,0)\) y \(f(1,1,1)=(0,1)\).

1. Justifica que \(\{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)\}\) es base de \(\mathbb R^3\).
2. Calcula \(f(e_2)\) y \(f(e_3)\) usando la linealidad.
3. Escribe la matriz de \(f\) y la expresión \(f(x,y,z)\).
4. Halla el núcleo y la imagen de \(f\).
5. Calcula todos los vectores \(v\) con \(f(v)=(1,1)\) y describe ese conjunto geométricamente.

Sea \(f_a\) el endomorfismo de \(\mathbb R^3\) de matriz \(A_a=\begin{pmatrix}1&a&1\\0&1&a\\1&0&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula \(\det A_a\).
2. ¿Para qué valores de \(a\) es \(f_a\) un isomorfismo?
3. Para el valor en que no lo es, halla bases del núcleo y de la imagen.
4. Para \(a=1\), calcula \(f_1^{-1}(1,1,2)\).

Sea \(\Pi\) el plano \(x+y+z=0\) de \(\mathbb R^3\), con vector normal \(n=(1,1,1)\). La proyección ortogonal sobre \(\Pi\) es \(p(v)=v-\dfrac{v\cdot n}{n\cdot n}n\) y la simetría respecto de \(\Pi\) es \(s(v)=v-2\dfrac{v\cdot n}{n\cdot n}n\).

1. Escribe la matriz \(P\) de \(p\).
2. Halla \(\ker p\) e \(\operatorname{Im}p\) sin cálculos, razonando geométricamente.
3. Escribe la matriz \(S\) de \(s\) y comprueba que \(S=2P-I\).
4. Calcula \(p(3,0,0)\) y \(s(3,0,0)\).
5. Comprueba que \(P^2=P\) y \(S^2=I\) y explica su significado.

Sea \(f:\mathcal P_2\to\mathbb R^2\), \(f(p)=(p(0),\,p(1))\). Este tipo de aplicación se usa en ingeniería para controlar el valor de una curva en ciertos puntos.

1. Demuestra que \(f\) es lineal.
2. Escribe su matriz respecto de \(\{1,x,x^2\}\) y la base canónica.
3. Halla el núcleo y comprueba que está formado por los múltiplos de \(x(x-1)\).
4. ¿Es sobreyectiva? Encuentra todos los \(p\) con \(p(0)=2\) y \(p(1)=5\).

Una aplicación de fotografía convierte un color \((R,G,B)\) en un nivel de gris con \(g(R,G,B)=0{,}299R+0{,}587G+0{,}114B\), porque el ojo es más sensible al verde.

1. Explica por qué \(g:\mathbb R^3\to\mathbb R\) es lineal y escribe su matriz.
2. Calcula el gris del naranja \((255,128,0)\) y del azul \((0,0,255)\).
3. ¿Qué dimensión tiene el núcleo? Da una base.
4. Encuentra un color distinto del naranja con el mismo gris, explica por qué la conversión no se puede deshacer y comenta una consecuencia para las personas daltónicas.

Demuestra los siguientes resultados sobre una aplicación lineal \(f:V\to W\) entre espacios de dimensión finita.

1. \(\ker f\) es un subespacio de \(V\).
2. \(f\) es inyectiva si y solo si \(\ker f=\{0\}\).
3. Si \(\dim V=\dim W\), entonces \(f\) es inyectiva si y solo si es sobreyectiva.
4. Encuentra un endomorfismo \(f\ne0\) de \(\mathbb R^2\) con \(f\circ f=0\) y comprueba que \(\operatorname{Im}f\subseteq\ker f\).