Aplicaciones lineales – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Sea \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\), \(f(x,y,z)=(x-y+2z,\ 2x+y+z,\ x+2y-z)\).

1. (1 pt) Escribe su matriz y calcula el rango.
2. (1,5 pt) Halla una base del núcleo.
3. (1,5 pt) Halla una base y la ecuación implícita de la imagen.

Sean \(f(x,y)=(x+2y,\ y)\) y \(g(x,y)=(2x,\ x+y)\).

1. (2 pt) Calcula las matrices de \(g\circ f\) y \(f\circ g\).
2. (2 pt) Calcula \((g\circ f)^{-1}\).

Sea \(f\) de matriz \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) y \(B=\{(1,1),(1,-1)\}\).

1. (2 pt) Calcula \(f(1,1)\) y \(f(1,-1)\).
2. (2 pt) Escribe la matriz de \(f\) en la base \(B\).

A mediodía, la sombra de un dron que sobrevuela un campo de Albacete es su proyección vertical sobre el suelo: \(p(x,y,z)=(x,y,0)\).

1. (1 pt) Escribe la matriz de \(p\).
2. (1,5 pt) Halla núcleo e imagen e interprétalos.
3. (1 pt) Comprueba que \(P^2=P\).
4. (1,5 pt) Dos drones en \((3,4,10)\) y \((3,4,25)\): ¿qué sombra producen? ¿Por qué \(p\) no es inyectiva?

Sea \(f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2\) lineal con \(f(1,1)=(3,1)\) y \(f(1,-1)=(1,3)\).

1. (2 pt) Calcula \(f(1,0)\), \(f(0,1)\) y la matriz de \(f\).
2. (1 pt) Calcula \(f(5,1)\).