Valores y vectores propios – matemáticas 1º Grado (Universidad): ejercicios para descargar en PDF

Sea \(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\).

1. Calcula el polinomio característico \(p(\lambda)=\det(A-\lambda I)\).
2. Halla los valores propios.
3. Para cada valor propio, halla una base del subespacio propio.
4. Comprueba que \(Av=\lambda v\) para los vectores obtenidos.

Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \((1,1,1)\) es vector propio y di su valor propio.
2. Calcula el rango de \(A-I\) y deduce que 1 es valor propio y la dimensión de \(V_1\).
3. Usa la traza para hallar el valor propio que falta y escribe el polinomio característico.
4. ¿Es \(A\) diagonalizable? Escribe \(P\) y \(D\).

Sea \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\).

1. Calcula los valores propios.
2. Halla una base de vectores propios.
3. Escribe \(P\) y \(D\) con \(P^{-1}AP=D\).
4. Comprueba el resultado calculando \(PD\) y \(AP\).

Una matriz \(n\times n\) es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de sus subespacios propios es \(n\).

1. Estudia \(J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}\).
2. Estudia \(B=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\).
3. ¿Es diagonalizable toda matriz con valores propios distintos?
4. Da un ejemplo de matriz real \(2\times2\) sin valores propios reales e interprétala.

Con \(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}=PDP^{-1}\) del ejercicio 3 se cumple \(A^n=PD^nP^{-1}\).

1. Justifica la fórmula \(A^n=PD^nP^{-1}\).
2. Calcula \(A^n\) en función de \(n\).
3. Calcula \(A^5\) con la fórmula y compruébalo con \(A^2\).
4. Calcula \(\lim_{n\to\infty}\frac{A^n}{3^n}\).

Sea \(A\) una matriz \(3\times3\) con valores propios \(2\), \(-1\) y \(3\).

1. Calcula la traza y el determinante de \(A\).
2. ¿Es \(A\) invertible? ¿Cuáles son los valores propios de \(A^{-1}\)?
3. Calcula los valores propios de \(A^2\) y de \(A+4I\).
4. ¿Es \(A\) diagonalizable?

Un servicio de bicicletas compartidas tiene dos zonas, centro y periferia. Cada hora, el 10 % de las bicis del centro acaba en la periferia y el 20 % de las de la periferia acaba en el centro. Al empezar el día hay 30 bicis en cada zona: \(x_{k+1}=Mx_k\).

1. Escribe la matriz \(M\).
2. Calcula el reparto después de 1 y 2 horas.
3. Halla los valores y vectores propios de \(M\).
4. ¿Hacia qué reparto tiende el sistema? ¿Con qué rapidez se acerca?

En una reserva de Andalucía se estudia una población de lince ibérico con dos clases de edad: jóvenes \(j\) y adultos \(a\). Cada año, cada joven produce de media 0,5 crías y cada adulto 1 cría; la mitad de los jóvenes sobrevive y pasa a adulto, y los adultos no sobreviven más de un año en este modelo simplificado.

1. Escribe la matriz de Leslie \(L\) tal que \((j,a)_{k+1}=L(j,a)_k\).
2. Partiendo de 40 jóvenes y 40 adultos, calcula la población durante 3 años.
3. Halla los valores propios y explica qué indica el mayor.
4. ¿Hacia qué proporción entre jóvenes y adultos tiende la población?

La sucesión de Fibonacci del ejercicio de los girasoles de un jardín botánico cumple \(\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}F_n\\F_{n-1}\end{pmatrix}\) con \(A=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \(A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{pmatrix}\) para \(n=2,3\).
2. Calcula los valores propios de \(A\).
3. Explica por qué \(\frac{F_{n+1}}{F_n}\to\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
4. Usa \(\det(A^n)=(\det A)^n\) para demostrar la identidad de Cassini \(F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).

El borde de un estanque de un parque de Valencia tiene ecuación \(5x^2+4xy+2y^2=6\) (en decámetros). El término \(4xy\) indica que la figura está inclinada. Se escribe como \(v^TQv=6\) con \(Q=\begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}\).

1. Calcula los valores y vectores propios de \(Q\).
2. En la base ortonormal de vectores propios, escribe la ecuación sin término cruzado.
3. Identifica la curva y calcula sus semiejes.
4. Calcula el área del estanque (\(\pi ab\)).

Dos compañías de telefonía móvil se reparten un mercado de 50 millones de líneas. Cada año, el 20 % de los clientes de la compañía A se pasa a B y el 30 % de los de B se pasa a A. Hoy A tiene 10 millones y B 40.

1. Escribe la matriz de transición \(M\).
2. Halla sus valores y vectores propios.
3. Escribe \(x_k\) en función de \(k\).
4. ¿Qué cuota de mercado alcanzará A? ¿Cuántos años tarda en superar el 55 %?

Dos depósitos de una planta de tratamiento de agua de Huelva intercambian una sustancia. Si \(x(t)\) e \(y(t)\) son los kilos en cada uno, \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}'=A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) con \(A=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}\). Inicialmente hay 10 kg en el primero y 0 en el segundo.

1. Halla los valores y vectores propios de \(A\).
2. Justifica que las soluciones son \(c_1e^{-t}(1,1)+c_2e^{-3t}(1,-1)\).
3. Calcula \(c_1\) y \(c_2\) con las condiciones iniciales.
4. ¿Qué ocurre a largo plazo? ¿Cuándo tiene el segundo depósito la máxima cantidad?

En una maqueta de tren de un museo del ferrocarril, dos vagones de masa 1 están unidos entre sí y a dos topes por tres muelles iguales. Sus desplazamientos cumplen \(x''=-Kx\) con \(K=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}\).

1. Calcula los valores y vectores propios de \(K\).
2. Un modo normal es una solución \(x(t)=\cos(\omega t)v\) con \(v\) propio. Comprueba que hace falta \(\omega^2=\lambda\).
3. Describe los dos modos normales y sus frecuencias.
4. ¿Qué modo oscila más rápido? Interpreta físicamente.

En un estudio de un centro de salud de Gijón se miden dos variables estandarizadas de los pacientes. Su matriz de covarianzas es \(C=\begin{pmatrix}25&20\\20&25\end{pmatrix}\).

1. Calcula los valores y vectores propios de \(C\).
2. La varianza total es la traza. ¿Qué porcentaje explica la primera componente principal?
3. Escribe la dirección de la primera componente como vector unitario.
4. ¿Tiene sentido resumir los datos con una sola variable? Justifica.

Sea \(A_a=\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\) con \(a\in\mathbb R\). Queremos saber para qué valores es diagonalizable y, en ese caso, diagonalizarla.

1. Calcula los valores propios y sus multiplicidades algebraicas.
2. Calcula la dimensión de \(V_1\) según el valor de \(a\).
3. Decide para qué valores de \(a\) es diagonalizable.
4. Para \(a=0\), ¿qué matrices \(P\) sirven?
5. Para \(a=1\), ¿puede encontrarse algún vector propio que no esté en el plano \(z=0\) o en el eje \(z\)? Justifica.

Un ingeniero de una empresa de Vitoria sabe que una transformación \(f\) del plano estira por 2 en la dirección \((1,1)\) y por 5 en la dirección \((1,-2)\), y necesita su matriz para programarla.

1. Escribe \(P\) y \(D\).
2. Calcula \(A=PDP^{-1}\).
3. Comprueba que \(A(1,1)^T=2(1,1)^T\) y \(A(1,-2)^T=5(1,-2)^T\).
4. Calcula \(\det A\) y \(\operatorname{tr}A\) y comprueba que coinciden con el producto y la suma de los valores propios.
5. ¿En qué factor multiplica \(f\) el área de las figuras?

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que toda matriz cuadrada anula su polinomio característico. Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\).

1. Calcula el polinomio característico \(p(\lambda)\).
2. Comprueba que \(p(A)=A^2-4A+3I=0\).
3. Deduce una fórmula para \(A^{-1}\) sin hacer Gauss.
4. Expresa \(A^3\) y \(A^4\) como combinación de \(A\) e \(I\).

Las matrices simétricas reales se diagonalizan con una matriz ortogonal (\(Q^{-1}=Q^T\)). Sea de nuevo \(A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\).

1. Comprueba que \((1,1,1)\) es ortogonal a \(V_1=\{x+y+z=0\}\).
2. Halla una base ortonormal de \(V_1\) (empieza por \((-1,1,0)\) y busca otro vector de \(V_1\) perpendicular).
3. Escribe la matriz ortogonal \(Q\) y \(Q^TAQ\).
4. ¿Por qué en una matriz simétrica los subespacios propios de valores distintos son siempre perpendiculares?

Un buscador ordena tres páginas web de una universidad. La página 1 enlaza a la 2 y a la 3; la 2 enlaza a la 3; y la 3 enlaza a la 1. Un internauta que salta al azar por los enlaces se describe con \(x_{k+1}=Gx_k\), donde \(G=\begin{pmatrix}0&0&1\\\frac{1}{2}&0&0\\\frac{1}{2}&1&0\end{pmatrix}\).

1. Explica el significado de la primera columna de \(G\).
2. Comprueba que 1 es valor propio de \(G\) (las columnas suman 1).
3. Halla el vector propio de valor 1 cuyas componentes suman 1.
4. Ordena las páginas por importancia. ¿Por qué la página 3 empata con la 1 aunque recibe más enlaces?

Demuestra los siguientes resultados.

1. Vectores propios de valores propios distintos son linealmente independientes (hazlo para dos).
2. Si \(A^2=A\), sus únicos valores propios posibles son 0 y 1.
3. Los valores propios de una matriz simétrica real son reales (usa \(\overline v^TAv\)).
4. Si \(A\) es diagonalizable y todos sus valores propios son 1, entonces \(A=I\).