Patrones y sucesiones – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(a_n=7+4(n-1)=4n+3\). Sumamos 4 por cada salto desde el primer término y simplificamos. Comprobación: \(4\cdot1+3=7\).
   2. \(a_{15}=4\cdot15+3=63\). Sustituimos \(n=15\) en el término general.
   3. \(S_{15}=\dfrac{(7+63)\cdot15}{2}=525\). Aplicamos la fórmula de la suma con el primer y el último término. Respuesta: 525.

   Criterios de corrección: a) 1 punto por \(a_n=4n+3\); b) 1 punto por \(a_{15}=63\); c) 2 puntos por \(S_{15}=525\), uno por la fórmula con primer y último término y otro por el cálculo \(\dfrac{70\cdot15}{2}\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(a_n=5\cdot3^{n-1}\) y \(a_6=5\cdot3^5=1\,215\). La razón se multiplica \(n-1\) veces: \(3^5=243\) y \(5\cdot243=1\,215\).
   2. \(S_5=\dfrac{5(3^5-1)}{3-1}=\dfrac{5\cdot242}{2}=605\). (Comprobación: \(5+15+45+135+405=605\).) Usamos la fórmula de la suma de una progresión geométrica con \(r=3\).

   Criterios de corrección: en a) 0,5 puntos por el término general \(a_n=5\cdot3^{n-1}\) y 1 punto por \(a_6=1\,215\), que exige el exponente 5 y no 6. En b) 1,5 puntos por aplicar la fórmula de la suma geométrica y 1 punto por el resultado 605, que coincide con la suma directa de los cinco términos.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. Aritmética con \(a_1=4\) y \(d=5\): \(a_n=4+5(n-1)=5n-1\). La diferencia entre términos consecutivos es siempre 5.
   2. \(5n-1=94\), \(5n=95\), \(n=19\): sí, es el término 19. Igualamos el término general a 94; la solución es un número natural, así que 94 es un término.

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos, uno por la diferencia 5 y medio por simplificar. En b) 1,5 puntos por resolver \(5n-1=94\) y concluir que \(n=19\) es natural.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Cada triángulo añade 2 palillos: \(a_n=3+2(n-1)=2n+1\). El primer triángulo usa 3 palillos y cada uno nuevo comparte un lado con el anterior.
   2. \(a_{20}=2\cdot20+1=41\) palillos. Sustituimos \(n=20\).
   3. \(2n+1=61\), \(n=30\) triángulos. Igualamos a 61 y despejamos \(n\).

   Criterios de corrección: en a) 1,5 puntos por \(a_n=2n+1\), justificado porque cada triángulo nuevo añade 2 palillos; en b) 0,5 puntos por 41 palillos; en c) 1 punto por 30 triángulos, con la comprobación \(2\cdot30+1=61\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(a_n=20+8(n-1)=8n+12\). Es una progresión aritmética con \(a_1=20\) y \(d=8\).
   2. \(a_{12}=8\cdot12+12=108\) €.
   3. \(S_{12}=\dfrac{(20+108)\cdot12}{2}=768\) €.
   4. \(8n+12>150\), \(8n>138\), \(n>17{,}25\). En el mes 18 ahorra \(a_{18}=156\) €.
   5. \(S_{18}=\dfrac{(20+156)\cdot18}{2}=1\,584\) €.

   Criterios de corrección: término general \(8n+12\) 1,5 puntos; ahorro del mes 12, 108 €, 1 punto; total de 12 meses, 768 €, 1,5 puntos; mes 18 con 156 € 1,5 puntos, comprobando que en el mes 17 ahorra 148 €; total de 18 meses, 1 584 €, 0,5 puntos.

Total : 20 puntos