Funciones lineales y cuadráticas – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Sí: cada \(x\) tiene un solo \(y\). Cada vez que \(x\) aumenta 1, \(y\) aumenta 2, y con \(x=1\) vale 3: \(y=2x+1\).
   2. No: a \(x=1\) le corresponden dos valores, \(y=2\) e \(y=3\).
   3. Pares: \((-2,4)\), \((-1,1)\), \((0,0)\), \((1,1)\), \((2,4)\). Es función (aunque dos valores de \(x\) den el mismo \(y\), cada \(x\) tiene un único \(y\)).
   4. No: una recta vertical que pase por el interior de la circunferencia la corta en dos puntos, es decir, a ese valor de \(x\) le corresponden dos valores de \(y\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(f(0)=5\); \(f(3)=-6+5=-1\); \(f(-1)=2+5=7\). Sustituimos cada valor de \(x\) en la expresión, cuidando los signos.
   2. \(-2x+5=11\), \(-2x=6\), \(x=-3\). Igualamos la expresión a 11 y despejamos. Comprobación: \(f(-3)=6+5=11\).
   3. \(-2x+5=0\), \(x=\dfrac{5}{2}=2{,}5\). Es el punto donde la recta corta al eje \(X\): \((2{,}5;\ 0)\).
   4. \(f(4)=-8+5=-3\). Sí pertenece a la gráfica. Un punto pertenece a la gráfica si sus coordenadas cumplen la ecuación.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(m=3\), \(n=-2\). Creciente, porque \(m>0\). La recta corta al eje \(Y\) en \((0,-2)\).
   2. \(m=-\dfrac{1}{2}\), \(n=4\). Decreciente, porque \(m<0\). Por cada 2 unidades que avanza \(x\), \(y\) baja 1.
   3. \(m=0\), \(n=5\). Constante: recta horizontal. El valor de \(y\) no depende de \(x\).
   4. \(m=-4\), \(n=0\). Decreciente; pasa por el origen (proporcionalidad directa). La ordenada en el origen es cero, así que la recta pasa por \((0,0)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(m=\dfrac{7-3}{3-1}=2\). Con \(A\): \(3=2+n\), \(n=1\). \(y=2x+1\). Comprobación con \(B\): \(2\cdot3+1=7\).
   2. \(m=\dfrac{-3-5}{2-(-2)}=-2\). Con \(D\): \(-3=-4+n\), \(n=1\). \(y=-2x+1\). Comprobación con \(C\): \(-2\cdot(-2)+1=5\).
   3. \(n=4\) (corta al eje \(Y\) en \((0,4)\)) y \(m=\dfrac{1-4}{6-0}=-\dfrac{1}{2}\). \(y=-\dfrac{1}{2}x+4\). Comprobación con \(F\): \(-3+4=1\).
   4. \(m=\dfrac{9-5}{0}\) no existe: la recta es vertical, \(x=2\), y no es la gráfica de una función. Los dos puntos tienen la misma abscisa, así que no hay una \(y\) única para \(x=2\).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(x=-1\): \(-6\); \(x=0\): \(-4\); \(x=2\): \(0\); \(x=4\): \(4\).
   2. Eje \(Y\): \(x=0\), \(y=-4\), punto \((0,-4)\). Eje \(X\): \(2x-4=0\), \(x=2\), punto \((2,0)\).
   3. Se marcan \((0,-4)\) y \((2,0)\) y se traza la recta que pasa por ellos, extendiéndola.
   4. \(2\cdot7-4=10\): sí pasa por \((7,10)\). Las coordenadas cumplen la ecuación, así que el punto está en la recta.

6. Solución del ejercicio 6

   1. Pendiente 3: \(y=3x+n\). Con \((1,5)\): \(5=3+n\), \(n=2\). \(y=3x+2\). Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
   2. \(x+3=-2x+9\), \(3x=6\), \(x=2\) y \(y=5\). Punto \((2,5)\). Igualamos las dos expresiones de \(y\) y despejamos \(x\).
   3. Tienen la misma pendiente y distinta ordenada: son paralelas y no se cortan.
   4. Primera: \(2+3=5\). Segunda: \(-4+9=5\). Coinciden. El punto \((2,5)\) está en las dos rectas.

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(x_v=-\dfrac{-4}{2}=2\) e \(y_v=4-8+3=-1\). Vértice \(V(2,-1)\).
   2. Eje \(Y\): \((0,3)\). Eje \(X\): \(x^2-4x+3=0\), \(x=\dfrac{4\pm2}{2}\): \(x=1\) y \(x=3\).
   3. \(x=-1\): 8; \(x=0\): 3; \(x=1\): 0; \(x=2\): \(-1\); \(x=3\): 0; \(x=4\): 3.
   4. Como \(a=1>0\), las ramas van hacia arriba y el vértice es un mínimo. El eje de simetría es la recta \(x=2\).

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(x_v=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}=3\) e \(y_v=-9+18-5=4\). Vértice \(V(3,4)\). Usamos \(x_v=-\dfrac{b}{2a}\) con \(a=-1\) y \(b=6\), y sustituimos para hallar \(y_v\).
   2. \(-x^2+6x-5=0\) equivale a \(x^2-6x+5=0\), \(x=\dfrac{6\pm4}{2}\): \(x=1\) y \(x=5\). Multiplicamos por \(-1\) para trabajar con \(a=1\). Los cortes con el eje \(X\) son \((1,0)\) y \((5,0)\).
   3. \(x=0\): \(y=-5\). Punto \((0,-5)\). El corte con el eje \(Y\) es siempre el término independiente.
   4. Como \(a=-1<0\), las ramas van hacia abajo y el vértice es un máximo de valor 4. Respuesta: la función tiene un máximo en \(V(3,4)\), de valor 4.

9. Solución del ejercicio 9

   1. Se unen los puntos \((0,0)\), \((5,400)\), \((10,800)\), \((15,800)\), \((20,800)\) y \((25,1\,200)\): la gráfica sube, se queda horizontal y vuelve a subir.
   2. En 10 minutos recorre 800 m: \(\dfrac{800}{10}=80\) m/min.
   3. Entre el minuto 10 y el 20 la distancia no cambia: está parada 10 minutos (por ejemplo, esperando a una amiga o en un semáforo).
   4. Distancia total: 1 200 m. Velocidad media: \(\dfrac{1\,200}{25}=48\) m/min.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(A(x)=6+0{,}04x\) y \(B(x)=0{,}10x\).
    2. \(A(150)=6+6=12\) €. \(6+0{,}04x=14\), \(0{,}04x=8\), \(x=200\) minutos.
    3. \(6+0{,}04x=0{,}10x\), \(6=0{,}06x\), \(x=100\) minutos (10 € en las dos).
    4. Con 60 min: A \(=8{,}40\) € y B \(=6\) €: conviene B. Con 300 min: A \(=18\) € y B \(=30\) €: conviene A.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(A(h)=4+1{,}5h\) y \(B(h)=2{,}5h\).
    2. \(A(2)=4+3=7\) € y \(B(2)=5\) €.
    3. \(4+1{,}5h=2{,}5h\), \(4=h\). A las 4 horas ambas cuestan 10 €.
    4. Las rectas se cortan en \((4,10)\). Para menos de 4 horas la recta B está por debajo (conviene B); para más de 4 horas conviene A.

12. Solución del ejercicio 12

    1. Consume \(0{,}06\) L/km: \(V(x)=48-0{,}06x\). Por cada kilómetro consume \(6:100=0{,}06\) litros, y partimos de 48 litros.
    2. \(V(400)=48-24=24\) L. Respuesta: tras 400 km quedan 24 litros, la mitad del depósito.
    3. \(48-0{,}06x=6\), \(0{,}06x=42\), \(x=700\) km. Igualamos la función a 6 y despejamos. Respuesta: puede recorrer 700 km.
    4. \(48-0{,}06x=0\), \(x=800\) km. La autonomía es la distancia que recorre hasta que el depósito se vacía. Respuesta: 800 km.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(T(h)=19{,}5-6{,}5h\). Partimos de 19,5 °C y restamos 6,5 °C por cada kilómetro.
    2. \(T(2)=19{,}5-13=6{,}5\) °C. Respuesta: a 2 km de altitud hace 6,5 °C.
    3. \(19{,}5-6{,}5h=0\), \(h=3\) km. Igualamos a 0 y despejamos \(h\). Respuesta: a 3 km de altitud.
    4. Pendiente \(-6{,}5\): baja 6,5 °C por kilómetro de subida. Ordenada 19,5: temperatura a nivel del mar.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(A(x)=x(20-x)=-x^2+20x\). Es de segundo grado con \(a=-1\).
    2. \(A(5)=5\cdot15=75\) m\(^2\) y \(A(15)=15\cdot5=75\) m\(^2\) (misma área: simetría).
    3. \(x_v=-\dfrac{20}{2\cdot(-1)}=10\) e \(y_v=100\). El área máxima, 100 m\(^2\), se logra con un cuadrado de 10 m de lado.
    4. \(-x^2+20x=96\), \(x^2-20x+96=0\), \(x=\dfrac{20\pm4}{2}\): \(x=12\) y \(x=8\) (huerto de 12 m por 8 m).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(I(p)=200p-4p^2=-4p^2+200p\). Aplicamos la propiedad distributiva.
    2. \(I(10)=-400+2\,000=1\,600\) €. Con 10 € asisten 160 personas: \(10\cdot160=1\,600\) €.
    3. \(p_v=-\dfrac{200}{2\cdot(-4)}=25\). Asisten \(200-100=100\) personas y se recaudan \(25\cdot100=2\,500\) €. El vértice de una parábola con \(a<0\) es un máximo.
    4. \(-4p^2+200p-1\,600=0\), \(p^2-50p+400=0\), \(p=\dfrac{50\pm30}{2}\): \(p=10\) € o \(p=40\) €. Respuesta: se recaudan 1 600 € con un precio de 10 € o de 40 €.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(-0{,}05x^2+2x=0\), \(x(-0{,}05x+2)=0\): \(x=0\) y \(x=40\). El puente mide 40 m.
    2. \(x_v=-\dfrac{2}{2\cdot(-0{,}05)}=20\) y \(h(20)=-20+40=20\) m.
    3. \(h(10)=-5+20=15\) m.
    4. El barco ocupa de \(x=10\) a \(x=30\). A esa distancia el arco solo tiene \(h=15\) m, menos de 16 m: no puede pasar. (Para 16 m, el ancho libre sería de unos \(2\sqrt{80}\approx17{,}9\) m.)

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(C(x)=200+4x\) e \(I(x)=9x\). El coste tiene una parte fija y una parte que depende del número de camisetas.
    2. \(B(x)=9x-200-4x=5x-200\). Cada camiseta deja un beneficio de 5 €, que es la pendiente.
    3. \(5x-200=0\), \(x=40\) camisetas (punto de equilibrio). Igualamos el beneficio a cero. Respuesta: hay que vender 40 camisetas.
    4. \(B(100)=500-200=300\) €. \(5x-200=500\), \(5x=700\), \(x=140\) camisetas. Respuesta: con 100 camisetas gana 300 €, y para ganar 500 € hay que vender 140.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(V_1(t)=500-20t\) y \(V_2(t)=100+30t\).
    2. \(500-20t=100+30t\), \(400=50t\), \(t=8\) min. Cantidad: \(500-160=340\) L (y \(100+240=340\) L). Igualamos las dos expresiones y despejamos \(t\).
    3. \(500-20t=0\), \(t=25\) min. Igualamos \(V_1\) a cero. Respuesta: se vacía a los 25 minutos.
    4. Una recta baja y la otra sube. Se cortan en \((8,340)\): a los 8 minutos los dos depósitos tienen 340 litros.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(-0{,}02x^2+x=0\), \(x(-0{,}02x+1)=0\): \(x=0\) o \(x=50\). Cae a 50 m.
    2. \(x_v=-\dfrac{1}{2\cdot(-0{,}02)}=25\) m y \(h(25)=-12{,}5+25=12{,}5\) m.
    3. \(-0{,}02x^2+x=8\), \(x^2-50x+400=0\), \(x=\dfrac{50\pm30}{2}\): \(x=10\) m (subiendo) y \(x=40\) m (bajando).
    4. A 40 m el balón está a 8 m de altura, muy por encima de los 2 m del defensa: no puede cabecear, el balón pasa por encima.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \((0,3)\): \(c=3\). \((1,0)\): \(1+b+3=0\), \(b=-4\). La parábola es \(y=x^2-4x+3\).
    2. \(x^2-4x+3=-x+3\), \(x^2-3x=0\), \(x(x-3)=0\): \(x=0\) y \(x=3\). Puntos \((0,3)\) y \((3,0)\).
    3. Debe ser \(\Delta=0\): \(16-4k=0\), \(k=4\). Entonces \(y=(x+2)^2\) toca al eje en \((-2,0)\).
    4. Cortes: \((0,6)\) y \((3,0)\). Triángulo rectángulo de catetos 3 y 6: área \(=\dfrac{3\cdot6}{2}=9\).