Números racionales y raíces – matemáticas 3º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Clasifica cada número indicando el conjunto más pequeño al que pertenece: naturales \(\mathbb{N}\), enteros \(\mathbb{Z}\), racionales \(\mathbb{Q}\) o irracionales.

1. \(7\), \(-3\) y \(\sqrt{16}\)
2. \(\dfrac{2}{5}\), \(1{,}25\) y \(0{,}\overline{3}\)
3. \(\sqrt{2}\), \(\pi\) y \(\sqrt{10}\)
4. ¿Es racional \(0{,}1010010001\ldots\) (con un cero más cada vez)? Razona.

Para comparar fracciones se reducen a común denominador o se pasan a decimales.

1. Simplifica \(\dfrac{18}{24}\) y \(\dfrac{45}{60}\). ¿Son equivalentes?
2. Compara \(\dfrac{5}{6}\) y \(\dfrac{7}{9}\).
3. Ordena de menor a mayor \(\dfrac{2}{3}\), \(\dfrac{3}{5}\) y \(\dfrac{7}{10}\).
4. Escribe una fracción comprendida entre \(\dfrac{1}{3}\) y \(\dfrac{1}{2}\).

Reduce a común denominador (con el mínimo común múltiplo) y simplifica el resultado.

1. \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}\)
2. \(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{4}\)
3. \(\dfrac{3}{5}+\dfrac{7}{10}-\dfrac{1}{2}\)
4. \(2-\dfrac{3}{8}\)

Multiplica numeradores entre sí y denominadores entre sí. Para dividir, multiplica por la fracción inversa.

1. \(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{9}{4}\)
2. \(\dfrac{5}{6}:\dfrac{10}{9}\)
3. \(\left(-\dfrac{3}{4}\right)\cdot\dfrac{8}{15}\)
4. \(\dfrac{2}{5}:\left(-\dfrac{4}{3}\right)\)

Respeta la jerarquía: paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas.

1. \(\dfrac{3}{4}-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)\cdot\dfrac{6}{5}\)
2. \(\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}\right):\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}\right)\)

Para un decimal periódico puro: \(x=0{,}\overline{6}\), \(10x=6{,}\overline{6}\), y restando, \(9x=6\). Para uno mixto se multiplica de modo que las partes decimales coincidan.

1. \(0{,}75\)
2. \(0{,}\overline{6}\)
3. \(1{,}\overline{2}\)
4. \(2{,}1\overline{6}\)

Calcula o acota cada raíz y simplifica sacando factores del radicando.

1. \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{0{,}25}\) y \(\sqrt{\dfrac{9}{16}}\)
2. ¿Entre qué dos números enteros están \(\sqrt{50}\) y \(\sqrt{20}\)?
3. Simplifica \(\sqrt{12}\), \(\sqrt{45}\) y \(\sqrt{50}\).
4. Aproxima \(\sqrt{50}\) con dos decimales.

El error absoluto es \(|\text{valor exacto}-\text{aproximación}|\) y el error relativo es el error absoluto dividido entre el valor exacto.

1. Redondea \(\pi=3{,}14159\ldots\) a las centésimas y calcula el error absoluto aproximado.
2. Trunca y redondea \(\sqrt{2}=1{,}41421\ldots\) a las milésimas.
3. ¿Qué aproximación de \(\dfrac{1}{3}\) es mejor: \(0{,}33\) o \(0{,}333\)? Calcula los errores.
4. Calcula el error relativo (en %) de aproximar \(\pi\) por 3,14.

Un número en notación científica se escribe \(a\cdot10^n\) con \(1\le a<10\).

1. Escribe en notación científica: \(45\,000\,000\) y \(0{,}00032\).
2. Escribe con todas sus cifras: \(6{,}02\cdot10^{3}\) y \(5\cdot10^{-4}\).
3. Calcula \((3\cdot10^5)\cdot(2\cdot10^3)\).
4. Calcula \((8\cdot10^6):(2\cdot10^2)\).

Una receta de tarta de manzana para 6 personas lleva \(\dfrac{3}{4}\) kg de harina, \(\dfrac{2}{3}\) L de leche y \(\dfrac{1}{2}\) kg de azúcar. Un restaurante de Bilbao quiere preparar la tarta para 10 personas.

1. Calcula el factor por el que hay que multiplicar las cantidades.
2. Calcula la harina necesaria.
3. Calcula la leche necesaria.
4. Calcula el azúcar necesario y exprésalo también en gramos.

Pablo, un alumno de Tarragona, reparte las 24 horas del día así: \(\dfrac{1}{3}\) durmiendo, \(\dfrac{1}{4}\) en el instituto, \(\dfrac{1}{6}\) en actividades de ocio y el resto en otras cosas.

1. ¿Qué fracción del día dedica a las otras cosas?
2. Calcula las horas de cada actividad.
3. ¿Qué fracción del día es el tiempo de sueño más el de ocio?
4. Comprueba que las horas suman 24.

En un club deportivo de Alicante, un grifo llena una piscina infantil en 6 horas y otro la llena en 4 horas.

1. ¿Qué fracción de la piscina llena cada grifo en una hora?
2. ¿Qué fracción llenan los dos juntos en una hora?
3. ¿Cuánto tardan en llenarla abriendo los dos grifos?
4. Expresa ese tiempo en horas y minutos.

El Sol está a \(1{,}5\cdot10^8\) km de la Tierra y la luz viaja a \(3\cdot10^5\) km/s.

1. Escribe la distancia y la velocidad con todas sus cifras.
2. Calcula el tiempo que tarda la luz en llegar, en notación científica y en segundos.
3. Expresa ese tiempo en minutos y segundos.
4. Una nave que viaja a \(3\cdot10^1\) km/s (30 km/s), ¿cuánto tardaría? Expresa el resultado en días aproximados.

España tiene unos \(4{,}8\cdot10^7\) habitantes y una superficie de \(5{,}06\cdot10^5\) km\(^2\). Una isla vecina tiene \(2{,}4\cdot10^5\) habitantes en \(8{,}0\cdot10^2\) km\(^2\).

1. Escribe los datos de España con todas sus cifras.
2. Calcula la densidad de población de España (habitantes por km\(^2\)).
3. Calcula la densidad de la isla.
4. ¿Cuántas veces mayor es la densidad de la isla que la de España?

Tres hermanos de Cuenca heredan 120 000 €. El mayor recibe \(\dfrac{1}{2}\) de la herencia, el mediano \(\dfrac{1}{3}\) y el pequeño el resto.

1. ¿Qué fracción recibe el pequeño?
2. Calcula cuánto dinero recibe cada hermano.
3. ¿Cuánto más recibe el mayor que el pequeño y qué fracción del total es esa diferencia?
4. Comprueba que se reparte toda la herencia.

Un depósito de 1 200 litros de un colegio de Cáceres se consume así: el lunes \(\dfrac{1}{5}\) del total, el martes \(\dfrac{1}{4}\) del total y el miércoles \(\dfrac{1}{3}\) de lo que quedaba.

1. Calcula los litros consumidos el lunes y el martes.
2. ¿Cuántos litros quedaban el martes por la noche?
3. Calcula los litros consumidos el miércoles.
4. ¿Qué fracción del depósito queda al acabar el miércoles?

Un solar cuadrado de una urbanización de Alcalá de Henares tiene un área de 50 m\(^2\).

1. Calcula el lado exacto y su valor aproximado con dos decimales.
2. Calcula el perímetro exacto y aproximado.
3. Calcula la diagonal del solar con el teorema de Pitágoras.
4. Si la valla cuesta 12 € el metro, calcula el coste aproximado de vallar el solar.

Una familia viaja 160 km desde Ourense hasta Santiago de Compostela. En la primera parada ha recorrido \(\dfrac{3}{8}\) del camino y en la segunda otro \(\dfrac{1}{4}\) del camino total.

1. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en la primera parada?
2. ¿Cuántos kilómetros recorre en el segundo tramo?
3. ¿Qué fracción del camino queda por recorrer y cuántos kilómetros son?
4. Si conduce a 80 km/h, ¿cuánto tiempo necesita para el último tramo?

Una célula de la piel mide \(2\cdot10^{-5}\) m y un glóbulo rojo mide \(7\cdot10^{-6}\) m.

1. Escribe ambas longitudes en milímetros y en notación científica.
2. ¿Cuántas células colocadas en fila caben en 1 mm?
3. ¿Cuántos glóbulos rojos caben en 1 mm (en notación científica y aproximado)?
4. ¿Cuántas veces es mayor la célula que el glóbulo rojo?

Aplica lo aprendido a estos retos.

1. Demuestra que \(0{,}\overline{9}=1\) con el método de la generatriz.
2. Escribe un número irracional comprendido entre 2 y 3 y justifica que lo es.
3. Calcula \(\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\). ¿El resultado es racional?
4. ¿Es racional \(\sqrt{\dfrac{4}{9}}\)? Calcúlalo.