Congruencia, semejanza y Pitágoras – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Criterio LAL: dos lados y el ángulo comprendido iguales.
   2. Sí: criterio LLL (los tres lados son iguales).
   3. Sí: criterio ALA (dos ángulos y el lado comprendido iguales); el tercer ángulo es \(180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\) en los dos.
   4. No: tres ángulos iguales (AAA) no bastan. Un triángulo de lados 3, 4, 5 y otro de 6, 8, 10 tienen los mismos ángulos y no son congruentes (son semejantes).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(k=\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{4}=\dfrac{10}{5}=2\). Dividimos cada lado del triángulo grande entre su correspondiente del pequeño; los tres cocientes valen lo mismo.
   2. Perímetros: \(3+4+5=12\) y \(6+8+10=24\). El segundo es el doble (\(k=2\)).
   3. Áreas: \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) y \(\dfrac{6\cdot8}{2}=24\). Cada triángulo es rectángulo, así que su área es el producto de los catetos dividido entre 2.
   4. \(\dfrac{24}{6}=4=2^2=k^2\): el área se multiplica por 4. Respuesta: el área del triángulo grande es 4 veces la del pequeño.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(k=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\). Dividimos el lado menor del segundo entre el lado menor del primero.
   2. \(9\cdot\dfrac{2}{3}=6\) cm y \(12\cdot\dfrac{2}{3}=8\) cm. Multiplicamos cada lado del primer triángulo por la razón \(k\).
   3. Primero: \(6+9+12=27\) cm. Segundo: \(4+6+8=18\) cm (\(27\cdot\dfrac{2}{3}=18\)). El perímetro también se multiplica por \(k\).
   4. \(k^2=\dfrac{4}{9}\): el área del segundo es \(\dfrac{4}{9}\) del área del primero.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x=\dfrac{4\cdot9}{6}=6\). Multiplicamos en cruz y despejamos \(x\). Comprobación: \(\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}\). Respuesta: \(x=6\).
   2. \(x=\dfrac{5\cdot14}{10}=7\). Multiplicamos en cruz: \(10x=5\cdot14=70\). Comprobación: \(\dfrac{5}{7}=\dfrac{10}{14}\). Respuesta: \(x=7\).
   3. \(\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}\): \(\dfrac{3}{2}=\dfrac{4{,}5}{EC}\), \(EC=\dfrac{2\cdot4{,}5}{3}=3\). Como \(DE\) es paralela a \(BC\), el teorema de Tales asegura que los segmentos de los dos lados son proporcionales. Respuesta: \(EC=3\).
   4. \(AB=5\) y \(AC=7{,}5\): \(\dfrac{3}{5}=0{,}6\) y \(\dfrac{4{,}5}{7{,}5}=0{,}6\). Coinciden. Respuesta: la proporción se cumple, así que \(EC=3\) es correcto.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{x}\). Por el teorema de Tales, los segmentos correspondientes de las dos transversales son proporcionales.
   2. \(x=\dfrac{5\cdot6}{3}=10\) cm. Multiplicamos en cruz: \(3x=30\). Respuesta: el segundo segmento mide 10 cm.
   3. Primera: \(3+5=8\) cm. Segunda: \(6+10=16\) cm. Sumamos los dos segmentos de cada transversal.
   4. \(\dfrac{16}{8}=2\). Respuesta: la segunda transversal mide el doble que la primera, igual que cada pareja de segmentos (\(6:3=10:5=2\)).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(4\cdot50\,000=200\,000\) cm \(=2\) km.
   2. \(15\) km \(=1\,500\,000\) cm; \(\dfrac{1\,500\,000}{50\,000}=30\) cm.
   3. \(5\cdot200=1\,000\) cm \(=10\) m y \(3\cdot200=600\) cm \(=6\) m.
   4. \(10\cdot6=60\) m\(^2\) (en el plano son \(15\) cm\(^2\) y \(15\cdot200^2=600\,000\) cm\(^2\) \(=60\) m\(^2\)). Respuesta: la sala tiene 60 m\(^2\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(a=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\). Sumamos los cuadrados de los catetos y hacemos la raíz cuadrada. Respuesta: la hipotenusa mide 10.
   2. \(c=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\). Para hallar un cateto restamos al cuadrado de la hipotenusa el cuadrado del cateto conocido. Respuesta: el otro cateto mide 12.
   3. \(a=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\approx1{,}41\) (irracional). Es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Respuesta: la hipotenusa mide \(\sqrt{2}\approx1{,}41\).
   4. \(7^2+24^2=49+576=625=25^2\): sí es rectángulo. Por el recíproco del teorema de Pitágoras, si el cuadrado del lado mayor es la suma de los cuadrados de los otros dos, el triángulo es rectángulo.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(d=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\) cm. La diagonal es la hipotenusa del triángulo formado por dos lados del rectángulo. Respuesta: 15 cm.
   2. La altura divide la base en dos partes de 6 cm: \(h=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\) cm. En un triángulo isósceles la altura sobre el lado desigual lo divide en dos partes iguales.
   3. \(A=\dfrac{12\cdot8}{2}=48\) cm\(^2\). Área de un triángulo: base por altura entre dos. Respuesta: 48 cm\(^2\).
   4. \(d=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\) cm. La diagonal de un cuadrado de lado \(l\) es siempre \(l\sqrt{2}\).

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(d=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Las diferencias son \(4-1=3\) y \(6-2=4\). Respuesta: \(d=5\).
   2. \(d=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\). Las diferencias son \(3-(-2)=5\) y \(13-1=12\). Respuesta: \(d=13\).
   3. \(d=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}\approx7{,}07\). Las dos diferencias valen 5. Respuesta: \(d\approx7{,}07\).
   4. Las diferencias de coordenadas son los catetos de un triángulo rectángulo y la distancia es su hipotenusa.

10. Solución del ejercicio 10

    1. La pared y el suelo forman el ángulo recto; la escalera es la hipotenusa (5 m).
    2. \(h=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\) m. Despejamos el cateto vertical restando cuadrados. Respuesta: llega a 4 m de altura.
    3. Con el pie a 4 m: \(h=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\) m. La escalera sigue midiendo 5 m, pero ahora el cateto horizontal mide 4 m.
    4. Baja \(4-3=1\) m. Respuesta: la parte alta de la escalera baja 1 m.

11. Solución del ejercicio 11

    1. Los rayos del sol son paralelos, así que los dos triángulos tienen los mismos ángulos: son semejantes.
    2. \(\dfrac{2}{3}=\dfrac{h}{45}\), \(h=\dfrac{2\cdot45}{3}=30\) m. Multiplicamos en cruz y despejamos. Respuesta: la torre mide 30 m.
    3. \(k=\dfrac{45}{3}=15\). Las medidas de la torre son 15 veces las del poste.
    4. La torre mide 30 m: \(\dfrac{30}{60}=\dfrac{2}{s}\), \(s=4\) m. Respuesta: el poste proyectaría una sombra de 4 m.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(d=\sqrt{64^2+48^2}=\sqrt{4\,096+2\,304}=\sqrt{6\,400}=80\) cm. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son el ancho y el alto. Respuesta: 80 cm.
    2. \(\dfrac{80}{2{,}54}\approx31{,}5\) pulgadas. Dividimos los centímetros entre 2,54. Respuesta: es una pantalla de unas 31,5 pulgadas.
    3. \(64\cdot48=3\,072\) cm\(^2\). Multiplicamos el ancho por el alto. Respuesta: 3 072 cm\(^2\).
    4. \(k=2\), así que el área es \(k^2=4\) veces mayor. Al duplicar la diagonal se duplican todas las longitudes (\(k=2\)), y el área se multiplica por \(k^2\). Respuesta: 4 veces mayor.

13. Solución del ejercicio 13

    1. Los dos triángulos comparten el ángulo del árbol y tienen un lado paralelo.
    2. \(\dfrac{8}{12}=\dfrac{x}{30}\). Los lados correspondientes de los dos triángulos son proporcionales.
    3. \(x=\dfrac{8\cdot30}{12}=20\) m. Respuesta: el río tiene 20 m de ancho.
    4. Sin paralelismo, los triángulos no serían semejantes y la proporción daría un valor incorrecto.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\sqrt{6^2-1{,}2^2}=\sqrt{34{,}56}\approx5{,}88\) m. La rampa es la hipotenusa, la altura es un cateto y la distancia horizontal es el otro cateto, así que restamos cuadrados.
    2. \(\dfrac{1{,}2}{5{,}88}\approx0{,}204=20{,}4\ \%\). Dividimos la altura entre la distancia horizontal y lo expresamos en porcentaje.
    3. No cumple: 20,4 % es mayor que 10 %. Respuesta: la rampa es demasiado empinada y no cumple la normativa.
    4. Con el 8 %: horizontal \(=\dfrac{1{,}2}{0{,}08}=15\) m; la rampa mide \(\sqrt{15^2+1{,}2^2}\approx15{,}05\) m. Respuesta: la rampa debería medir unos 15,05 m.

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(d=\sqrt{105^2+68^2}=\sqrt{15\,649}\approx125{,}1\) m. La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 105 m y 68 m. Respuesta: unos 125,1 m.
    2. Por los lados: \(105+68=173\) m. Ahorra \(173-125{,}1\approx47{,}9\) m. Por los lados recorre el largo más el ancho. Respuesta: ahorra unos 47,9 m.
    3. \(\dfrac{125{,}1}{5}\approx25\) s. Dividimos la distancia entre la velocidad. Respuesta: tarda unos 25 segundos.
    4. \(\dfrac{125{,}1}{173}\approx0{,}72\), el 72 % aproximadamente. Dividimos la diagonal entre el recorrido por los lados. Respuesta: la diagonal es aproximadamente el 72 % de ese recorrido.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(4{,}2\cdot1\,500\,000=6\,300\,000\) cm \(=63\) km. Multiplicamos por la escala y pasamos de centímetros a kilómetros dividiendo entre 100 000. Respuesta: 63 km.
    2. \(300\) km \(=30\,000\,000\) cm; \(\dfrac{30\,000\,000}{1\,500\,000}=20\) cm. Pasamos los kilómetros a centímetros y dividimos entre la escala. Respuesta: 20 cm.
    3. 1 cm del mapa son 15 km, así que 1 cm\(^2\) son \(15^2=225\) km\(^2\). Las áreas se multiplican por el cuadrado de la escala lineal.
    4. \(18\cdot225=4\,050\) km\(^2\). Respuesta: la provincia tiene unos 4 050 km\(^2\).

17. Solución del ejercicio 17

    1. Los dos triángulos rectángulos tienen un ángulo igual (el de reflexión) y un ángulo recto, así que son semejantes.
    2. \(\dfrac{1{,}6}{2}=\dfrac{h}{10}\). Cada altura se divide entre la distancia de su pie al espejo.
    3. \(h=\dfrac{1{,}6\cdot10}{2}=8\) m. Respuesta: el árbol mide 8 m.
    4. \(\dfrac{1{,}6}{x}=\dfrac{12}{10}\), \(x=\dfrac{1{,}6\cdot10}{12}\approx1{,}33\) m. Respuesta: debería colocarse a unos 1,33 m del espejo.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(\sqrt{4^2+3^2}=5\) m. La mitad del ancho de la casa (4 m) y la altura de la cumbrera (3 m) son los catetos. Respuesta: cada vertiente mide 5 m.
    2. Una vertiente: \(5\cdot10=50\) m\(^2\). Las dos: \(100\) m\(^2\). Cada vertiente es un rectángulo de 5 m por los 10 m de largo de la casa. Respuesta: el tejado tiene 100 m\(^2\).
    3. \(100\cdot25=2\,500\) tejas. Multiplicamos los metros cuadrados por las tejas que se necesitan en cada uno. Respuesta: 2 500 tejas.
    4. \(\dfrac{8\cdot3}{2}=12\) m\(^2\). Es un triángulo isósceles de base 8 m y altura 3 m. Respuesta: el frontón tiene 12 m\(^2\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. Catetos: \(300\) cm \(=3\) m y \(400\) cm \(=4\) m. Hipotenusa: \(\sqrt{9+16}=5\) m. Con escala \(1:100\), cada centímetro del plano es 1 m real.
    2. \(3+4+5=12\) m.
    3. Plano: \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) cm\(^2\). Real: \(\dfrac{3\cdot4}{2}=6\) m\(^2\) (porque \(6\cdot100^2=60\,000\) cm\(^2=6\) m\(^2\)).
    4. \(6\cdot6=36\) €. Respuesta: cubrir el jardín cuesta 36 €.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(m^2-n^2=5\), \(2mn=12\) y \(m^2+n^2=13\). Comprobación: \(5^2+12^2=25+144=169=13^2\).
    2. La altura divide la base en 3 cm y 3 cm: \(h=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx5{,}20\) cm. Área \(=\dfrac{6\cdot3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\approx15{,}59\) cm\(^2\).
    3. \(k^2=\dfrac{18}{50}=\dfrac{9}{25}\), así que \(k=\dfrac{3}{5}\). Las áreas están en razón \(k^2\), así que hacemos la raíz cuadrada del cociente.
    4. \(9^2+12^2=81+144=225=15^2\): sí es rectángulo. Por el recíproco del teorema de Pitágoras, el triángulo es rectángulo; es la terna 3, 4, 5 multiplicada por 3.