Probabilidad – matemáticas 3º ESO: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(E=\{1,2,3,4,5,6\}\); \(A=\{2,4,6\}\); \(B=\{3,6\}\).
   2. \(A\cup B=\{2,3,4,6\}\) (salir par o múltiplo de 3) y \(A\cap B=\{6\}\) (par y múltiplo de 3). La unión reúne los resultados de los dos sucesos y la intersección solo los comunes.
   3. \(A^{c}=\{1,3,5\}\) (salir impar). El contrario contiene los resultados que no están en \(A\).
   4. No son incompatibles, porque tienen un resultado en común: \(A\cap B=\{6\}\neq\emptyset\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\) (casos favorables 2, 4 y 6).
   2. Favorables 5 y 6: \(\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\).
   3. Los primos son 2, 3 y 5: \(\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\).
   4. Salir un 7 es un suceso imposible: probabilidad 0. Salir un número menor o igual que 6 es seguro: probabilidad 1.

3. Solución del ejercicio 3

   1. \(\dfrac{10}{40}=\dfrac{1}{4}\). Hay 10 cartas de cada palo entre 40 cartas equiprobables.
   2. Reyes: \(\dfrac{4}{40}=\dfrac{1}{10}\). Rey de oros: \(\dfrac{1}{40}\). Hay un rey en cada palo, y solo uno es de oros.
   3. Hay 3 figuras por palo: \(\dfrac{12}{40}=\dfrac{3}{10}\). Sota, caballo y rey en cada uno de los 4 palos.
   4. Hay 4 ases y 4 reyes, y son sucesos incompatibles: \(\dfrac{8}{40}=\dfrac{1}{5}\). Como no hay ninguna carta que sea as y rey a la vez, sumamos las probabilidades.

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(h=\dfrac{130}{200}=0{,}65\). La frecuencia relativa es el número de veces que ocurre el suceso dividido entre el número de lanzamientos.
   2. Con muchas repeticiones la frecuencia relativa se estabiliza en torno a la probabilidad: \(P\approx0{,}65\).
   3. \(1\,000\cdot0{,}65=650\) veces.
   4. No: los dos resultados (punta arriba o abajo) no son equiprobables, así que hay que usar la frecuencia relativa.

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\). Hay 10 bolas en total, de las que 5 son rojas.
   2. \(P(\text{azul})=\dfrac{3}{10}\), luego \(P(\text{no azul})=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}\). El suceso contrario de «no azul» es «azul».
   3. Son sucesos incompatibles: \(\dfrac{5}{10}+\dfrac{2}{10}=\dfrac{7}{10}\). Una bola no puede ser roja y verde a la vez, así que sumamos.
   4. No hay bolas amarillas: probabilidad 0 (suceso imposible). No hay casos favorables.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(P(A\cup B)=0{,}5+0{,}4-0{,}2=0{,}7\). Restamos la intersección para no contarla dos veces.
   2. \(P(A^{c})=1-0{,}5=0{,}5\). La probabilidad del contrario es 1 menos la del suceso.
   3. No ocurre ninguno: \(1-P(A\cup B)=1-0{,}7=0{,}3\). «Ni \(A\) ni \(B\)» es el contrario de «\(A\) o \(B\)».
   4. \(P(A)=\dfrac{3}{6}\), \(P(B)=\dfrac{2}{6}\), \(P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}\). Entonces \(P(A\cup B)=\dfrac{3+2-1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}\), igual que contar \(\{2,3,4,6\}\).

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(3\cdot2=6\) conjuntos.
   2. \(10\cdot9\cdot8=720\) contraseñas (la primera cifra tiene 10 opciones, la segunda 9 y la tercera 8).
   3. \(5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\) formas.
   4. Roja con vaquero, roja con negro, azul con vaquero, azul con negro, blanca con vaquero y blanca con negro: 6 ramas.

8. Solución del ejercicio 8

   1. \(4!=24\) formas (el orden importa). Cada amigo ocupa un asiento distinto: 4 opciones para el primero, 3 para el segundo, etc.
   2. \(7\cdot6=42\) (el orden importa porque los cargos son distintos). El primer cargo tiene 7 candidatos y el segundo 6.
   3. \(\dfrac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20\) equipos (el orden no importa). Dividimos entre \(3!=6\) porque cada equipo se ha contado 6 veces con distinto orden.
   4. \(10^4=10\,000\) códigos. Cada una de las 4 cifras tiene 10 opciones.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(E=\{CC,\ CX,\ XC,\ XX\}\): 4 resultados equiprobables.
   2. \(P(CC)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}\). Solo uno de los cuatro resultados es favorable.
   3. Contrario: no salir ninguna cara, \(P(XX)=\dfrac{1}{4}\). Entonces \(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\). Usar el suceso contrario es más rápido que contar los tres casos favorables.
   4. Favorables \(CX\) y \(XC\): \(\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\). Respuesta: la probabilidad de exactamente una cara es \(\dfrac{1}{2}\).

10. Solución del ejercicio 10

    1. Casos: \((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\), es decir, 6. \(P=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).
    2. Suma 10: 3 casos; 11: 2 casos; 12: 1 caso. Total 6: \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).
    3. Dobles: \((1,1),\dots,(6,6)\), 6 casos: \(\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\). Suma 2: solo \((1,1)\): \(\dfrac{1}{36}\).
    4. La suma es par si los dos dados son pares o los dos impares: \(\dfrac{3\cdot3+3\cdot3}{36}=\dfrac{18}{36}=\dfrac{1}{2}\).

11. Solución del ejercicio 11

    1. Rojo \(\dfrac{3}{8}\); azul \(\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}\); verde \(\dfrac{1}{4}\); amarillo \(\dfrac{1}{8}\). Suman 1. Los 8 sectores son iguales, así que cada uno tiene probabilidad \(\dfrac{1}{8}\).
    2. \(1-\dfrac{3}{8}=\dfrac{5}{8}\). Usamos el suceso contrario de «rojo».
    3. \(\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}\). Los dos colores son incompatibles, así que sumamos.
    4. \(400\cdot\dfrac{1}{4}=100\) veces. El número esperado es el número de giros por la probabilidad.

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\dfrac{18}{30}=0{,}6\).
    2. Quedan 17 chicas entre 29 alumnos: \(\dfrac{17}{29}\). Al no devolver a la primera elegida, quedan una chica y un alumno menos.
    3. \(\dfrac{18}{30}\cdot\dfrac{17}{29}=\dfrac{306}{870}=\dfrac{51}{145}\approx0{,}352\). Multiplicamos las probabilidades de las dos ramas del árbol.
    4. Con repetición: \(0{,}6\cdot0{,}6=0{,}36\). Es algo mayor, porque al no devolver la persona la probabilidad de la segunda chica baja.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(1-0{,}3=0{,}7\). Usamos el suceso contrario: la probabilidad de que no llueva es 1 menos la de que llueva. Respuesta: 0,7, es decir, un 70 %.
    2. \(30\cdot0{,}3=9\) días. El número esperado de días es el total de días por la probabilidad. Respuesta: unos 9 días de lluvia.
    3. \(0{,}7\cdot0{,}7=0{,}49\). Como los días son independientes, multiplicamos las probabilidades. Respuesta: 0,49, casi la mitad.
    4. \(0{,}3\cdot0{,}3=0{,}09\). También multiplicamos porque son independientes. Respuesta: solo un 9 % de probabilidad de dos días de lluvia.

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(\dfrac{40}{1\,000}=0{,}04\). Usamos la frecuencia relativa observada como probabilidad.
    2. \(1-0{,}04=0{,}96\). Es el suceso contrario.
    3. \(250\cdot0{,}04=10\) piezas.
    4. No es seguro: se espera \(25\cdot0{,}04=1\) pieza, pero la probabilidad de que no haya ninguna defectuosa es distinta de cero (aproximadamente \(0{,}96^{25}\approx36\ \%\)).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(P(\text{rojo})=\dfrac{1}{4}\). Un sector rojo entre cuatro sectores iguales. Respuesta: \(\dfrac{1}{4}\).
    2. Favorables 5 y 6: \(\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\). Hay dos casos favorables entre seis. Respuesta: \(\dfrac{1}{3}\).
    3. \(\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}\). Como los sucesos son independientes, la probabilidad de que ocurran los dos es el producto. Respuesta: \(\dfrac{1}{12}\).
    4. \(60\cdot\dfrac{1}{12}=5\) premios. Multiplicamos el número de jugadores por la probabilidad de ganar. Respuesta: unos 5 premios.

16. Solución del ejercicio 16

    1. Primera bola: \(P(R)=\dfrac{4}{10}\) y \(P(A)=\dfrac{6}{10}\). Si la primera fue R: \(P(R)=\dfrac{3}{9}\) y \(P(A)=\dfrac{6}{9}\). Si fue A: \(P(R)=\dfrac{4}{9}\) y \(P(A)=\dfrac{5}{9}\).
    2. \(P(RR)=\dfrac{4}{10}\cdot\dfrac{3}{9}=\dfrac{12}{90}=\dfrac{2}{15}\). Multiplicamos las probabilidades de la rama roja-roja.
    3. \(P(AA)=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}\). Multiplicamos las probabilidades de la rama azul-azul.
    4. Contrario de «mismo color»: \(1-\dfrac{2}{15}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{15-2-5}{15}=\dfrac{8}{15}\). (Comprobación: \(RA+AR=\dfrac{24}{90}+\dfrac{24}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}\).)

17. Solución del ejercicio 17

    1. Total chicos: \(70+30=100\). Total chicas: \(50+50=100\). Practican deporte: \(70+50=120\). No practican: \(30+50=80\). Total: 200.
    2. \(P=\dfrac{120}{200}=0{,}6\).
    3. \(P=\dfrac{50}{200}=0{,}25\). Buscamos la casilla «chica y practica deporte».
    4. Entre los 100 chicos, 70 practican deporte: \(\dfrac{70}{100}=0{,}7\). Ahora solo contamos entre los chicos.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(10^4=10\,000\) códigos. Cada cifra tiene 10 opciones y se pueden repetir.
    2. \(10\cdot9\cdot8\cdot7=5\,040\) códigos. Al no repetir, cada cifra tiene una opción menos que la anterior.
    3. \(\dfrac{1}{10\,000}=0{,}0001\). Solo uno de los 10 000 códigos es el correcto.
    4. Si empieza por 7: \(1\cdot9\cdot8\cdot7=504\) códigos de los \(5\,040\), es decir, \(\dfrac{504}{5\,040}=\dfrac{1}{10}\).

19. Solución del ejercicio 19

    1. Múltiplos de 5: \(5,10,\dots,100\), es decir, 20. \(P=\dfrac{20}{100}=0{,}2\).
    2. Múltiplos de 3: 33 (porque \(3\cdot33=99\)). \(P=\dfrac{33}{100}=0{,}33\).
    3. Son los múltiplos de 15: \(15,30,\dots,90\), es decir, 6. \(P=\dfrac{6}{100}=0{,}06\). Un múltiplo de 5 y de 3 es un múltiplo de 15.
    4. \(0{,}2+0{,}33-0{,}06=0{,}47\). Son 47 números. Restamos la intersección para no contar dos veces los múltiplos de 15.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Hay \(2^3=8\) resultados y los favorables son \(CCX\), \(CXC\) y \(XCC\): \(\dfrac{3}{8}\).
    2. Ningún 6: \(\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{36}\). Al menos un 6: \(1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}\).
    3. Casos: \((2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\). \(P=\dfrac{5}{36}\).
    4. Sigue siendo \(\dfrac{1}{2}\): los lanzamientos son independientes y la moneda no tiene memoria.