Representación de funciones – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. Se excluyen los ceros del denominador: \(x^2-4=0\) da \(x=\pm2\). \(\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-2,2\}\).
   2. El radicando debe ser no negativo: \(6-2x\ge0\), \(x\le3\). \(\mathrm{Dom}\,g=(-\infty,3]\).
   3. El argumento del logaritmo debe ser positivo: \(x-1>0\), \(x>1\). \(\mathrm{Dom}\,h=(1,+\infty)\).
   4. La exponencial existe siempre; solo se excluye \(x=0\). \(\mathrm{Dom}\,k=\mathbb{R}-\{0\}\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. Eje \(Y\): \(f(0)=0\), punto \((0,0)\). Eje \(X\): \(x^3-4x=x(x-2)(x+2)=0\), puntos \((-2,0)\), \((0,0)\) y \((2,0)\).
   2. Probando un valor en cada intervalo: \(f(-3)=-15<0\), \(f(-1)=3>0\), \(f(1)=-3<0\), \(f(3)=15>0\). Negativa en \((-\infty,-2)\cup(0,2)\) y positiva en \((-2,0)\cup(2,+\infty)\).
   3. \(f(-x)=-x^3+4x=-f(x)\): es impar, simétrica respecto del origen.

3. Solución del ejercicio 3

   1. El denominador se anula en \(x=3\) y el numerador no (\(7\neq0\)): asíntota vertical \(x=3\). \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=\dfrac{7}{0^+}=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=\dfrac{7}{0^-}=-\infty\).
   2. \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}=2\) (mismo grado, cociente de coeficientes principales): asíntota horizontal \(y=2\).
   3. \(f(0)=-\dfrac13\), punto \(\left(0,-\dfrac13\right)\); \(2x+1=0\) da \(\left(-\dfrac12,0\right)\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. \(x=1\), porque el denominador se anula y el numerador vale 2.
   2. Dividiendo \(x^2+1\) entre \(x-1\): cociente \(x+1\) y resto 2. Como \(\dfrac{2}{x-1}\to0\) cuando \(x\to\pm\infty\), la asíntota oblicua es \(y=x+1\).
   3. \(f(x)-(x+1)=\dfrac{2}{x-1}\): positivo si \(x>1\) (la gráfica va por encima) y negativo si \(x<1\) (va por debajo).

5. Solución del ejercicio 5

   1. \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\); se anula en \(x=1\) y \(x=3\).
   2. \(f'(0)=9>0\), \(f'(2)=-3<0\), \(f'(4)=9>0\). Crece en \((-\infty,1)\cup(3,+\infty)\) y decrece en \((1,3)\).
   3. Máximo relativo en \((1,f(1))=(1,5)\) y mínimo relativo en \((3,f(3))=(3,1)\).

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(f''(x)=6x-12\).
   2. \(f''<0\) si \(x<2\): cóncava (\(\cap\)) en \((-\infty,2)\). \(f''>0\) si \(x>2\): convexa (\(\cup\)) en \((2,+\infty)\).
   3. En \(x=2\) cambia la curvatura: punto de inflexión \((2,f(2))=(2,3)\).
   4. Máximo \((1,5)\), inflexión \((2,3)\), mínimo \((3,1)\) y corte con el eje \(Y\) en \((0,1)\):

7. Solución del ejercicio 7

   1. \(-x^2+40x-300=0\) da \(x=10\) y \(x=30\). Como la parábola abre hacia abajo, \(B>0\) entre 1 000 y 3 000 mochilas.
   2. \(B'(x)=-2x+40=0\) en \(x=20\); \(B''=-2<0\), máximo. Hay que vender 2 000 mochilas y el beneficio es \(B(20)=100\) miles de euros.
   3. \(B(0)=-300\): pérdidas de 300 000 €, que corresponden a los costes fijos.
   4. Parábola con vértice \((20,100)\) y cortes \((10,0)\) y \((30,0)\):

8. Solución del ejercicio 8

   1. Vertical: \(x=0\), pues \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}M(x)=+\infty\). Oblicua: \(y=x\), porque \(M(x)-x=\dfrac{100}{x}\to0\).
   2. \(M'(x)=1-\dfrac{100}{x^2}=0\) da \(x=10\) (\(x>0\)). \(M'<0\) en \((0,10)\) y \(M'>0\) en \((10,+\infty)\): decrece y luego crece; mínimo en \(x=10\).
   3. 10 jarrones, con \(M(10)=10+10=20\) € por jarrón.
   4. Para muchos jarrones el coste fijo de 100 € apenas pesa y el coste medio se parece a \(x\): crece porque el coste variable \(x^2\) crece más deprisa que la producción.

9. Solución del ejercicio 9

   1. \(C(0)=0\): al principio no hay medicamento. \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}20te^{-t/2}=0\) (la exponencial domina): el medicamento se elimina y hay asíntota horizontal \(y=0\).
   2. \(C'(t)=20e^{-t/2}\left(1-\dfrac t2\right)=0\) da \(t=2\). Crece en \((0,2)\) y decrece después: máximo a las 2 horas, \(C(2)=40e^{-1}\approx14{,}715\) mg/l.
   3. \(C''(t)=20e^{-t/2}\left(\dfrac t4-1\right)=0\) da \(t=4\), \(C(4)=80e^{-2}\approx10{,}827\). A las 4 horas la concentración baja más deprisa que en ningún otro momento; después la bajada se va frenando.
   4. Gráfica:

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(A(0)=0\) y \(A(6)=-216+216=0\): el programa empieza y termina sin oyentes registrados.
    2. \(A'(t)=-3t^2+12t=-3t(t-4)\); en \((0,4)\) es positiva y en \((4,6)\) negativa. Máximo en \(t=4\): \(A(4)=-64+96=32\) miles de oyentes.
    3. El ritmo es \(A'(t)\), que es máximo donde \(A''(t)=-6t+12=0\), en \(t=2\) (punto de inflexión). Ritmo: \(A'(2)=-12+24=12\) miles de oyentes por hora.
    4. Gráfica:

11. Solución del ejercicio 11

    1. Dominio \(\mathbb{R}\). Único corte \((0,0)\). Como \(e^x>0\), el signo es el de \(x\): negativa para \(x<0\) y positiva para \(x>0\).
    2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\): asíntota horizontal \(y=0\) por la izquierda.
    3. \(f'(x)=e^x(x+1)\): decrece en \((-\infty,-1)\) y crece en \((-1,+\infty)\). Mínimo en \(\left(-1,-\dfrac1e\right)\approx(-1;\ -0{,}368)\).
    4. \(f''(x)=e^x(x+2)\): cóncava (\(\cap\)) en \((-\infty,-2)\) y convexa (\(\cup\)) en \((-2,+\infty)\). Inflexión en \(\left(-2,-\dfrac2{e^2}\right)\approx(-2;\ -0{,}271)\).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(\mathrm{Dom}\,f=(0,+\infty)\). \(\ln x=0\) da \(x=1\): punto \((1,0)\).
    2. Vertical \(x=0\), porque \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{-\infty}{0^+}=-\infty\). Horizontal \(y=0\), porque el logaritmo crece mucho más despacio que \(x\).
    3. \(f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\), que se anula en \(x=e\). Crece en \((0,e)\) y decrece en \((e,+\infty)\): máximo \(\left(e,\dfrac1e\right)\approx(2{,}718;\ 0{,}368)\).
    4. Para \(x>1\), \(\ln x>0\) y \(x>0\), así que el cociente es positivo.

13. Solución del ejercicio 13

    1. \(V'(t)=\dfrac{50(t^2+4)-50t\cdot2t}{(t^2+4)^2}=\dfrac{50(4-t^2)}{(t^2+4)^2}\), que se anula en \(t=2\). Crece en \((0,2)\) y decrece después: máximo en la semana 2, \(V(2)=\dfrac{100}{8}=12{,}5\) miles.
    2. \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\dfrac{50t}{t^2+4}=0\): las ventas tienden a desaparecer (asíntota \(y=0\)).
    3. \(\dfrac{50t}{t^2+4}\ge10\) equivale a \(t^2-5t+4\le0\), es decir, \((t-1)(t-4)\le0\): entre la semana 1 y la semana 4.
    4. Gráfica:

14. Solución del ejercicio 14

    1. \(f'(x)=3x^2+2ax+b\). Condiciones: \(f'(-1)=3-2a+b=0\), \(f'(3)=27+6a+b=0\) y \(f(0)=c=5\).
    2. Restando las dos primeras: \(24+8a=0\), \(a=-3\); entonces \(b=2a-3=-9\). Por tanto \(f(x)=x^3-3x^2-9x+5\).
    3. \(f''(x)=6x-6\): \(f''(-1)=-12<0\), máximo \((-1,10)\); \(f''(3)=12>0\), mínimo \((3,-22)\).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{2\}\). Único corte: \((0,0)\).
    2. Vertical \(x=2\): \(\displaystyle\lim_{x\to2^-}f=-\infty\) y \(\displaystyle\lim_{x\to2^+}f=+\infty\). No hay horizontal (el grado del numerador es mayor). Oblicua: \(f(x)=x+2+\dfrac{4}{x-2}\), asíntota \(y=x+2\); la gráfica va por encima si \(x>2\) y por debajo si \(x<2\).
    3. \(f'(x)=\dfrac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}\). Crece en \((-\infty,0)\cup(4,+\infty)\) y decrece en \((0,2)\cup(2,4)\). Máximo \((0,0)\) y mínimo \((4,8)\).
    4. \(f''(x)=\dfrac{8}{(x-2)^3}\): cóncava (\(\cap\)) en \((-\infty,2)\) y convexa (\(\cup\)) en \((2,+\infty)\); no hay inflexión porque \(x=2\) no está en el dominio.

    5. \(x\)	\((-\infty,0)\)	0	\((0,2)\)	2	\((2,4)\)	4	\((4,+\infty)\)
       \(f'\)	+	0	−	no existe	−	0	+
       \(f\)	crece	máx. 0	decrece	AV	decrece	mín. 8	crece

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(B(x)=15x-C(x)=15x-x^3+9x^2-30x=-x^3+9x^2-15x\).
    2. \(B'(x)=-3x^2+18x-15=-3(x-1)(x-5)\). Decrece en \((0,1)\), crece en \((1,5)\) y decrece en \((5,8)\). Mínimo relativo \((1,-7)\) y máximo relativo \((5,25)\): con 5 000 litros gana 25 000 €.
    3. \(B(x)=-x(x^2-9x+15)\) y \(x^2-9x+15=0\) da \(x=\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}\), es decir, \(2{,}209\) y \(6{,}791\). Hay beneficio entre unos 2 209 y 6 791 litros.
    4. \(M(x)=x^2-9x+30\); \(M'(x)=2x-9=0\) en \(x=4{,}5\), y \(M(4{,}5)=20{,}25-40{,}5+30=9{,}75\) miles de euros por mil litros.
    5. No: el coste medio es mínimo con 4 500 litros, pero el beneficio sigue aumentando hasta 5 000, porque mientras el precio (15) supera el coste de producir un poco más, conviene seguir produciendo aunque el coste medio suba.

17. Solución del ejercicio 17

    1. En \(t=6\): \(20+30\cdot6=200\), que coincide con el valor del segundo tramo. En \(t=10\): \(20+180e^{0}=200\). Es continua en los dos puntos.
    2. \(T(3)=20+90=110\) °C. \(T(15)=20+180e^{-1}\approx20+66{,}22=86{,}22\) °C.
    3. \(\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(20+180e^{-0{,}2(t-10)}\right)=20\) °C: la temperatura ambiente del taller (asíntota horizontal \(y=20\)).
    4. \(20+180e^{-0{,}2(t-10)}<50\) equivale a \(e^{-0{,}2(t-10)}<\dfrac16\), es decir, \(t-10>5\ln6\approx8{,}96\). A partir de \(t\approx18{,}96\) minutos.
    5. Crece de forma lineal en \((0,6)\), es constante en \((6,10)\) y decrece en \((10,+\infty)\) cada vez más despacio.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(U(0)=\dfrac{120}{6}=20\) mil usuarios. \(U(10)=\dfrac{120}{1+5e^{-4}}\approx109{,}93\) mil.
    2. Como \(e^{-0{,}4t}\to0\), \(U(t)\to120\): el mercado se satura en 120 000 usuarios (asíntota \(y=120\)).
    3. La derivada de \(1+5e^{-0{,}4t}\) es \(5\cdot(-0{,}4)e^{-0{,}4t}=-2e^{-0{,}4t}\). Por la regla del cociente, \(U'(t)=\dfrac{0-120\cdot(-2e^{-0{,}4t})}{(1+5e^{-0{,}4t})^2}=\dfrac{240e^{-0{,}4t}}{(1+5e^{-0{,}4t})^2}\), que es positiva por ser cociente de números positivos: \(U\) siempre crece.
    4. \(\dfrac{120}{1+5e^{-0{,}4t}}=60\) da \(5e^{-0{,}4t}=1\), \(t=\dfrac{\ln5}{0{,}4}\approx4{,}02\) meses. Es el momento de crecimiento más rápido; a partir de ahí el ritmo de altas disminuye.
    5. Poco: a los 12 meses \(U(12)\approx115{,}26\) mil, el 96 % del máximo de 120 mil; la publicidad apenas puede atraer usuarios nuevos.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{an+30}{n+1}=a\), luego \(a=2\) y \(T(n)=\dfrac{2n+30}{n+1}\).
    2. \(T(0)=30\) minutos.
    3. \(T'(n)=\dfrac{2(n+1)-(2n+30)}{(n+1)^2}=\dfrac{-28}{(n+1)^2}<0\): siempre decrece; con la práctica tarda cada vez menos, aunque la mejora es cada vez menor.
    4. \(\dfrac{2n+30}{n+1}<5\) equivale a \(2n+30<5n+5\), \(n>\dfrac{25}{3}\approx8{,}33\). Desde \(n=9\) (\(T(8)\approx5{,}11\) y \(T(9)=4{,}8\)).
    5. No: \(T(n)-2=\dfrac{28}{n+1}>0\) para todo \(n\); la gráfica se acerca a la asíntota \(y=2\) por encima sin alcanzarla.

20. Solución del ejercicio 20

    1. \(\mathrm{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}\). No corta los ejes (\(e^x\neq0\) y \(x=0\) no está en el dominio). Tiene el signo de \(x\).
    2. Vertical \(x=0\): \(\displaystyle\lim_{x\to0^-}f=-\infty\), \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}f=+\infty\). Horizontal \(y=0\) cuando \(x\to-\infty\). Cuando \(x\to+\infty\), \(f\to+\infty\) (la exponencial domina) y no hay asíntota oblicua, porque \(\dfrac{f(x)}{x}\to+\infty\).
    3. \(f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}\): decrece en \((-\infty,0)\cup(0,1)\) y crece en \((1,+\infty)\). Mínimo relativo \((1,e)\approx(1;\ 2{,}718)\).
    4. \(x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\), así que el signo de \(f\) segunda es el de \(x^3\): cóncava (\(\cap\)) para \(x<0\) y convexa (\(\cup\)) para \(x>0\). No hay inflexión.
    5. Gráfica: