Polinomios, ecuaciones e inecuaciones – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Dados los polinomios \(P(x)=2x^3-3x^2+x-4\) y \(Q(x)=x^2-2x+3\), calcula y ordena el resultado de mayor a menor grado.

1. \(P(x)+Q(x)\)
2. \(P(x)-Q(x)\)
3. \(P(x)\cdot Q(x)\) e indica su grado.
4. \((x-3)^2-(x+3)(x-3)\) usando las identidades notables.

Realiza las divisiones siguientes y comprueba el resultado con la relación \(D=d\cdot c+r\).

1. \((2x^3-5x^2+4x-7):(x-2)\) por la regla de Ruffini.
2. Comprueba el resto del apartado anterior con el teorema del resto.
3. \((x^4+3x^2-x+2):(x^2+1)\) por el método largo.
4. Comprueba la división del apartado c).

Sea \(P(x)=x^3+kx^2-4x+12\).

1. Halla \(k\) para que \(P(x)\) sea divisible entre \(x-2\).
2. Con ese valor, divide \(P(x)\) entre \(x-2\) por Ruffini.
3. Factoriza completamente \(P(x)\).
4. Indica las raíces de \(P(x)\) y calcula \(P(-1)\).

Factoriza los polinomios siguientes indicando el método empleado (factor común, identidades notables, ecuación de segundo grado o Ruffini).

1. \(x^3-9x\)
2. \(x^4-5x^2+4\)
3. \(2x^3-8x^2+8x\)
4. \(x^3-2x^2-5x+6\)

Resuelve las ecuaciones siguientes. Si alguna no tiene solución real, explica por qué.

1. \(3x^2-12=0\)
2. \(x^2-7x+10=0\)
3. \(x^4-13x^2+36=0\)
4. \(2x^2+3x+5=0\)

Resuelve las ecuaciones y comprueba siempre las soluciones obtenidas.

1. \(\dfrac1x+\dfrac{1}{x+2}=\dfrac34\)
2. \(\sqrt{x+7}=x+1\)
3. \(2^{x+1}+2^x=24\)
4. \(\log x+\log(x-3)=1\)

Resuelve las inecuaciones y expresa la solución en forma de intervalo.

1. \(3x-5\le x+7\)
2. \(x^2-5x+6\lt 0\)
3. \(x^2-4\ge0\)
4. \(\dfrac{x-1}{x+3}\ge0\)

Una empresa de embalajes de Sabadell fabrica cajas sin tapa a partir de planchas de cartón de 30 cm por 20 cm: corta un cuadrado de lado \(x\) cm en cada esquina y dobla los laterales.

1. Expresa el volumen de la caja \(V(x)\) como un polinomio y desarrolla el producto.
2. Calcula el volumen para \(x=2\) y para \(x=5\).
3. ¿Entre qué valores puede estar \(x\)? Justifícalo.
4. Halla todos los valores de \(x\) para los que el volumen es de 1 000 cm³, sabiendo que \(x=5\) es uno de ellos.

Una almazara cooperativa de Jaén calcula que su beneficio anual, en miles de euros, al producir \(x\) miles de litros de aceite es \(B(x)=-x^2+90x-1\,400\).

1. Calcula el beneficio al producir 10 000, 40 000 y 80 000 litros.
2. Resuelve la inecuación \(B(x)\gt 0\) e interpreta la solución.
3. ¿Qué producción da el beneficio máximo? ¿Cuál es?
4. ¿Para qué producciones el beneficio es al menos de 400 000 €?

Un huerto escolar rectangular de un colegio de Logroño mide 12 m por 8 m. Se quiere rodearlo con un camino de grava de anchura constante \(x\) de modo que el conjunto huerto más camino ocupe 165 m².

1. Escribe la ecuación que permite calcular \(x\).
2. Resuelve la ecuación y elige la solución válida.
3. Calcula la superficie del camino.
4. Si la grava cuesta 25 € por m², ¿cuánto costará el camino?

Los alumnos de 1.º de Bachillerato de un instituto de Burgos alquilan un autobús por 1 800 € para su viaje de estudios, a pagar a partes iguales. Si se apuntan 10 alumnos más, cada uno pagaría 15 € menos.

1. Llama \(x\) al número inicial de alumnos y escribe el precio por alumno en los dos casos.
2. Plantea la ecuación y transfórmala en una de segundo grado.
3. Resuélvela e indica cuántos alumnos había al principio.
4. ¿Cuánto paga cada alumno en cada caso? Comprueba el resultado.

Una estudiante de Huesca compara tres tarifas de llamadas. Tarifa A: 15 € al mes más 0,05 € por minuto. Tarifa B: 0,12 € por minuto sin cuota. Tarifa C: 25 € al mes con minutos ilimitados.

1. Escribe el coste mensual de cada tarifa si habla \(x\) minutos.
2. Resuelve la inecuación que indica cuándo A es más barata que B.
3. ¿Cuándo es C más barata que B? ¿Y más barata que A?
4. Estudia qué tarifa conviene según los minutos. ¿Hay algún consumo para el que A sea la mejor?

Para el aula de informática de un instituto de Huelva se busca una pantalla rectangular de 5 dm de diagonal y 12 dm² de superficie.

1. Llama \(x\) e \(y\) a los lados y escribe las dos condiciones.
2. Despeja \(y\) en la segunda y sustituye en la primera. Comprueba que se obtiene \(x^4-25x^2+144=0\).
3. Resuelve esta ecuación bicuadrada.
4. ¿Qué dimensiones tiene la pantalla? ¿Cuál es su perímetro?

Para regar un invernadero de Almería se llena un depósito con dos grifos. El grifo pequeño tarda 6 horas más que el grande en llenarlo solo. Abiertos a la vez, lo llenan en 4 horas.

1. Si el grande tarda \(x\) horas, ¿qué fracción del depósito llena cada grifo en una hora?
2. Plantea la ecuación.
3. Resuélvela e indica cuánto tarda cada grifo.
4. Comprueba la solución.

El teatro romano de Mérida organiza una función durante el festival de verano. Con un precio de 20 € por entrada vende 600 entradas. Un estudio de mercado indica que, por cada euro que suba el precio, se venden 20 entradas menos. Llamamos \(x\) al número de euros que sube el precio. La tabla recoge algunos casos.

1. Completa la tabla de precio, entradas vendidas e ingresos para \(x=0,2,5,8,10\).
2. Escribe los ingresos \(I(x)\) como un polinomio de segundo grado.
3. ¿Qué subida da los ingresos máximos? ¿Cuál es entonces el precio y cuántas entradas se venden?
4. La organización necesita ingresar al menos 12 320 €. Resuelve la inecuación correspondiente.
5. ¿Es razonable subir el precio 30 €? Justifícalo con el modelo.

Una fábrica de bicicletas eléctricas de Vitoria estima que su beneficio mensual, en miles de euros, al fabricar \(x\) cientos de bicicletas (con \(0\le x\le8\)) es \(B(x)=-x^3+10x^2-17x-28\). La tabla muestra algunos valores.

1. Calcula \(B(0)\), \(B(5)\) y \(B(6)\), e interpreta \(B(0)\).
2. Comprueba que \(x=4\) es raíz de \(B(x)\) y divide por Ruffini.
3. Factoriza \(B(x)\) completamente.
4. Estudia el signo de \(B(x)\) en \([0,8]\) y di para qué producciones hay beneficios.
5. El director propone fabricar 800 bicicletas para «vender más». ¿Qué le responderías?

Una familia de Toledo tiene dos depósitos a plazo con interés compuesto anual. En el primero ingresó 10 000 € y, al cabo de 2 años, tenía 11 025 €. En el segundo, de otro banco, ingresó 5 000 € al principio y otros 5 000 € al cabo de un año, y al final del segundo año tenía 10 918 €.

1. Llama \(u=1+r\) al factor anual del primer depósito y plantea la ecuación.
2. Calcula el tipo de interés del primer depósito.
3. Plantea la ecuación del segundo depósito: los primeros 5 000 € están 2 años y los segundos, 1 año.
4. Resuelve la ecuación de segundo grado y calcula el tipo del segundo depósito.
5. ¿Qué banco ofrece mejor interés? ¿Cuánto habría tenido la familia si hubiera ingresado los 10 000 € del primer depósito en el segundo banco?

Un camping de los Pirineos quiere delimitar con 100 m de valla una parcela rectangular para tiendas de campaña. Para que quepan todas las tiendas, la superficie debe ser de al menos 600 m², y por la forma del terreno ningún lado puede medir más de 28 m. La valla cuesta 12 € por metro.

1. Si un lado mide \(x\) m, expresa el otro lado y la superficie \(S(x)\).
2. Resuelve la inecuación \(S(x)\ge600\).
3. Teniendo en cuenta que ningún lado puede superar los 28 m, ¿qué valores de \(x\) son posibles?
4. ¿Qué dimensiones dan la superficie máxima permitida? Calcúlala.
5. ¿Cuánto cuesta vallar la parcela? ¿Depende de las dimensiones elegidas?

Una ciclista de un club de Segovia prepara una ruta de 120 km por la sierra de Guadarrama. Calcula que, si fuera 5 km/h más rápida de media, tardaría 2 horas menos. Quiere saber su velocidad media y el tiempo que necesita, porque debe volver antes de que anochezca: sale a las 9:00 y anochece a las 18:30.

1. Llama \(v\) a su velocidad media y escribe el tiempo que tarda en cada caso.
2. Plantea la ecuación y transfórmala en una de segundo grado.
3. Resuelve la ecuación.
4. ¿A qué hora llegará? ¿Le da tiempo a volver antes de que anochezca si para 1 hora a comer?
5. ¿Qué velocidad mínima necesitaría para hacer la ruta, con la parada incluida, en 8 horas? Plantea y resuelve una inecuación.

El polinomio \(P(x)=x^3+ax^2+bx-6\) es divisible entre \(x-1\) y entre \(x+2\).

1. Escribe las dos condiciones usando el teorema del resto.
2. Resuelve el sistema y halla \(a\) y \(b\).
3. Factoriza \(P(x)\).
4. Resuelve la inecuación \(P(x)\gt 0\).