Estadística unidimensional – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(h_i\): 0,167; 0,300; 0,267; 0,167; 0,100. \(F_i\): 5, 14, 22, 27, 30. Cada \(h_i\) es \(f_i:30\); por ejemplo, \(9:30=0{,}300\). La última acumulada coincide con \(n=30\).
   2. \(\bar x=\dfrac{0\cdot5+1\cdot9+2\cdot8+3\cdot5+4\cdot3}{30}=\dfrac{52}{30}=1{,}733\) libros. La moda es 1 (9 jóvenes).
   3. \(n=30\): los puestos 15 y 16 están en la frecuencia acumulada 22, es decir, en el valor 2. \(Me=2\). Es decir, la mitad de los jóvenes leyó 2 libros o menos.
   4. \(\sum x_i^2f_i=0+9+32+45+48=134\); \(\sigma^2=\dfrac{134}{30}-1{,}733^2=1{,}462\); \(\sigma=1{,}209\). Se usa \(\sigma^2=\dfrac{\sum x_i^2f_i}{n}-\bar x^2\). Con una desviación de 1,209, los datos están bastante dispersos respecto a la media de 1,733 libros.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Marcas: 10, 30, 50, 70, 90. \(\sum m_if_i=4300\); \(\bar x=\dfrac{4300}{80}=53{,}75\) €. \(\sum m_i^2f_i=268000\); \(\sigma^2=\dfrac{268000}{80}-53{,}75^2=460{,}94\); \(\sigma=21{,}47\) €. En datos agrupados cada clase se representa por su marca. Productos: \(10\cdot5=50\), \(30\cdot15=450\), \(50\cdot30=1500\), \(70\cdot20=1400\) y \(90\cdot10=900\), que suman 4 300.
   2. \(n/2=40\). Acumuladas: 5, 20, 50, 70, 80. Clase mediana \([40,60)\): \(Me=40+\dfrac{40-20}{30}\cdot20=53{,}33\) €. La clase mediana es la primera cuya frecuencia acumulada supera 40; dentro de ella se reparten linealmente los 20 hogares que faltan hasta el puesto 40.
   3. \(CV=\dfrac{21{,}47}{53{,}75}=39{,}9\,\%\). Un CV cercano al 40 % indica una dispersión relativa bastante alta: el gasto varía mucho de un hogar a otro. Respuesta: media de 53,75 € con una desviación típica de 21,47 €.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Con 9 datos: \(Me=9\) (quinto). Mitad inferior (4, 6, 7, 8): \(Q_1=\dfrac{6+7}{2}=6{,}5\). Mitad superior (10, 12, 14, 15): \(Q_3=\dfrac{12+14}{2}=13\).
   2. \(RI=13-6{,}5=6{,}5\). Límites: \(6{,}5-9{,}75=-3{,}25\) y \(13+9{,}75=22{,}75\). No hay atípicos.
   3. Caja de 6,5 a 13 con la línea de la mediana en 9, bigotes hasta 4 y 15. La mediana está más cerca de \(Q_1\) que de \(Q_3\): ligera asimetría hacia valores altos.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(CV=\dfrac{3}{12}=25\,\%\). La desviación típica es la cuarta parte de la antigüedad media.
   2. \(CV=\dfrac{320}{1600}=20\,\%\). Aquí la desviación es la quinta parte del salario medio.
   3. La antigüedad (25 %) está más dispersa que el salario (20 %). Se compara con el CV y no con \(\sigma\), porque las variables tienen unidades distintas (años y euros) y sus desviaciones no se pueden comparar directamente.
   4. Media \(1{,}1\cdot1600=1760\) €; desviación típica \(1{,}1\cdot320=352\) €; el CV no cambia: \(\dfrac{352}{1760}=20\,\%\). Multiplicar todos los datos por 1,1 multiplica la media y la desviación por 1,1, y su cociente queda igual. Respuesta: media de 1 760 €, desviación de 352 € y CV del 20 %.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(\bar x=\dfrac{873}{10}=87{,}3\). Mediana: media de los puestos 5 y 6 \(=\dfrac{85+88}{2}=86{,}5\). Moda: 85. La suma es \(78+80+82+85+85+88+90+92+95+98=873\). La moda es 85 porque es el único valor repetido.
   2. \(\sum x^2=76595\); \(\sigma^2=7659{,}5-87{,}3^2=38{,}21\); \(\sigma=6{,}18\) pulsaciones. Aquí \(7659{,}5=\dfrac{76595}{10}\) y \(87{,}3^2=7621{,}29\).
   3. Mitad inferior (78, 80, 82, 85, 85): \(Q_1=82\). Mitad superior (88, 90, 92, 95, 98): \(Q_3=92\).
   4. Nuevo valor \(=0{,}95\,(x-4)=0{,}95\,x-3{,}8\). Nueva media: \(0{,}95\cdot87{,}3-3{,}8=79{,}13\). Nueva desviación típica: \(0{,}95\cdot6{,}18=5{,}87\). Restar 4 no cambia la dispersión, pero multiplicar por 0,95 la reduce en la misma proporción que la media.

Total : 20 puntos