Derivadas – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Sea la función \(f(x)=x^2-3x\). Estudia cómo varía entre distintos puntos.

1. Calcula \(f(1)\), \(f(3)\) y \(f(4)\).
2. Calcula la tasa de variación media (TVM) en \([1,4]\) y en \([1,3]\).
3. Interpreta geométricamente el resultado de \([1,4]\).
4. Calcula la TVM en \([1,1+h]\) y deduce a qué valor se acerca cuando \(h\) tiende a 0.

Calcula, usando la definición \(f^{\prime}(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), las derivadas siguientes.

1. \(f(x)=x^2\) en \(a=3\).
2. \(f(x)=\sqrt{x}\) en \(a=4\).
3. \(f(x)=5x-2\) en un punto cualquiera \(a\).

Aplica la regla de la potencia y las reglas de la suma y del producto por un número.

1. \(f(x)=3x^4-2x^3+5x-7\)
2. \(g(x)=4\sqrt{x}+\dfrac{1}{x^2}-2x\)
3. \(h(x)=\dfrac{x^3}{6}-\dfrac{5}{x}+9\)
4. Calcula \(f^{\prime}(1)\) y \(g^{\prime}(4)\).

Deriva y simplifica cuando sea posible.

1. \(f(x)=(x^2+1)(3x-2)\)
2. \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\)
3. \(h(x)=x\sqrt{x}\)
4. Comprueba el apartado a) desarrollando antes el producto.

Deriva aplicando la regla de la cadena.

1. \(f(x)=(3x^2-1)^4\)
2. \(g(x)=e^{2x}\)
3. \(h(x)=\ln(x^2+1)\)
4. \(k(x)=x\,e^{-x}\)

Sea la función \(f(x)=x^3-3x\).

1. Calcula \(f^{\prime}(x)\).
2. Halla la ecuación de la recta tangente en \(x=2\).
3. ¿En qué puntos la tangente es horizontal?
4. Escribe la ecuación de esas rectas tangentes horizontales.

Un coche sale de una gasolinera de Burgos y su distancia al punto de partida (en metros) viene dada por \(s(t)=2t^2+3t\), con \(t\) en segundos.

1. Calcula la velocidad media entre \(t=0\) y \(t=4\).
2. Calcula la velocidad instantánea \(s^{\prime}(t)\) y su valor en \(t=4\).
3. Compara los dos resultados y explica la diferencia.
4. ¿En qué instante la velocidad instantánea es de 15 m/s?

Una pequeña fábrica de bicicletas de Eibar tiene un coste de producción (en euros) de \(C(q)=0{,}02q^2+5q+300\) para \(q\) unidades al mes.

1. Calcula el coste de producir 100 bicicletas.
2. Calcula el coste marginal \(C^{\prime}(q)\) y evalúalo en \(q=100\).
3. Calcula el coste real de fabricar la unidad 101 y compáralo con el anterior.
4. Interpreta \(C^{\prime}(100)\) en este contexto.

Una zapatería de Logroño comprueba que, si fija un precio que le permite vender \(q\) pares a la semana, el ingreso (en euros) es \(I(q)=60q-\dfrac{1}{2}q^2\).

1. Calcula el ingreso al vender 20 pares.
2. Calcula el ingreso marginal \(I^{\prime}(q)\) y su valor en \(q=20\).
3. ¿Para qué valor de \(q\) el ingreso marginal es nulo?
4. Interpreta el resultado del apartado c).

La población de un pueblo de la sierra de Gredos viene dada por \(P(t)=1000\,e^{0{,}03t}\) habitantes, donde \(t\) son los años desde 2020.

1. Calcula la población en 2020 y en 2030 (redondea al entero).
2. Calcula la tasa de variación media entre 2020 y 2030.
3. Calcula \(P^{\prime}(t)\) y el ritmo de crecimiento en 2030.
4. Demuestra que \(P^{\prime}(t)=0{,}03\,P(t)\) e interpreta esta relación.

Estudia la monotonía de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\).

1. Calcula \(f^{\prime}(x)\) y resuelve \(f^{\prime}(x)=0\).
2. Estudia el signo de \(f^{\prime}\) en cada intervalo.
3. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
4. Calcula las coordenadas de los máximos y mínimos relativos.

En una cafetería de Santander, el beneficio mensual (en euros) al servir \(q\) cientos de desayunos es \(B(q)=-q^2+60q-500\).

1. Calcula \(B(10)\) y \(B(50)\) e interpreta los resultados.
2. Calcula \(B^{\prime}(q)\) y resuelve \(B^{\prime}(q)=0\).
3. Comprueba que es un máximo y calcula el beneficio máximo.
4. ¿Entre qué valores de \(q\) hay beneficio positivo?

Una jugadora del equipo de un instituto de Vitoria lanza a canasta. La altura del balón (en metros) a una distancia horizontal \(x\) (en metros) del punto de lanzamiento es \(y(x)=-0{,}1x^2+0{,}8x+2\).

1. Calcula la altura del balón al salir de las manos.
2. Calcula \(y^{\prime}(x)\) y la pendiente de la trayectoria al lanzar (\(x=0\)).
3. Halla la distancia a la que el balón alcanza su altura máxima y cuánto vale.
4. Escribe la ecuación de la recta tangente a la trayectoria en \(x=2\).

Tras tomar un comprimido, la concentración de un medicamento en sangre (en mg/L) a las \(t\) horas es \(c(t)=\dfrac{20t}{t^2+4}\), para \(t\ge0\).

1. Calcula la concentración a la 1 hora y a las 4 horas.
2. Calcula \(c^{\prime}(t)\) con la regla del cociente y simplifica.
3. Halla en qué instante la concentración es máxima y cuánto vale.
4. Indica en qué intervalo la concentración aumenta y en cuál disminuye.

Una granja de Extremadura dispone de 200 m de malla para construir un corral rectangular que se apoya en el muro de un almacén, de modo que solo hay que vallar tres lados: dos lados perpendiculares al muro de longitud \(x\) metros y un lado paralelo de longitud \(y\) metros. Se quiere que el corral tenga la mayor superficie posible. La tabla muestra algunos casos.

1. Expresa \(y\) en función de \(x\) y escribe la superficie \(S(x)\). ¿Cuál es el dominio?
2. Completa la tabla con las superficies para los valores de \(x\) indicados.
3. Calcula \(S^{\prime}(x)\) y halla el valor de \(x\) que maximiza la superficie.
4. Calcula las dimensiones y la superficie máxima, y comprueba que es un máximo.
5. ¿Cuánto vale la superficie si el corral fuera un cuadrado (con los tres lados iguales)? Compáralo con el máximo.

Para una actividad de manualidades, un colegio de Cáceres fabrica cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartulina de 30 cm por 20 cm. Se recorta un cuadrado de lado \(x\) centímetros en cada esquina y se doblan los bordes hacia arriba. Se busca la caja de mayor volumen.

1. Escribe las dimensiones de la base y la altura en función de \(x\) e indica entre qué valores puede variar \(x\).
2. Escribe el volumen \(V(x)\) como polinomio.
3. Calcula \(V^{\prime}(x)\) y halla la solución válida de \(V^{\prime}(x)=0\).
4. Calcula el volumen máximo y las dimensiones de la caja.
5. Calcula el volumen para \(x=3\) y \(x=5\) y comprueba que son menores que el máximo.

Una imprenta de Pamplona tiene un coste total (en euros) de \(C(q)=q^2+10q+400\) para \(q\) cientos de folletos. El coste medio por cada cien folletos es \(\overline{C}(q)=\dfrac{C(q)}{q}\).

1. Escribe \(\overline{C}(q)\) simplificado como suma de tres términos.
2. Completa la tabla con el coste medio para los valores indicados.
3. Calcula \(\overline{C}^{\prime}(q)\) y halla el valor de \(q\) que minimiza el coste medio.
4. Calcula el coste medio mínimo y el coste total correspondiente.
5. Comprueba que el coste marginal \(C^{\prime}(q)\) coincide con el coste medio en el mínimo.

Una empresa de mochilas escolares de Alcoy estima que el precio al que puede vender \(q\) unidades al mes es \(p(q)=100-0{,}5q\) euros. Fabricar \(q\) mochilas le cuesta \(C(q)=20q+400\) euros. La empresa quiere decidir cuántas mochilas fabricar para maximizar el beneficio.

1. Escribe la función de ingresos \(I(q)=q\cdot p(q)\).
2. Escribe la función de beneficio \(B(q)=I(q)-C(q)\).
3. Calcula \(B^{\prime}(q)\) y halla la cantidad que da el beneficio máximo.
4. Calcula el beneficio máximo y el precio de venta correspondiente.
5. Calcula el ingreso marginal y el coste marginal en ese punto y compáralos.

Un laboratorio de Barcelona estudia un antiinflamatorio. La concentración en sangre (en mg/L) pasadas \(t\) horas desde la toma es \(c(t)=10\,t\,e^{-t/2}\). Se mide en varias horas y se quiere saber cuándo la concentración es máxima y si baja de 2 mg/L antes de las 10 horas.

1. Completa la tabla de valores con dos decimales.
2. Calcula \(c^{\prime}(t)\) aplicando la regla del producto y la de la cadena.
3. Halla el instante de concentración máxima y el valor máximo.
4. Estudia el crecimiento y decrecimiento de \(c\).
5. Utiliza la tabla para decidir si a las 10 horas la concentración es menor que 2 mg/L.

Sea \(f(x)=x^3+ax^2+bx\) con \(a\) y \(b\) números reales.

1. Halla \(a\) y \(b\) para que \(f\) tenga un extremo relativo en el punto \((1,-1)\).
2. Con esos valores, factoriza \(f^{\prime}(x)\) y clasifica los extremos.
3. Escribe la tangente a la gráfica en \(x=2\).
4. ¿Existe algún punto con tangente de pendiente \(-2\)? Razona la respuesta.