Taylorreihen und Potenzreihen – Mathe Studium 1. Semester Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1

Taylorpolynom von \(f(x)=\ln x\) um \(a=1\): \(f(1)=0\), \(f'(1)=1\), \(f''(1)=-1\), \(f^{(3)}(1)=2\). Also \(T_3(x)=(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3\).

Beispiel 2 (Konvergenzradius)

\(\sum\frac{(x-2)^k}{k\cdot3^k}\): \(a_k=\frac1{k3^k}\), \(\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\frac{(k+1)3^{k+1}}{k3^k}=3\frac{k+1}k\to3\). \(\rho=3\), Konvergenz für \(x\in(-1;5)\). Rand: \(x=5\) ergibt \(\sum\frac1k\) (divergent), \(x=-1\) ergibt \(\sum\frac{(-1)^k}k\) (konvergent). Konvergenzbereich \([-1;5)\).

Beispiel 3 (Näherung)

\(\sin1\approx T_5(1)=1-\frac16+\frac1{120}=0{,}84167\). Fehler \(|R|\le\frac1{7!}=\frac1{5040}\approx0{,}0002\) (denn \(T_5=T_6\) bei \(\sin\)). Tatsächlich \(\sin1=0{,}84147\).

Beispiel 4 (Logarithmus um 0)

Bestimmen Sie \(T_3\) von \(f(x)=\ln(1+x)\) um \(a=0\) und nähern Sie \(\ln1{,}1\).

Es ist \(f(0)=0\), \(f'(x)=\frac1{1+x}\), \(f''(x)=-\frac1{(1+x)^2}\), \(f'''(x)=\frac2{(1+x)^3}\), also \(f'(0)=1\), \(f''(0)=-1\), \(f'''(0)=2\). Damit ist \(T_3(x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3\). Für \(x=0{,}1\) erhält man \(0{,}1-0{,}005+0{,}000333=0{,}095333\); der genaue Wert ist \(0{,}095310\). Der Fehler ist kleiner als das nächste Glied \(\frac{0{,}1^4}4=0{,}000025\).

Beispiel 5 (Die Eulersche Zahl auf sechs Stellen)

Wie viele Glieder der Reihe \(e=\sum\frac1{k!}\) braucht man für einen Fehler unter \(10^{-6}\)?

Für \(f(x)=e^x\), \(a=0\), \(x=1\) ist \(R_n(1)=\frac{e^\xi}{(n+1)!}\) mit \(0<\xi<1\), also \(R_n(1)<\frac3{(n+1)!}\). Es ist \(\frac3{9!}\approx8{,}3\cdot10^{-6}\) noch zu groß, aber \(\frac3{10!}\approx8{,}3\cdot10^{-7}\) klein genug. Mit \(n=9\), also den Gliedern bis \(\frac1{9!}\), erhält man \(e\approx2{,}718282\).

Beispiel 6 (Konvergenzintervall mit Randpunkten)

Bestimmen Sie den Konvergenzbereich von \(\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}k\).

Es ist \(\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\frac{k+1}k\to1\), also \(\rho=1\). Für \(x=1\) entsteht die harmonische Reihe, die divergiert. Für \(x=-1\) entsteht \(\sum\frac{(-1)^k}k\), die nach Leibniz konvergiert. Der Konvergenzbereich ist das halboffene Intervall \([-1,1)\).

Beispiel 7 (Ein Integral ohne Stammfunktion)

Berechnen Sie \(\int_0^1e^{-x^2}dx\) näherungsweise.

Gliedweise integriert: \(\int_0^1\sum\frac{(-1)^kx^{2k}}{k!}dx=\sum\frac{(-1)^k}{k!\,(2k+1)}=1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}+\frac1{216}-\dots\). Die ersten fünf Glieder ergeben \(0{,}74749\). Da die Reihe alternierend ist, beträgt der Fehler höchstens das nächste Glied \(\frac1{1320}\approx0{,}00076\). Der genaue Wert ist \(0{,}746824\).

Beispiel 8 (Grenzwerte mit Taylor)

Berechnen Sie \(\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3}\).

Mit \(\sin x=x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-\dots\) wird der Zähler zu \(-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-\dots\). Nach Division durch \(x^3\) bleibt \(-\frac16+\frac{x^2}{120}-\dots\to-\frac16\). Taylorentwicklungen ersetzen hier dreimaliges Anwenden der Regel von L'Hospital.

Beispiel 9 (Entwicklung an einer anderen Stelle)

Bestimmen Sie \(T_2\) von \(f(x)=\sin x\) um \(a=\frac\pi6\) und nähern Sie \(\sin32^\circ\).

Es ist \(f\left(\frac\pi6\right)=\frac12\), \(f'\left(\frac\pi6\right)=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2\) und \(f''\left(\frac\pi6\right)=-\frac12\). Damit \(T_2(x)=\frac12+\frac{\sqrt3}2\left(x-\frac\pi6\right)-\frac14\left(x-\frac\pi6\right)^2\). Der Unterschied \(2^\circ\) entspricht \(0{,}034907\) im Bogenmaß. Eingesetzt erhält man \(0{,}5+0{,}030230-0{,}000305=0{,}529925\); der genaue Wert ist \(0{,}529919\). Man wählt die Entwicklungsstelle also dort, wo man die Funktionswerte exakt kennt und wo sie nahe am gesuchten Argument liegt.