Taylorreihen und Potenzreihen – Mathe Studium 1. Semester Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (5 BE/Punkte)

   a) \(f(4)=2\), \(f'(4)=\frac14\), \(f''(4)=-\frac1{32}\), \(f'''(x)=\frac3{8x^{5/2}}\), also \(f'''(4)=\frac3{256}\). Damit \(T_3(x)=2+\frac{x-4}4-\frac{(x-4)^2}{64}+\frac{(x-4)^3}{512}\) (3 P.).
   b) \(2+0{,}1-0{,}0025+0{,}000125=2{,}097625\); Fehler etwa \(7\cdot10^{-6}\) (2 P.).

   Die Ableitungen von \(\sqrt x\) sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten; man wertet sie an der Stelle vier aus, wo die Wurzel exakt bekannt ist. Jeder Ableitungswert wird durch die passende Fakultät geteilt, deshalb steht im kubischen Glied \(\frac{3/256}6=\frac1{512}\). Die Näherung für \(\sqrt{4{,}4}\) ist auf fünf Stellen genau, weil der Abstand \(0{,}4\) klein ist.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) \(\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{k\cdot3}{k+1}\to3\): \(\rho=3\) (2 P.).
   b) Bei \(x=\pm3\) sind die Glieder \(k\) bzw. \((-1)^kk\), keine Nullfolge: divergent. Bereich \((-3,3)\) (2 P.).

   Der Quotient aufeinanderfolgender Koeffizienten strebt gegen drei; das ist der Konvergenzradius. Innerhalb dieses Intervalls konvergiert die Reihe absolut, außerhalb divergiert sie. An den Randpunkten setzt man ein und prüft das notwendige Kriterium: Die Glieder haben den Betrag \(k\) und bilden keine Nullfolge. Beide Ränder gehören deshalb nicht zum Konvergenzbereich.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Zähler \(\frac{x^3}6+\dots\): Grenzwert \(\frac16\) (2 P.).
   b) Zähler \(-\frac{x^3}6+\dots\): Grenzwert \(-\frac16\) (2 P.).

   Man setzt die Exponentialreihe beziehungsweise die Sinusreihe ein; alle Glieder bis zur zweiten Ordnung heben sich gegen die abgezogenen Terme auf. Übrig bleibt im Zähler als erstes Glied ein Vielfaches von \(x^3\), das sich mit dem Nenner kürzt. Die höheren Glieder verschwinden beim Grenzübergang. Dreimaliges Anwenden von L'Hospital führt zum selben Ergebnis, ist aber länger.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) \(\cos u\approx1-\frac{u^2}2\) mit \(u=\frac sR\) (2 P.).
   b) \(\frac{25}{12742}\) km \(\approx1{,}96\) m (2 P.).

   Für kleine Argumente ersetzt man den Kosinus durch sein Taylorpolynom zweiten Grades; der Radius kürzt sich teilweise heraus. Wichtig ist, alle Größen in derselben Einheit zu rechnen: Mit Kilometern erhält man das Ergebnis in Kilometern und rechnet danach in Meter um. Die Absenkung wächst quadratisch: Bei doppelter Entfernung ist sie viermal so groß.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (3 BE/Punkte)

   \(0{,}1-0{,}005+0{,}000333=0{,}095333\); alternierend, Fehler höchstens \(\frac{0{,}1^4}4=0{,}000025\) (genau \(0{,}095310\)) (3 P.).

   Die Logarithmusreihe entsteht durch gliedweise Integration der geometrischen Reihe für \(\frac1{1+t}\) von \(0\) bis \(x\). Für \(x=0{,}1\) sind die Glieder klein und wechseln das Vorzeichen, deshalb liefert das Leibniz-Kriterium eine einfache Fehlerschranke: das vierte Glied. Der tatsächliche Fehler \(0{,}000023\) bestätigt diese Abschätzung. Mit vier Gliedern würde der Fehler auf etwa \(2\cdot10^{-6}\) sinken.

Gesamt : 20 Punkte