Prisma und Zylinder – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechne das Volumen mit \(V=G\cdot h\). Gib die Einheit an.

a) Berechne die drei Volumina.
b) Welcher der drei Körper hat das größte Volumen?

Berechne die Grundfläche und das Volumen der Prismen.

a) Dreieck mit \(g=6\) cm, \(h_D=4\) cm; Körperhöhe \(h=10\) cm
b) Trapez mit \(a=8\) cm, \(c=4\) cm, Höhe \(3\) cm; Körperhöhe \(h=5\) cm
c) Rechteck \(7\) cm \(\times\) \(2{,}5\) cm; Körperhöhe \(h=4\) cm

Berechne das Volumen mit \(V=\pi r^2h\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

a) \(r=3\) cm, \(h=10\) cm
b) \(r=5\) cm, \(h=8\) cm
c) \(d=12\) cm, \(h=5\) cm

Berechne Mantel und Oberfläche mit \(M=2\pi rh\) und \(O=2\pi r^2+M\).

a) \(r=3\) cm, \(h=10\) cm
b) \(r=4\) cm, \(h=6\) cm

Der Mantel eines Zylinders ist abgerollt ein Rechteck mit der Breite \(2\pi r\) und der Höhe \(h\).

a) Welche Maße hat das Rechteck für \(r=2\) cm und \(h=7\) cm?
b) Wie groß ist der Mantel?
c) Ein Etikett für eine Dose (\(r=3{,}5\) cm, \(h=12\) cm) soll den Mantel ganz bedecken, aber \(1\) cm Klebefläche überlappen. Welche Maße hat das Etikett?

Die Grundfläche eines Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(3\) cm und \(4\) cm (Hypotenuse \(5\) cm). Die Körperhöhe beträgt \(10\) cm.

a) Berechne die Grundfläche.
b) Berechne das Volumen.
c) Berechne den Mantel mit \(M=u\cdot h\).
d) Berechne die Oberfläche mit \(O=2G+M\).

Wandle um. Denke daran: \(1\,\mathrm{l}=1\,\mathrm{dm}^3=1000\,\mathrm{cm}^3\) und \(1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{l}\).

a) Ein Zylinder hat \(r=5\) cm und \(h=20\) cm. Gib sein Volumen in Litern an.
b) Ein Aquarium ist \(80\) cm lang, \(40\) cm breit und \(50\) cm hoch. Wie viele Liter fasst es?
c) \(2{,}5\,\mathrm{m}^3\) in Liter.
d) \(330\) ml in \(\mathrm{cm}^3\) und \(\mathrm{dm}^3\).

Bestimme die gesuchte Größe. Stelle die Formel \(V=\pi r^2h\) um.

a) Zylinder mit \(r=4\) cm und \(V=500\,\mathrm{cm}^3\). Gesucht: \(h\)
b) Zylinder mit \(h=10\) cm und \(V=1000\,\mathrm{cm}^3\). Gesucht: \(r\)
c) Prisma mit \(V=240\,\mathrm{cm}^3\) und \(G=30\,\mathrm{cm}^2\). Gesucht: \(h\)

Ein Zylinder hat \(r=3\) cm und \(h=8\) cm.

a) Berechne sein Volumen.
b) Berechne das Volumen, wenn die Höhe verdoppelt wird.
c) Berechne das Volumen, wenn der Radius verdoppelt wird.
d) Welche Höhe braucht ein Zylinder mit \(r=4\) cm für das ursprüngliche Volumen?

Eine Getränkedose soll \(330\) ml fassen und hat den Radius \(3{,}3\) cm. Sie besteht aus Aluminiumblech.

a) Wie hoch muss die Dose sein?
b) Wie groß ist der Mantel?
c) Wie groß ist die Oberfläche der Dose (Blech für Boden, Deckel und Mantel)?
d) Das Blech kostet \(0{,}004\,€\) pro \(\mathrm{cm}^2\). Was kostet das Blech für \(1\,000\) Dosen?

Familie Weber hat eine zylinderförmige Regentonne mit dem Radius \(40\) cm und der Höhe \(90\) cm.

a) Wie viele Liter fasst die Tonne?
b) Wie hoch steht das Wasser bei \(300\) Litern?
c) Das Dach hat \(50\,\mathrm{m}^2\) Fläche. Bei einem Regen fallen \(20\) Liter pro \(\mathrm{m}^2\). Wie viele Liter kommen vom Dach?
d) Wie viele solche Tonnen werden dafür benötigt?

Ein Schwimmbecken ist \(25\) m lang und \(10\) m breit. Es ist am flachen Ende \(1\) m und am tiefen Ende \(2\) m tief. Der Boden fällt gleichmäßig ab, die Seitenwand ist ein Trapez.

a) Berechne die Fläche der trapezförmigen Seitenwand (Grundfläche des Prismas).
b) Berechne das Volumen in \(\mathrm{m}^3\) und in Litern.
c) Das Wasser kostet \(2{,}30\,€\) pro \(\mathrm{m}^3\). Wie teuer ist eine Füllung?
d) Wie lange dauert das Füllen, wenn pro Stunde \(25\,\mathrm{m}^3\) einlaufen?

Der Dachboden eines Hauses hat einen dreieckigen Querschnitt (Giebel): Grundseite \(8\) m, Höhe \(3\) m. Das Haus ist \(12\) m lang.

a) Berechne die Querschnittsfläche.
b) Berechne das Volumen des Dachbodens.
c) Wie lang ist die Dachschräge? (Pythagoras mit \(4\) m und \(3\) m.)
d) Berechne die gesamte Dachfläche beider Seiten.
e) Die Dämmung kostet \(14\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\). Was kostet sie für das ganze Dach?

Für die Terrasse wird eine zylinderförmige Betonsäule mit dem Durchmesser \(30\) cm und der Höhe \(2{,}40\) m gegossen. Beton wiegt etwa \(2\,400\) kg pro \(\mathrm{m}^3\).

a) Berechne das Volumen in \(\mathrm{m}^3\).
b) Berechne das Gewicht der Säule.
c) Berechne die Mantelfläche in \(\mathrm{m}^2\) (zum Streichen).
d) Ein Eimer Farbe reicht für \(8\,\mathrm{m}^2\). Wie viele Säulen kann man damit streichen?

Ein Hersteller testet drei zylinderförmige Dosen mit etwa gleichem Inhalt (\(333\,\mathrm{cm}^3\)). Er will möglichst wenig Blech verbrauchen.

a) Berechne das Volumen jeder Dose.
b) Berechne die Oberfläche jeder Dose.
c) Welche Dose braucht am wenigsten Blech?
d) Welche Form (breit und flach oder schmal und hoch) ist günstiger?
e) Die Dosen werden im Supermarkt gestapelt. Warum entscheiden sich Hersteller oft trotzdem für eine schmale Dose?

Eine Schokolade wird in einer Schachtel verkauft, die ein Prisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche ist (Seite \(4\) cm, Dreieckshöhe \(\sqrt{12}\approx3{,}46\) cm). Die Schachtel ist \(20\) cm lang.

a) Berechne die Grundfläche.
b) Berechne das Volumen.
c) Berechne den Mantel und die Oberfläche (Pappe).
d) Der Hersteller berechnet \(0{,}07\,€\) pro \(\mathrm{dm}^2\) Pappe. Was kostet die Pappe für eine Schachtel?
e) Die Schachteln werden aufrecht (mit einer \(4\)-cm-Seite auf dem Boden) in einen Karton mit \(40\) cm \(\times\) \(30\) cm \(\times\) \(20\) cm gestellt. Wie viele passen hinein, und wie viel Prozent des Kartonvolumens werden genutzt?

Das Haus der Familie Schulz hat eine Dachfläche von \(10\) m \(\times\) \(8\) m. Das Regenwasser wird in zylinderförmigen Tonnen mit \(r=50\) cm und \(h=1\) m gesammelt. Ein Gewitter bringt \(25\) Liter pro \(\mathrm{m}^2\).

a) Wie viel Wasser fällt auf das Dach?
b) Wie viel fasst eine Tonne?
c) Wie viele Tonnen werden gebraucht?
d) Wie hoch steht das Wasser in einer Tonne, wenn das Wasser auf \(3\) gleich volle Tonnen verteilt wird?

Aus einem zylinderförmigen Baumstamm (Durchmesser \(40\) cm, Länge \(3\) m) soll ein Balken mit quadratischem Querschnitt gesägt werden. Die Ecken des Quadrats liegen auf dem Kreis.

a) Berechne das Volumen des Stammes in \(\mathrm{m}^3\).
b) Wie lang ist die Seite des größtmöglichen Quadrats (Diagonale gleich Durchmesser)?
c) Berechne das Volumen des Balkens.
d) Wie viel Prozent des Holzes werden Abfall?
e) Die Rinde wird mit \(8\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\) Mantelfläche abgezogen und verwertet. Berechne den Erlös.

Für einen Zylinder mit der Höhe \(h=2r\) (Höhe gleich Durchmesser) gilt ein besonderer Zusammenhang.

a) Zeige: \(V=2\pi r^3\) und \(O=6\pi r^2\).
b) Für welchen Radius sind die Zahlenwerte von \(V\) und \(O\) gleich?
c) Berechne \(V\) und \(O\) für diesen Radius.
d) Warum ist der Vergleich von Volumen und Oberfläche physikalisch nicht ganz korrekt?

Ein DIN-A4-Blatt (\(21\) cm \(\times\) \(29{,}7\) cm) wird zu einem Zylindermantel gerollt, entweder mit der langen oder mit der kurzen Seite als Umfang. Die Überlappung wird vernachlässigt.

a) Fall 1: Die Seite \(29{,}7\) cm ist der Umfang. Berechne \(r\), \(h\) und \(V\).
b) Fall 2: Die Seite \(21\) cm ist der Umfang. Berechne \(r\), \(h\) und \(V\).
c) Welcher Zylinder fasst mehr? Wie groß ist der Unterschied in Prozent?
d) Erkläre, warum der breitere Zylinder mehr fasst, obwohl der Mantel gleich groß ist.