Wie berechne ich den Umfang eines Kreises?

Mit \(U=2\pi r\) oder \(U=\pi d\). Für \(r=5\) cm ist \(U\approx31{,}42\) cm.

Wie berechne ich die Fläche eines Kreises?

Mit \(A=\pi r^2\). Du quadrierst den Radius und multiplizierst mit \(\pi\).

Wie berechne ich einen Kreisausschnitt?

Berechne den Bruchteil \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) und multipliziere ihn mit dem Umfang (Bogenlänge) oder mit der Fläche (Sektorfläche).

Kreis Klasse 8 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Dieser Lernzettel zum Thema Kreis ist für Klasse 8 (Alter 13-14) geschrieben. Kurz gesagt geht es darum: Kreiszahl Pi, Umfang, Flächeninhalt, Kreisteile. Bevor du anfängst, wiederhole am besten Bruchterme und Bruchgleichungen und Prozent- und Zinseszinsrechnung, denn dieser Lernzettel baut darauf auf.

Kreis Klasse 8 Lernzettel: das lernst du

Kreise begegnen dir bei Rädern, Tellern und Brunnen. Du lernst, wie du ihren Umfang und ihre Fläche berechnest.

Einstieg: Das Rad der Pizza

Leon bestellt eine Pizza mit dem Durchmesser \(30\) cm für \(9{,}60\,€\). Seine Schwester möchte stattdessen zwei kleine Pizzen mit je \(20\) cm für \(5{,}50\,€\) das Stück. Leon sagt: „Zwei kleine sind mehr als eine große, \(20+20>30\).“ Stimmt das? Eine Pizza ist ein Kreis, und beim Kreis zählt nicht der Durchmesser, sondern die Fläche \(\pi r^2\): Die große hat etwa \(707\,\mathrm{cm}^2\), die beiden kleinen zusammen nur etwa \(628\,\mathrm{cm}^2\). Der Radius geht quadratisch ein, deshalb täuscht der Blick auf den Durchmesser. In diesem Kapitel lernst du, solche Fragen sicher zu entscheiden und Kreise im Alltag zu berechnen: bei Rädern, Brunnen, Fenstern und Sportplätzen.

Die Kreiszahl Pi

Definition: Kreiszahl \(\pi\)

Teilst du bei jedem Kreis den Umfang durch den Durchmesser, erhältst du immer dieselbe Zahl, die Kreiszahl \(\pi\) (sprich „Pi“). Es gilt \(\pi\approx3{,}14159\ldots\); die Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nicht.

Hinweis

In der Schule rechnest du mit der \(\pi\)-Taste des Taschenrechners oder mit \(\pi\approx3{,}14\).

Begriffe am Kreis

Definition: Radius und Durchmesser

Mittelpunkt \(M\): der Punkt, von dem alle Punkte des Kreises gleich weit entfernt sind.
Radius \(r\): Abstand vom Mittelpunkt zum Kreisrand.
Durchmesser \(d=2r\): längste Strecke durch den Mittelpunkt.
Umfang \(U\): Länge der Kreislinie.
Flächeninhalt \(A\): Größe der Fläche im Inneren.

Umfang und Flächeninhalt

Satz: Formeln für den Kreis

\(U=2\pi r=\pi d\qquad A=\pi r^2\)

Merke: Quadratisch

Der Radius geht beim Flächeninhalt quadratisch ein. Verdoppelst du den Radius, wird der Umfang doppelt so groß, die Fläche aber vier Mal so groß.

Beispiel 1: Umfang und Fläche

Ein Kreis hat den Radius \(r=5\) cm.

\(U=2\cdot\pi\cdot5\approx31{,}42\) cm.

\(A=\pi\cdot5^2=25\pi\approx78{,}54\) cm².

Beispiel 2: Aus dem Durchmesser

Ein runder Brunnen hat den Durchmesser 12 m.

Radius: \(r=6\) m.

\(U=\pi\cdot12\approx37{,}70\) m und \(A=\pi\cdot6^2\approx113{,}10\) m².

So gehst du vor: Radius berechnen

Schreibe die passende Formel auf: \(U=2\pi r\) oder \(A=\pi r^2\).
Stelle nach \(r\) um: \(r=\dfrac{U}{2\pi}\) beziehungsweise \(r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}\).
Setze ein und rechne mit der \(\pi\)-Taste.
Mache die Probe mit der Ausgangsformel.

Beispiel 3: Radius aus der Fläche

Ein Kreis hat die Fläche \(50{,}27\) cm². Wie groß ist der Radius?

\(r=\sqrt{50{,}27:\pi}\approx\sqrt{16}=4\) cm.

Kreisring, Halbkreis und zusammengesetzte Figuren

Definition: Kreisring

Ein Kreisring entsteht, wenn aus einem großen Kreis (Radius \(R\)) ein kleinerer Kreis (Radius \(r\)) mit demselben Mittelpunkt herausgeschnitten wird. Er ist ein Unterschied zweier Kreisflächen.

Regel: Kreisring und Halbkreis

Kreisring: \(A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)\)
Halbkreis: \(A=\tfrac12\pi r^2\) und \(U=\pi r+2r\)

Bei zusammengesetzten Figuren zerlegst du in bekannte Teile, rechnest einzeln und addierst oder subtrahierst.

Beispiel 4: Kreisring

Berechne den Kreisring mit \(R=8\) cm und \(r=5\) cm.

\(A=\pi\cdot(64-25)=39\pi\approx122{,}52\) cm².

Kreisteile: Sektor und Bogen

Definition: Kreissektor

Ein Kreissektor ist ein „Tortenstück“ mit dem Mittelpunktswinkel \(\alpha\). Er ist der Bruchteil \(\dfrac{\alpha}{360^\circ}\) des ganzen Kreises. Die zugehörige Kreislinie heißt Bogen.

Satz: Bogenlänge und Sektorfläche

\(b=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r\qquad A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360^\circ}\cdot\pi r^2\)

Beispiel 5: Sektor

Berechne Bogenlänge und Fläche eines Sektors mit \(r=10\) cm und \(\alpha=90^\circ\).

Der Winkel ist ein Viertel des Vollwinkels.

\(b=\frac14\cdot2\pi\cdot10\approx15{,}71\) cm und \(A=\frac14\cdot\pi\cdot100\approx78{,}54\) cm².

Beispiel 6: Rad und Umdrehungen

Ein Fahrradrad hat den Durchmesser 70 cm. Wie viele Umdrehungen braucht es für einen Kilometer?

Eine Umdrehung: \(U=\pi\cdot70\approx219{,}91\) cm.

\(\dfrac{100\,000}{219{,}91}\approx455\) Umdrehungen.

Beispiel 7: Fenster

Ein Fenster besteht aus einem Rechteck (80 cm breit, 120 cm hoch) mit aufgesetztem Halbkreis. Wie groß ist die Fläche?

Der Durchmesser des Halbkreises ist die Breite, also \(r=40\) cm.

Rechteck: \(80\cdot120=9600\) cm². Halbkreis: \(\frac12\pi\cdot40^2\approx2513\) cm².

Insgesamt etwa 12 113 cm², also gut 1,2 m².

Hinweis

Die Formel \(A=\pi r^2\) lässt sich so verstehen: Zerschneide eine Pizza in viele schmale Stücke und lege sie abwechselnd nebeneinander. Es entsteht fast ein Rechteck mit der Höhe \(r\) und der Breite \(\pi r\) (dem halben Umfang). Die Fläche ist also \(r\cdot\pi r=\pi r^2\).

Die Zahl Pi genauer betrachtet

Schon die alten Griechen suchten ein genaues Verhältnis von Umfang zu Durchmesser. Archimedes schloss durch Einschachteln mit regelmäßigen Vielecken, dass \(\pi\) zwischen \(3\frac{10}{71}\) und \(3\frac17\) liegt. Bruch \(\frac{22}{7}\approx3{,}1429\) ist eine gute Näherung für den Kopfrechner. Mit dem Computer kennt man heute mehrere Billionen Stellen. Für die Praxis genügt \(\pi\approx3{,}14\), doch die \(\pi\)-Taste liefert genauere Ergebnisse. Runde erst am Schluss, damit sich Rundungsfehler nicht aufsummieren.

Beispiel 8: Näherung prüfen

Wie weit liegt \(\frac{22}{7}\) vom wahren Wert von \(\pi\) entfernt? Wie groß ist der Fehler bei einem Kreis mit \(r=10\) m?

\(\frac{22}{7}\approx3{,}142857\), \(\pi\approx3{,}141593\). Der Unterschied beträgt etwa \(0{,}00126\). Beim Umfang \(U=2\pi\cdot10\) macht das einen Fehler von \(20\cdot0{,}00126\approx0{,}025\) m, also gut zwei Zentimeter.

Umdrehung und Weg

Rollt ein Rad ohne zu rutschen, so legt es bei einer Umdrehung genau seinen Umfang zurück. Damit lassen sich Weglängen und Geschwindigkeiten berechnen. Die Anzahl der Umdrehungen ist \(\frac{\text{Strecke}}{\text{Umfang}}\). Das gilt für Fahrräder, Autoreifen, Seilrollen und Zahnräder. Bei zwei Rädern mit verschiedenem Durchmesser dreht sich das kleinere öfter.

Beispiel 9: Autoreifen

Ein Autoreifen hat den Durchmesser \(64\) cm. Wie viele Umdrehungen macht er pro Kilometer, und wie viele pro Minute bei \(90\) km/h?

Umfang: \(U=\pi\cdot64\approx201{,}06\) cm \(\approx2{,}01\) m. Pro Kilometer: \(\frac{1000}{2{,}01}\approx497\) Umdrehungen. Bei \(90\) km/h sind es \(1500\) m pro Minute, also \(\frac{1500}{2{,}01}\approx746\) Umdrehungen pro Minute.

Zusammengesetzte Figuren richtig zerlegen

Viele Aufgaben bestehen aus Kreisen, Halbkreisen und Rechtecken. Du zerlegst die Figur in bekannte Teile, rechnest jeden Teil einzeln und addierst oder subtrahierst. Achte darauf, dass du bei Umfangsberechnungen nur die äußere Randlinie zählst: Die Linie, an der ein Halbkreis auf einem Rechteck sitzt, gehört nicht zum Umfang.

Beispiel 10: Stadionbahn

Eine Laufbahn besteht aus einem Rechteck (\(80\) m \(\times\) \(60\) m) mit zwei Halbkreisen an den kurzen Seiten. Berechne Umfang und Fläche.

Die beiden Halbkreise ergeben zusammen einen Kreis mit \(d=60\) m, also \(r=30\) m. Umfang: \(2\cdot80+\pi\cdot60\approx160+188{,}50=348{,}50\) m. Fläche: Rechteck \(4800\,\mathrm{m}^2\) plus Kreis \(\pi\cdot900\approx2827{,}43\,\mathrm{m}^2\), zusammen etwa \(7627\,\mathrm{m}^2\).

Achtung: Vier Fehlerquellen

Erstens: In \(\pi r^2\) steht der Radius, nicht der Durchmesser. Zweitens: Quadriere zuerst \(r\), dann multipliziere mit \(\pi\). Drittens: Die Einheit der Fläche ist \(\mathrm{cm}^2\), nicht cm. Viertens: Bei einem Halbkreis gehört der Durchmesser zum Umfang, bei einem aufgesetzten Halbkreis dagegen nicht.

Wusstest du?

Im Altertum versuchten Mathematiker, ein Quadrat mit genau derselben Fläche wie ein Kreis nur mit Zirkel und Lineal zu zeichnen. Erst 1882 bewies Ferdinand von Lindemann, dass das unmöglich ist, weil \(\pi\) keine einfache Zahl ist, sondern transzendent. Der Satz „die Quadratur des Kreises“ bedeutet seitdem eine unlösbare Aufgabe.

Merke: Das Wichtigste auf einen Blick

\(\pi\approx3{,}14159\) ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, bei allen Kreisen gleich.
Umfang: \(U=2\pi r=\pi d\) (Einheit: Länge).
Fläche: \(A=\pi r^2\) (Einheit: Fläche); setze immer den Radius ein.
Verdoppelter Radius: doppelter Umfang, vierfache Fläche.
Kreisring: \(A=\pi(R^2-r^2)\); Halbkreis: \(A=\frac12\pi r^2\) und \(U=\pi r+2r\).
Sektor: Bruchteil \(\frac{\alpha}{360^\circ}\) von Umfang und Fläche.
Rückwärts rechnen: \(r=\frac{U}{2\pi}\) oder \(r=\sqrt{A/\pi}\).
Zusammengesetzte Figuren: zerlegen, einzeln rechnen, addieren oder subtrahieren.

Achtung

Umfang und Fläche nicht verwechseln: Der Umfang hat die Einheit cm, die Fläche cm². Setze in \(\pi r^2\) den Radius ein, nicht den Durchmesser, und quadriere zuerst: \(\pi r^2\) ist nicht \((\pi r)^2\). Beim Kreisring rechnest du \(R^2-r^2\), nicht \(R-r\).

Vertiefung: Kreisberechnungen verstehen

Einstieg: Woher kommt die Flächenformel?

Schneide einen Kreis wie eine Torte in sehr viele schmale Stücke und lege sie abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten nebeneinander. Es entsteht eine Figur, die fast wie ein Rechteck aussieht. Ihre Höhe ist der Radius \(r\), ihre Länge ist der halbe Umfang, also \(\pi r\). Je mehr Stücke man nimmt, desto genauer wird das Rechteck. Seine Fläche ist Länge mal Höhe: \(\pi r\cdot r=\pi r^2\). So erklärt sich die Formel für den Flächeninhalt des Kreises, ohne dass man sie auswendig lernen muss.

So gehst du vor: Zusammengesetzte Figuren mit Kreisteilen

Zerlege die Figur in bekannte Teile: Rechtecke, Dreiecke, Kreise, Halbkreise, Viertelkreise oder Kreisringe.
Notiere für jeden Kreisteil den Radius. Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst.
Berechne die Teilflächen und addiere oder subtrahiere sie, je nachdem ob der Teil hinzukommt oder ausgeschnitten wird.
Beim Umfang zählst du nur die Linien, die außen liegen. Innere Trennlinien gehören nicht dazu.
Rechne erst am Ende mit gerundeten Werten, damit sich Rundungsfehler nicht summieren.

Achtung: Radius oder Durchmesser?

Der häufigste Fehler bei Kreisaufgaben ist, den Durchmesser in die Flächenformel einzusetzen. Bei \(d=10\,\mathrm{cm}\) ist \(r=5\,\mathrm{cm}\) und die Fläche \(\pi\cdot25\approx78{,}5\,\mathrm{cm}^2\). Wer \(\pi\cdot10^2\) rechnet, erhält das Vierfache. Lies deshalb jede Aufgabe genau und schreibe den Radius ausdrücklich hin, bevor du rechnest.

Schon gewusst?

Die Zahl \(\pi\) hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nie periodisch wiederholen. Archimedes bestimmte schon um 250 v. Chr. mit Vielecken, dass \(\pi\) zwischen \(3\frac{10}{71}\) und \(3\frac17\) liegt. Heute kennen Computer Billionen von Stellen. Für die Praxis genügen aber wenige: Mit zehn Nachkommastellen könnte man den Erdumfang auf Bruchteile eines Millimeters genau berechnen.

Beispiel: Ein Viertelkreis im Garten

In einer Gartenecke wird ein Beet in Form eines Viertelkreises mit dem Radius 4 m angelegt. Berechne Fläche und Randlänge.

Ein Viertelkreis ist ein Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel \(90^\circ\). Seine Fläche ist ein Viertel der Kreisfläche: \(\frac14\cdot\pi\cdot4^2\approx12{,}57\,\mathrm{m}^2\). Der Rand besteht aus dem Viertelbogen \(\frac14\cdot2\pi\cdot4\approx6{,}28\,\mathrm{m}\) und den beiden geraden Kanten von je 4 m. Zusammen sind das etwa 14,28 m. Wer nur den Bogen berechnet, vergisst die beiden Radien als Teil des Randes.

Ottos Tipp

Schreibe zuerst auf, ob Radius oder Durchmesser gegeben ist. Ein vergessenes Halbieren oder Verdoppeln ist der häufigste Fehler. Rechne zur Kontrolle grob mit \(\pi\approx3\): Das Ergebnis darf nicht weit davon abweichen.

So nutzt du den Lernzettel Kreis (Klasse 8)

Lies zuerst das Wichtigste oben, damit du weißt, worum es geht. Danach arbeitest du jede Definition und jedes Beispiel durch und deckst die Lösung zuerst ab. Anschließend übst du mit dem Arbeitsblatt zu Kreis: Umfang und Fläche und vergleichst mit den Lösungen. Sobald du dich sicher fühlst, testest du dich mit dem Online-Test oder dem Quiz. Schließlich schreibst du die Klassenarbeit zu Kreis: Umfang und Fläche und korrigierst sie mit den Lösungen zur Klassenarbeit.

Außerdem eignet sich das Kopfrechnen zum Aufwärmen, damit das Wissen frisch bleibt. Außerdem gehören alle Seiten dieses Kapitels zusammen, sodass du jederzeit wechseln kannst. Zum Beispiel lesen viele Schüler montags den Lernzettel, üben mittwochs und testen sich freitags. Kurz gesagt enthält dieser Lernzettel zu Kreis (Klasse 8) alles, was du für das Thema brauchst.