Bruchterme und Bruchgleichungen – Mathe Klasse 8 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Definitionsmenge

Bestimme die Definitionsmenge von \(\dfrac{5}{x-2}\) und von \(\dfrac{x}{x^2-9}\).

\(x-2=0\) für \(x=2\). Also \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{2\}\).

\(x^2-9=(x+3)(x-3)=0\) für \(x=3\) und \(x=-3\). Also \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-3;3\}\).

Beispiel 2: Dritte Formel nutzen

Kürze \(\dfrac{x^2-9}{x+3}\).

\(\dfrac{x^2-9}{x+3}=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x+3}=x-3\) für \(x\neq-3\).

Beispiel 3: Ausklammern und Formel

Kürze \(\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}\).

\(\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{x+2}{x}\) für \(x\neq0\) und \(x\neq2\).

Beispiel 4: Division

Berechne \(\dfrac{3}{x}:\dfrac{6}{x^2}\).

\(\dfrac{3}{x}\cdot\dfrac{x^2}{6}=\dfrac{3x^2}{6x}=\dfrac{x}{2}\) für \(x\neq0\).

Beispiel 5: Subtraktion

Berechne \(\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}\).

\(\dfrac{3(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{3x+3-2x+2}{x^2-1}=\dfrac{x+5}{x^2-1}\).

Das Minus wirkt auf beide Glieder der zweiten Klammer.

Beispiel 6: Hauptnenner

Fasse \(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{3}{x+2}\) zusammen.

\(x^2-4=(x+2)(x-2)\). Der zweite Nenner steckt schon im ersten, der Hauptnenner ist \((x+2)(x-2)\).

Erweitere den zweiten Bruch mit \((x-2)\): \(\dfrac{1+3(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\dfrac{3x-5}{x^2-4}\) mit \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\).

Beispiel 7: Bruchgleichung

Löse \(\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{6}{x+2}\).

\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{1;-2\}\). Multiplikation mit \((x-1)(x+2)\): \(3(x+2)=6(x-1)\), also \(3x+6=6x-6\) und \(x=4\).

Probe: \(\frac33=1\) und \(\frac66=1\). Die Lösung ist \(x=4\).

Beispiel 8: Keine Lösung

Löse \(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{3}{x-3}\).

Es ist \(x\neq3\). Multiplikation mit \(x-3\) ergibt \(x=3\).

Diese Zahl gehört nicht zur Definitionsmenge. Also \(L=\{\}\).

Beispiel 9: Gemischte Aufgabe

Löse \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=1\).

\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Hauptnenner \(3x\): \(6+x=3x\), also \(x=3\).

Probe: \(\frac23+\frac13=1\). Stimmt.

Beispiel 10: Arbeitsaufgabe

Pumpe A füllt ein Becken in 4 Stunden, Pumpe B in 12 Stunden. Wie lange brauchen beide zusammen?

Pro Stunde füllt A \(\frac14\), B \(\frac1{12}\). Zusammen \(\frac14+\frac1{12}=\frac13\) des Beckens.

Sie brauchen 3 Stunden.

Beispiel 11: Stückkosten

Ein Verein druckt \(x\) T-Shirts. Die Druckvorlage kostet \(60\,€\), jedes Shirt \(4\,€\). Wie hoch sind die Stückkosten bei \(30\) und bei \(120\) Shirts?

Der Term für die Stückkosten ist \(\frac{60+4x}{x}=\frac{60}{x}+4\). Bei \(x=30\): \(\frac{60+120}{30}=6\,€\). Bei \(x=120\): \(\frac{60+480}{120}=4{,}50\,€\). Je mehr Shirts, desto näher kommen die Stückkosten an \(4\,€\).

Beispiel 12: Mit Zahl ohne Bruch

Löse \(\dfrac{6}{x}+2=\dfrac{10}{x}\).

\(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0\}\). Hauptnenner \(x\): \(6+2x=10\), also \(2x=4\) und \(x=2\). Probe: \(\frac62+2=5\) und \(\frac{10}2=5\). Die Zahl \(2\) wurde auf der linken Seite ebenfalls mit \(x\) multipliziert.

Beispiel 13: Gemeinsame Arbeit

Zwei Bagger heben eine Baugrube aus. Bagger A schafft es allein in \(8\) Tagen, Bagger B in \(24\) Tagen. Wie lange brauchen beide gemeinsam?

Pro Tag schafft A \(\frac18\), B \(\frac1{24}\). Zusammen: \(\frac{3}{24}+\frac1{24}=\frac4{24}=\frac16\). Sie brauchen also \(6\) Tage. Allgemein gilt: Bei \(a\) und \(b\) Tagen allein ist die gemeinsame Zeit \(\frac{ab}{a+b}\).

Beispiel 14: Zwei Nenner mit Formel

Löse \(\dfrac{x}{x+2}-\dfrac{4}{x^2-4}=1\).

Es ist \(x^2-4=(x+2)(x-2)\), also \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-2;2\}\). Hauptnenner \((x+2)(x-2)\): \(x(x-2)-4=(x+2)(x-2)\). Ausmultipliziert: \(x^2-2x-4=x^2-4\). Das \(x^2\) fällt weg: \(-2x=0\), also \(x=0\). Probe: \(0-\frac{4}{-4}=1\). Stimmt, und \(0\in\mathbb{D}\).

Beispiel: Eine Scheinlösung erkennen

Löse \(\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}\).

Der Nenner wird für \(x=1\) null, also gilt \(\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{1\}\). Multipliziert man beide Seiten mit \(x-1\), erhält man \(2x=2\) und damit \(x=1\). Diese Zahl ist aber ausgeschlossen, denn eingesetzt würde man durch null teilen. Die Gleichung hat deshalb keine Lösung: \(\mathbb{L}=\{\;\}\). Wer die Definitionsmenge vergisst, gibt hier eine falsche Antwort.