Prisma und Zylinder – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Würfel: \(4^3=64\,\mathrm{cm}^3\); Quader: \(5\cdot3\cdot8=120\,\mathrm{cm}^3\); Prisma: \(12\cdot7=84\,\mathrm{cm}^3\).
   b) Der Quader mit \(120\,\mathrm{cm}^3\).

   Alle drei Körper sind Prismen, deshalb gilt überall \(V=G\cdot h\). Beim Würfel und beim Quader ist die Grundfläche ein Quadrat bzw. ein Rechteck. Volumen haben immer eine Kubikeinheit. Antwort: Der Quader ist mit 120 cm³ am größten, das Prisma liegt mit 84 cm³ dazwischen, der Würfel ist mit 64 cm³ am kleinsten.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(G=\frac12\cdot6\cdot4=12\,\mathrm{cm}^2\); \(V=12\cdot10=120\,\mathrm{cm}^3\).
   b) \(G=\frac{8+4}{2}\cdot3=18\,\mathrm{cm}^2\); \(V=18\cdot5=90\,\mathrm{cm}^3\).
   c) \(G=7\cdot2{,}5=17{,}5\,\mathrm{cm}^2\); \(V=17{,}5\cdot4=70\,\mathrm{cm}^3\).

   Zuerst berechnet man die Grundfläche mit der Formel der jeweiligen Figur, danach multipliziert man mit der Körperhöhe. Beim Trapez ist die Grundfläche das Produkt aus Mittellinie und Höhe. Antwort: Das Dreiecksprisma hat mit 120 cm³ das größte Volumen.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(V=\pi\cdot9\cdot10=282{,}74\,\mathrm{cm}^3\).
   b) \(V=\pi\cdot25\cdot8=628{,}32\,\mathrm{cm}^3\).
   c) \(r=6\); \(V=\pi\cdot36\cdot5=565{,}49\,\mathrm{cm}^3\).

   Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis, also \(G=\pi r^2\). Bei c) ist der Durchmesser gegeben, deshalb wird er zuerst halbiert. Ein Überschlag mit \(\pi\approx3\) zeigt bei a) etwa 270 cm³, das passt. Antwort: Die Volumina betragen etwa 283 cm³, 628 cm³ und 565 cm³.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(M=2\pi\cdot3\cdot10=188{,}50\,\mathrm{cm}^2\); \(O=2\pi\cdot9+M=245{,}04\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(M=2\pi\cdot4\cdot6=150{,}80\,\mathrm{cm}^2\); \(O=2\pi\cdot16+M=251{,}33\,\mathrm{cm}^2\).

   Der Mantel ist das abgerollte Rechteck aus Kreisumfang und Höhe. Zur Oberfläche gehören zusätzlich Boden und Deckel, also zwei Kreise. Antwort: Die Oberflächen betragen etwa 245 cm² und 251 cm².

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) Breite \(2\pi\cdot2=12{,}57\) cm, Höhe \(7\) cm.
   b) \(M=12{,}57\cdot7=87{,}96\,\mathrm{cm}^2\).
   c) Breite \(2\pi\cdot3{,}5+1=22{,}99\) cm, Höhe \(12\) cm.

   Rollt man den Mantel ab, entsteht ein Rechteck, dessen Breite der Kreisumfang ist. Beim Etikett kommt zur Breite noch die Klebefläche hinzu, die Höhe bleibt gleich. Antwort: Das Etikett muss etwa 23 cm breit und 12 cm hoch sein.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(G=\frac12\cdot3\cdot4=6\,\mathrm{cm}^2\).
   b) \(V=6\cdot10=60\,\mathrm{cm}^3\).
   c) \(u=3+4+5=12\); \(M=12\cdot10=120\,\mathrm{cm}^2\).
   d) \(O=2\cdot6+120=132\,\mathrm{cm}^2\).

   Der Mantel eines Prismas besteht aus Rechtecken, deren Breiten zusammen den Umfang der Grundfläche ergeben. Deshalb gilt \(M=u\cdot h\). Antwort: Das Prisma hat ein Volumen von 60 cm³ und eine Oberfläche von 132 cm².

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(V=\pi\cdot25\cdot20=1570{,}8\,\mathrm{cm}^3\approx1{,}57\) l.
   b) \(80\cdot40\cdot50=160\,000\,\mathrm{cm}^3=160\) l.
   c) \(2{,}5\cdot1000=2500\) l.
   d) \(330\,\mathrm{ml}=330\,\mathrm{cm}^3=0{,}33\,\mathrm{dm}^3\).

   Merke: 1 Liter entspricht einem Würfel mit 10 cm Kantenlänge, also 1000 cm³. Um von cm³ in Liter umzurechnen, teilt man durch 1000. Ein Milliliter ist genau ein Kubikzentimeter. Antwort: Der Zylinder fasst gut 1,5 Liter, das Aquarium 160 Liter.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(h=\frac{500}{\pi\cdot16}=9{,}95\) cm.
   b) \(r=\sqrt{\frac{1000}{10\pi}}=5{,}64\) cm.
   c) \(h=\frac{240}{30}=8\) cm.

   Beim Rückwärtsrechnen stellt man die Volumenformel nach der gesuchten Größe um. Ist der Radius gesucht, teilt man durch \(\pi h\) und zieht danach die Wurzel. Probe zu a): \(\pi\cdot16\cdot9{,}95\approx500\). Antwort: Die Höhe beträgt knapp 10 cm, der Radius gut 5,6 cm und die Prismenhöhe 8 cm.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(V=\pi\cdot9\cdot8=72\pi\approx226{,}19\,\mathrm{cm}^3\).
   b) Doppelte Höhe: doppeltes Volumen \(144\pi\approx452{,}39\,\mathrm{cm}^3\).
   c) Doppelter Radius: vierfaches Volumen \(288\pi\approx904{,}78\,\mathrm{cm}^3\).
   d) \(\pi\cdot16\cdot h=72\pi\), \(h=\frac{72}{16}=4{,}5\) cm.

   Antwort: Verdoppelt man die Höhe, verdoppelt sich das Volumen; verdoppelt man den Radius, vervierfacht es sich, weil der Radius quadratisch eingeht. Ein breiterer Zylinder braucht deshalb viel weniger Höhe für dasselbe Volumen.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(h=\frac{330}{\pi\cdot3{,}3^2}=9{,}65\) cm.
    b) \(M=2\pi\cdot3{,}3\cdot9{,}65\approx200{,}1\,\mathrm{cm}^2\).
    c) \(O=2\pi\cdot3{,}3^2+M\approx268{,}5\,\mathrm{cm}^2\).
    d) \(268{,}6\cdot0{,}004\approx1{,}07\,€\) pro Dose; für \(1000\) Dosen etwa \(1074\,€\).

    Zuerst wird die Formel \(V=\pi r^2h\) nach \(h\) umgestellt, wobei 330 ml = 330 cm³ gilt. Für den Blechbedarf braucht man die gesamte Oberfläche. Antwort: Die Dose ist etwa 9,65 cm hoch, das Blech für 1000 Dosen kostet rund 1074 €.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(V=\pi\cdot40^2\cdot90=452{,}4\) l.
    b) \(300\,\mathrm{l}=300\,000\,\mathrm{cm}^3\); \(h=\frac{300000}{\pi\cdot1600}=59{,}7\) cm.
    c) \(50\cdot20=1000\) Liter.
    d) \(\frac{1000}{452{,}4}\approx2{,}21\): mindestens \(3\) Tonnen.

    Vor dem Rechnen werden die Einheiten angeglichen: Volumen in cm³ geteilt durch 1000 ergibt Liter. Antwort: Eine Tonne fasst rund 452 Liter; für 1000 Liter Regenwasser braucht man 3 Tonnen.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(G=\frac{1+2}{2}\cdot25=37{,}5\,\mathrm{m}^2\).
    b) \(V=37{,}5\cdot10=375\,\mathrm{m}^3=375\,000\) l.
    c) \(375\cdot2{,}30=862{,}50\,€\).
    d) \(375:25=15\) Stunden.

    Das Becken ist ein liegendes Prisma, dessen Grundfläche das Trapez der Seitenwand ist. Die Breite von 10 m ist die Körperhöhe. Antwort: Das Becken fasst 375 000 Liter, eine Füllung kostet 862,50 € und dauert 15 Stunden.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(G=\frac12\cdot8\cdot3=12\,\mathrm{m}^2\).
    b) \(V=12\cdot12=144\,\mathrm{m}^3\).
    c) \(s=\sqrt{4^2+3^2}=5\) m.
    d) \(2\cdot5\cdot12=120\,\mathrm{m}^2\).
    e) \(120\cdot14=1680\,€\).

    Der Dachboden ist ein Dreiecksprisma mit der Hauslänge als Körperhöhe. Die Dachschräge berechnet man im rechtwinkligen Dreieck aus halber Grundseite und Höhe. Antwort: Der Dachboden hat 144 m³, die Dämmung kostet 1680 €.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(V=\pi\cdot0{,}15^2\cdot2{,}4=0{,}170\,\mathrm{m}^3\).
    b) \(0{,}1696\cdot2400\approx407\) kg.
    c) \(M=2\pi\cdot0{,}15\cdot2{,}4=2{,}26\,\mathrm{m}^2\).
    d) \(\frac{8}{2{,}26}\approx3{,}5\): bis zu \(3\) Säulen.

    Alle Längen werden zuerst in Meter umgerechnet: Radius 0,15 m. Gewicht = Volumen mal Dichte. Antwort: Die Säule wiegt rund 407 kg; ein Eimer Farbe reicht für 3 Säulen.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) A: \(\pi\cdot9\cdot11{,}8=333{,}6\); B: \(\pi\cdot16\cdot6{,}6=331{,}8\); C: \(\pi\cdot6{,}25\cdot17=333{,}8\) (in \(\mathrm{cm}^3\)).
    b) A: \(2\pi\cdot9+2\pi\cdot3\cdot11{,}8=279{,}0\); B: \(266{,}4\); C: \(306{,}3\) (in \(\mathrm{cm}^2\)).
    c) Dose B (Radius \(4\) cm) braucht am wenigsten Blech.
    d) Die Form mit \(h\approx2r\) (nicht zu hoch, nicht zu flach) ist am sparsamsten; Dose B kommt dem am nächsten.
    e) Schmale Dosen liegen besser in der Hand und stapeln sich platzsparender im Regal; Blechverbrauch ist nicht das einzige Kriterium.

    Bei gleichem Volumen haben die Dosen sehr unterschiedliche Oberflächen. Am wenigsten Material braucht ein Zylinder, dessen Höhe ungefähr gleich seinem Durchmesser ist. Antwort: Dose B ist am sparsamsten.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(G=\frac12\cdot4\cdot3{,}46=6{,}93\,\mathrm{cm}^2\).
    b) \(V=6{,}93\cdot20=138{,}6\,\mathrm{cm}^3\).
    c) \(M=3\cdot4\cdot20=240\,\mathrm{cm}^2\); \(O=2\cdot6{,}93+240=253{,}9\,\mathrm{cm}^2\).
    d) \(253{,}9\,\mathrm{cm}^2=2{,}54\,\mathrm{dm}^2\); \(2{,}54\cdot0{,}07\approx0{,}18\,€\).
    e) Länge: \(40:20=2\); Breite: \(30:4=7{,}5\), also \(7\); Höhe: \(20:3{,}46\approx5{,}8\), also \(5\). Das sind \(2\cdot7\cdot5=70\) Schachteln. Genutztes Volumen: \(70\cdot138{,}6\approx9702\,\mathrm{cm}^3\) von \(24\,000\,\mathrm{cm}^3\), also etwa \(40\,\%\).

    Die Grundfläche ist hier das gleichseitige Dreieck, die Länge der Schachtel die Körperhöhe. Für die Pappe braucht man die gesamte Oberfläche. Antwort: In den Karton passen 70 Schachteln, das Volumen wird nur zu etwa 40 % genutzt.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(80\cdot25=2000\) l.
    b) \(\pi\cdot50^2\cdot100=785{,}4\) l.
    c) \(\frac{2000}{785{,}4}\approx2{,}55\): mindestens \(3\) Tonnen.
    d) \(\frac{2000}{3}\approx666{,}7\,\mathrm{l}=666\,700\,\mathrm{cm}^3\); \(h=\frac{666667}{\pi\cdot2500}\approx84{,}9\) cm.

    Ein Liter pro Quadratmeter entspricht 1 mm Regen. Antwort: Vom Dach kommen 2000 Liter, eine Tonne fasst rund 785 Liter, man braucht 3 Tonnen; bei gleichmäßiger Verteilung steht das Wasser jeweils etwa 85 cm hoch.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(V=\pi\cdot0{,}2^2\cdot3=0{,}377\,\mathrm{m}^3\).
    b) \(a^2+a^2=0{,}4^2\), \(a=\sqrt{0{,}08}=0{,}283\) m, also \(28{,}3\) cm.
    c) \(a^2\cdot3=0{,}08\cdot3=0{,}24\,\mathrm{m}^3\).
    d) \(\frac{0{,}377-0{,}24}{0{,}377}\approx36{,}3\,\%\) (genau: \(1-\frac{2}{\pi}\)).
    e) \(M=2\pi\cdot0{,}2\cdot3=3{,}77\,\mathrm{m}^2\); Erlös \(3{,}77\cdot8\approx30{,}16\,€\).

    Die Diagonale des Quadrats ist der Durchmesser des Stammes, deshalb hilft der Satz des Pythagoras. Antwort: Der Balken hat 0,24 m³, gut ein Drittel des Holzes wird Abfall; die Rinde bringt etwa 30 €.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(V=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3\); \(O=2\pi r^2+2\pi r\cdot2r=2\pi r^2+4\pi r^2=6\pi r^2\).
    b) \(2\pi r^3=6\pi r^2\) ergibt \(r=3\).
    c) \(r=3\): \(V=54\pi\approx169{,}65\), \(O=54\pi\approx169{,}65\).
    d) Volumen hat die Einheit \(\mathrm{cm}^3\), die Oberfläche \(\mathrm{cm}^2\); nur die Zahlenwerte sind gleich.

    Antwort: Bei \(r=3\) haben Volumen und Oberfläche denselben Zahlenwert \(54\pi\). Die Größen selbst sind aber nicht vergleichbar, weil sie verschiedene Einheiten haben.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(r=\frac{29{,}7}{2\pi}=4{,}73\) cm, \(h=21\) cm; \(V=\pi r^2h\approx1474\,\mathrm{cm}^3\).
    b) \(r=\frac{21}{2\pi}=3{,}34\) cm, \(h=29{,}7\) cm; \(V\approx1042\,\mathrm{cm}^3\).
    c) Fall 1 fasst mehr, \(\frac{1475-1042}{1042}\approx41\,\%\) mehr.
    d) Der Mantel ist gleich groß, aber das Volumen hängt quadratisch vom Radius ab (\(V=\frac{U^2h}{4\pi}\)). Der größere Umfang bringt mehr als die größere Höhe.

    Antwort: Rollt man das Blatt so, dass die lange Seite der Umfang ist, fasst der Zylinder rund 41 % mehr. Der Radius geht quadratisch in das Volumen ein, die Höhe nur einfach.