Mehrstufige Zufallsexperimente – Mathe Klasse 8 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Zweimal würfeln

Wie wahrscheinlich sind zwei Sechsen, wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs?

Jeder Wurf hat \(P(6)=\frac16\). Pfadregel 1: \(P(6;6)=\frac16\cdot\frac16=\frac1{36}\).

Keine Sechs in zwei Würfen: \(\frac56\cdot\frac56=\frac{25}{36}\). Mindestens eine Sechs ist das Gegenereignis: \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\).

Beispiel 2: Zwei Kugeln mit Zurücklegen

Eine Urne enthält 3 rote und 2 blaue Kugeln. Es wird zweimal mit Zurücklegen gezogen. Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten?

\(P(r)=\frac35\), \(P(b)=\frac25\). Dann \(P(rr)=\frac9{25}\), \(P(bb)=\frac4{25}\), \(P(rb)=P(br)=\frac6{25}\).

Zwei verschiedene Farben: \(\frac6{25}+\frac6{25}=\frac{12}{25}\). Kontrolle: \(\frac{9+6+6+4}{25}=1\).

Beispiel 3: Zwei Kugeln ohne Zurücklegen

Dieselbe Urne (3 rot, 2 blau), zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei Kugeln verschiedener Farbe?

Erste Stufe: \(P(r)=\frac35\), \(P(b)=\frac25\). Nach einer roten Kugel sind noch 2 rote und 2 blaue da: \(P(r|r)=\frac24\).

\(P(rr)=\frac35\cdot\frac24=\frac3{10}\) und \(P(bb)=\frac25\cdot\frac14=\frac1{10}\).

Verschiedene Farben: \(1-\frac3{10}-\frac1{10}=\frac35\).

Beispiel 4: Klasse

In einer Klasse mit 12 Mädchen und 8 Jungen werden zwei Personen zufällig ausgewählt. Wie wahrscheinlich sind beide Mädchen?

\(\frac{12}{20}\cdot\frac{11}{19}=\frac{33}{95}\). Im zweiten Zug sind nur noch 19 Personen übrig, davon 11 Mädchen.

Beispiel 5: Trefferquote 70 %

Ein Basketballer trifft mit 70 % und wirft dreimal. Wie groß sind \(P(\text{drei Treffer})\), \(P(\text{genau zwei Treffer})\) und \(P(\text{mindestens ein Treffer})\)?

Drei Treffer: \(0{,}7^3=0{,}343\).

Genau zwei Treffer gibt es auf drei Pfaden (TTN, TNT, NTT), jeder mit \(0{,}7^2\cdot0{,}3=0{,}147\). Zusammen \(3\cdot0{,}147=0{,}441\).

Mindestens ein Treffer: \(1-0{,}3^3=1-0{,}027=0{,}973\).

Beispiel 6: Qualitätskontrolle

5 % der Teile einer Fabrik sind defekt. Zwei Teile werden unabhängig entnommen. Wie wahrscheinlich ist mindestens ein defektes Teil?

Beide in Ordnung: \(0{,}95\cdot0{,}95=0{,}9025\).

Mindestens eines defekt: \(1-0{,}9025=0{,}0975\), also etwa 9,75 %.

Beispiel 7: Zwei Stufen mit Bedingung

Für Samstag wird mit \(40\,\%\) Regen vorhergesagt. Nach einem Regentag regnet es am Sonntag mit \(50\,\%\), sonst mit \(10\,\%\). Wie wahrscheinlich ist Regen am Sonntag?

Pfad Regen-Regen: \(0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2\). Pfad kein Regen-Regen: \(0{,}6\cdot0{,}1=0{,}06\). Beide Pfade führen zu „Regen am Sonntag“, also \(0{,}2+0{,}06=0{,}26\). Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(26\,\%\).

Beispiel 8: Fehlerquote

Ein Drucker liefert Seiten mit der Fehlerwahrscheinlichkeit \(2\,\%\). Wie wahrscheinlich ist es, dass unter \(3\) Seiten mindestens eine fehlerhaft ist?

Gegenereignis „alle drei in Ordnung“: \(0{,}98^3\approx0{,}9412\). Also \(1-0{,}9412=0{,}0588\), etwa \(5{,}9\,\%\).

Beispiel 9: Drei Kugeln

Eine Urne enthält \(4\) rote und \(2\) blaue Kugeln. Es werden drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie wahrscheinlich sind drei rote?

\(\frac46\cdot\frac35\cdot\frac24=\frac{24}{120}=\frac15\). Bei jedem Zug sinkt die Zahl der roten und die Gesamtzahl um eins. Die Wahrscheinlichkeit beträgt \(20\,\%\).

Beispiel: Verkürztes Baumdiagramm

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine Sechs?

Ein vollständiges Baumdiagramm hätte 216 Pfade. Es genügt aber, nur zwischen „Sechs“ (\(\frac16\)) und „keine Sechs“ (\(\frac56\)) zu unterscheiden. Dann gibt es nur 8 Pfade. Genau eine Sechs entsteht auf drei Pfaden: an erster, zweiter oder dritter Stelle. Jeder dieser Pfade hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac16\cdot\frac56\cdot\frac56=\frac{25}{216}\). Zusammen: \(3\cdot\frac{25}{216}=\frac{75}{216}\approx34{,}7\,\%\).