Lineare Gleichungssysteme – Mathe Klasse 8 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Einsetzen

Löse \(\text{I}\;y=3x-2\) und \(\text{II}\;2x+y=13\).

I in II: \(2x+(3x-2)=13\), also \(5x=15\) und \(x=3\).

\(y=3\cdot3-2=7\). Lösung: \((3|7)\).

Probe in II: \(2\cdot3+7=13\). Stimmt.

Beispiel 2: Gleichsetzen

Löse \(y=2x-1\) und \(y=x+4\).

\(2x-1=x+4\), also \(x=5\).

\(y=2\cdot5-1=9\). Lösung: \((5|9)\).

Beispiel 3: Addieren

Löse \(\text{I}\;2x+3y=1\) und \(\text{II}\;3x+2y=4\).

\(x\) soll wegfallen: I mal 3 gibt \(6x+9y=3\), II mal 2 gibt \(6x+4y=8\).

Subtraktion: \(5y=-5\), also \(y=-1\).

Einsetzen in I: \(2x-3=1\), also \(x=2\). Lösung: \((2|-1)\). Probe in II: \(3\cdot2+2\cdot(-1)=4\). Stimmt.

Beispiel 4: Besondere Fälle

Untersuche \(y=2x+1\), \(y=2x-3\) und \(x+y=4\), \(2x+2y=8\).

Gleichsetzen: \(2x+1=2x-3\) ergibt \(1=-3\). Falsch, also \(L=\{\}\).

Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten. Es entsteht \(0=0\): unendlich viele Lösungen.

Beispiel 5: Kinokarten

2 Erwachsenen- und 3 Kinderkarten kosten 27 €, eine Erwachsenen- und zwei Kinderkarten 16 €.

\(2E+3K=27\) und \(E+2K=16\).

Aus der zweiten: \(E=16-2K\). Einsetzen: \(32-4K+3K=27\), also \(K=5\) und \(E=6\).

Eine Erwachsenenkarte kostet 6 €, eine Kinderkarte 5 €.

Beispiel 6: Zahlenrätsel

Die Summe zweier Zahlen ist 25, ihre Differenz 7.

\(x+y=25\) und \(x-y=7\). Addition: \(2x=32\), also \(x=16\).

\(y=25-16=9\). Lösungsmenge: \(L=\{(16|9)\}\).

Beispiel 7: Verfahren wählen

Löse \(\text{I}\ x=2y-1\) und \(\text{II}\ 3x-2y=5\).

I ist schon nach \(x\) aufgelöst, also setzt du ein: \(3(2y-1)-2y=5\). Ausmultiplizieren: \(6y-3-2y=5\), also \(4y=8\) und \(y=2\). Dann \(x=2\cdot2-1=3\). Probe in II: \(9-4=5\). Das Ergebnis ist \(L=\{(3|2)\}\).

Beispiel 8: Altersaufgabe

Anna ist heute dreimal so alt wie ihr Bruder Ben. In \(6\) Jahren ist sie nur noch doppelt so alt wie er. Wie alt sind beide?

\(a=3b\) und \(a+6=2(b+6)\). Einsetzen: \(3b+6=2b+12\), also \(b=6\) und \(a=18\). Probe: In \(6\) Jahren ist Anna \(24\) und Ben \(12\): \(24=2\cdot12\).

Beispiel 9: Mischungsaufgabe

Ein Händler mischt Tee zu \(8\,€\) pro \(100\) g und Tee zu \(12\,€\) pro \(100\) g zu \(10\) Packungen à \(100\) g für \(100\,€\). Wie viele Packungen von jeder Sorte?

\(x+y=10\) und \(8x+12y=100\). Aus der ersten: \(x=10-y\). Einsetzen: \(80-8y+12y=100\), also \(4y=20\), \(y=5\) und \(x=5\). Je \(5\) Packungen von jeder Sorte.

Beispiel 10: Lösungsfälle

Für welches \(a\) hat \(y=2x+1\), \(y=ax+4\) keine Lösung?

Parallel sind die Geraden bei gleicher Steigung \(a=2\) und verschiedenen Achsenabschnitten (\(1\neq4\)). Dann ergibt Gleichsetzen \(2x+1=2x+4\), also \(1=4\): Es gibt keine Lösung. Für \(a\neq2\) gibt es genau einen Schnittpunkt.

Beispiel: Mischungsaufgabe

Ein Saftladen mischt Apfelsaft (2 € pro Liter) und Orangensaft (3 € pro Liter) zu 10 Litern einer Mischung für 2,40 € pro Liter. Wie viele Liter jeder Sorte braucht man?

Mit \(a\) Litern Apfelsaft und \(o\) Litern Orangensaft gilt für die Menge \(a+o=10\) und für den Preis \(2a+3o=24\). Subtrahiert man das Doppelte der ersten Gleichung von der zweiten, bleibt \(o=4\). Also ist \(a=6\). Probe: \(6+4=10\) und \(12+12=24\). Man braucht 6 Liter Apfelsaft und 4 Liter Orangensaft.