Satz des Pythagoras – Mathe Klasse 8 Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

Berechne die Hypotenuse \(c\) mit \(c=\sqrt{a^2+b^2}\). Wenn du die Seiten kennst, kannst du Zahlentripel erkennen.

a) Ergänze die Tabelle.
b) Was fällt bei den Ergebnissen auf?

Berechne die Hypotenuse und runde, wenn nötig, auf zwei Nachkommastellen.

a) \(a=7\) cm, \(b=24\) cm
b) \(a=1{,}5\) m, \(b=2\) m
c) \(a=4\) cm, \(b=5\) cm
d) \(a=b=10\) cm

Berechne die fehlende Kathete mit \(a=\sqrt{c^2-b^2}\). Hier wird subtrahiert.

a) \(c=13\) cm, \(b=5\) cm
b) \(c=10\) cm, \(b=6\) cm
c) \(c=7\) cm, \(b=4\) cm
d) \(c=2{,}5\) m, \(a=1{,}5\) m

Prüfe mit der Umkehrung des Satzes. Setze die längste Seite als \(c\) ein.

a) \(6\) cm, \(8\) cm, \(10\) cm
b) \(5\) cm, \(6\) cm, \(8\) cm
c) \(20\) cm, \(21\) cm, \(29\) cm
d) \(7\) cm, \(9\) cm, \(12\) cm

Über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Quadrate gezeichnet. Der Satz des Pythagoras sagt: Die Summe der kleinen Quadratflächen ist gleich der großen.

a) Ergänze die fehlenden Flächen.
b) Wie lang sind in Fall 1 die drei Seiten?
c) Wie lang sind in Fall 2 die drei Seiten?

Berechne die Diagonale mit dem Satz des Pythagoras.

a) Rechteck \(12\) cm \(\times\) \(5\) cm
b) Rechteck \(8\) cm \(\times\) \(6\) cm
c) Quadrat mit der Seite \(7\) cm
d) Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seite \(a\)? Gib eine Formel an.

Eine \(5\) m lange Leiter lehnt an einer Hauswand. Der Fuß der Leiter steht \(1{,}4\) m von der Wand entfernt.

a) Wie hoch reicht die Leiter an der Wand?
b) Die Leiter wird so gestellt, dass sie \(4\) m hoch reicht. Wie weit steht sie dann von der Wand?
c) Ein Fenster liegt in \(4{,}5\) m Höhe. Wie weit muss der Fuß der \(5\) m langen Leiter von der Wand entfernt stehen, damit die Leiter genau das Fenster erreicht?
d) Warum darf der Fuß nicht zu nahe an der Wand stehen?

Die Größe eines Fernsehers wird als Bildschirmdiagonale in Zoll angegeben (\(1\) Zoll \(=2{,}54\) cm). Ein Gerät ist \(122\) cm breit und \(68{,}6\) cm hoch.

a) Berechne die Diagonale in cm.
b) Wie groß ist sie in Zoll?
c) Ein Bildschirm hat \(32\) Zoll Diagonale im Format \(16\!:\!9\). Berechne grob Breite und Höhe, indem du \(16k\) und \(9k\) ansetzt und die Gleichung für \(k\) löst.
d) Passt ein \(55\)-Zoll-Fernseher (\(122\) cm breit) auf ein \(110\) cm breites Regal?

Berechne den Abstand zweier Punkte mit \(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

a) \(A(1|2)\) und \(B(7|10)\)
b) \(P(-2|1)\) und \(Q(4|9)\)
c) \(C(0|0)\) und \(D(5|12)\)
d) \(E(-3|-2)\) und \(F(2|4)\)

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.

a) Berechne Höhe und Fläche bei \(a=6\) cm.
b) Berechne Höhe und Fläche bei \(a=10\) cm.
c) Gib die Formel für die Höhe \(h\) in Abhängigkeit von \(a\) an und leite sie her.
d) Eine dreieckige Pergola (\(a=3\) m) wird mit Stoff bespannt (\(14\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\)). Was kostet der Stoff?

Ein Fußballplatz ist \(105\) m lang und \(68\) m breit.

a) Berechne die Länge der Diagonale.
b) Zwei Spieler laufen vom einen Eckpunkt zum gegenüberliegenden: der eine auf der Diagonale, der andere an Längs- und Querseite entlang. Wie viele Meter spart die Diagonale?
c) Wie lange braucht ein Spieler mit \(6\) m/s für die Diagonale?
d) Der Platz wird für den Rasenschnitt in Bahnen von \(2\) m Breite gemäht. Wie viele Bahnen sind nötig, und wie lang sind sie insgesamt?

Für die Skateranlage wird eine gerade Rampe gebaut. Sie überwindet einen Höhenunterschied von \(1{,}2\) m auf einer waagerechten Strecke von \(3{,}5\) m.

a) Berechne die Länge der Rampenfläche.
b) Berechne die Fläche der Rampe, wenn sie \(2\) m breit ist.
c) Das Holz kostet \(24\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\). Wie teuer ist die Rampenfläche?
d) Wie groß ist die Steigung in Prozent (Höhe geteilt durch waagerechte Strecke)?

Ein Segelboot hat einen \(8\) m hohen Mast. Zur Stabilisierung wird ein Seil von der Mastspitze zu einem Punkt am Deck gespannt, der \(6\) m vom Mastfuß entfernt ist.

a) Wie lang muss das Seil mindestens sein?
b) Für die Befestigung am Mast und am Deck kommen je \(0{,}25\) m dazu. Wie lang ist das Seil insgesamt?
c) Wie lang ist das Seil, wenn der Befestigungspunkt \(4\) m vom Mast entfernt ist?
d) Welche Befestigung ist günstiger: nah am Mast oder weit weg? Begründe in einem Satz.

Handwerker prüfen mit der Schnurmethode, ob ein Fundament rechtwinklig ist. Die Seiten eines Hausfundaments sind \(9\) m und \(12\) m lang.

a) Berechne die Soll-Diagonale.
b) Wie groß ist die Abweichung?
c) Ist das Fundament rechtwinklig genug, wenn \(2\) cm Toleranz erlaubt sind?
d) Ein anderes Fundament hat die Seiten \(6\) m und \(8\) m. Berechne die Diagonale und nenne die 3-4-5-Verwandtschaft.

Die Punkte \(A(0|0)\), \(B(4|3)\) und \(C(-3|4)\) bilden ein Dreieck.

a) Berechne die Seitenlängen \(AB\), \(AC\) und \(BC\).
b) Zeige mit der Umkehrung des Satzes, dass das Dreieck bei \(A\) rechtwinklig ist.
c) Berechne Umfang und Flächeninhalt.
d) Verschiebe das Dreieck um \(\binom{2}{-1}\). Ändern sich die Seitenlängen?

Ein Klassenzimmer ist \(9\) m lang, \(7\) m breit und \(3\) m hoch. Der Hausmeister will eine \(12\) m lange Stange hineinlegen.

a) Berechne die Diagonale des Bodens.
b) Berechne die Raumdiagonale.
c) Passt die Stange in den Raum?
d) Ein Umzugskarton misst \(60\) cm \(\times\) \(40\) cm \(\times\) \(30\) cm. Wie lang ist der längste Stab, der hineinpasst?

Ein Satteldach hat einen Giebel mit einer Breite von \(10\) m und einer Höhe von \(3{,}6\) m. Das Haus ist \(12\) m lang. Die Dachziegel kosten \(12\,€\) pro \(\mathrm{m}^2\).

a) Berechne die Länge eines Dachsparrens (Schräge).
b) Berechne die gesamte Dachfläche (zwei Seiten).
c) Berechne die Kosten für die Ziegel.
d) Wie viele Kubikmeter Luft enthält der Dachraum (Prisma)?
e) Wie lang müsste die Schräge bei einer Dachhöhe von \(5\) m sein? Wie ändert sich die Fläche?

Eine Seilbahn führt von der Talstation zur Bergstation. Der waagerechte Abstand beträgt \(800\) m, der Höhenunterschied \(300\) m.

a) Berechne die Länge des Tragseils.
b) Wie lange dauert die Fahrt (in Sekunden und Minuten)?
c) Wie groß ist die Steigung in Prozent?
d) Wegen eines Sturms wird die Geschwindigkeit auf \(3\) m/s gesenkt. Wie viele Minuten länger dauert die Fahrt?
e) Das Tragseil kostet \(48\,€\) pro Meter. Was kostet es?

Aus zwei natürlichen Zahlen \(m>n\) kannst du ein Tripel erzeugen: \(a=m^2-n^2\), \(b=2mn\), \(c=m^2+n^2\).

a) Ergänze die Tabelle.
b) Prüfe bei jedem Tripel mit der Umkehrung des Satzes.
c) Zeige allgemein: \((m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2\).
d) Wie viele Tripel findest du mit \(m\le 6\)?

Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten \(a\) und \(b\) und der Hypotenuse \(c\) werden in ein großes Quadrat mit der Seite \(a+b\) gelegt. In der Mitte bleibt ein schiefes Quadrat mit der Seite \(c\) übrig.

a) Berechne für \(a=3\) und \(b=4\) die Fläche des großen Quadrats.
b) Berechne die Fläche der vier Dreiecke.
c) Berechne die Fläche des inneren Quadrats und vergleiche mit \(c^2\).
d) Leite aus \((a+b)^2=c^2+4\cdot\frac{ab}{2}\) den Satz des Pythagoras her.