Ganze Zahlen – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Wir zählen die Striche ab der Null: Nach links liegen die negativen, nach rechts die positiven Zahlen. A liegt drei Striche links der Null, also bei \(-3\). B liegt einen Strich links, also bei \(-1\). C liegt bei \(2\), D bei \(4\).
   b) Der Abstand zur Null ist der Betrag. B hat den Abstand \(|-1|=1\), das ist der kleinste. B liegt also am nächsten an 0.
   c) D hat den Abstand \(|4|=4\), A nur \(|-3|=3\). Den größten Abstand zur Null hat D.
   Antwort: A \(=-3\), B \(=-1\), C \(=2\), D \(=4\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) Die Gegenzahl liegt auf der anderen Seite der Null im gleichen Abstand; man ändert nur das Vorzeichen. Der Betrag ist der Abstand zur Null und ist nie negativ.
   \(-6\): Gegenzahl \(6\), Betrag \(6\).
   \(9\): Gegenzahl \(-9\), Betrag \(9\).
   \(0\): Gegenzahl \(0\), Betrag \(0\).
   \(-25\): Gegenzahl \(25\), Betrag \(25\).
   b) Nur die Zahl 0 ist ihre eigene Gegenzahl, denn sie hat kein Vorzeichen und liegt genau in der Mitte. Jede andere Zahl hat eine Gegenzahl auf der anderen Seite.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   Auf der Zahlengeraden ist eine Zahl umso kleiner, je weiter links sie liegt.
   a) \(-3<2\): Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl.
   b) \(-8<-5\): \(-8\) liegt weiter links. Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag die kleinere.
   c) \(-10=-10\): Beide Zahlen sind gleich.
   d) \(0>-1\): Null ist größer als jede negative Zahl.
   e) \(-25>-52\): \(-25\) liegt weiter rechts, weil ihr Betrag kleiner ist.
   Merke: Bei Temperaturen ist \(-25\) °C wärmer als \(-52\) °C.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) Zuerst ordnen wir die negativen Zahlen: \(-8\) liegt weiter links als \(-3\), weil ihr Betrag größer ist. Dann kommt die 0, danach die positiven Zahlen 2 und 5.
   Ergebnis: \(-8<-3<0<2<5\).
   b) Die negativen Zahlen sind \(-21\), \(-12\) und \(-1\). Die Zahl mit dem größten Betrag ist am kleinsten, also \(-21\), dann \(-12\), dann \(-1\). Die positiven Zahlen ordnen wir wie gewohnt: \(1<12\).
   Ergebnis: \(-21<-12<-1<1<12\).
   Kontrolle: Gegenzahlen wie \(-12\) und \(12\) stehen symmetrisch zur Mitte der Reihe.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Beim Addieren einer positiven Zahl gehen wir auf der Zahlengeraden nach rechts, bei einer negativen nach links.
   a) Start bei \(-5\), 8 Schritte nach rechts: \(-5+8=3\).
   b) Start bei \(-7\), 4 Schritte nach links: \(-7+(-4)=-7-4=-11\). Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, Vorzeichen behalten.
   c) Start bei 6, 9 Schritte nach links: \(6+(-9)=6-9=-3\). Verschiedene Vorzeichen: Beträge subtrahieren, Vorzeichen der Zahl mit größerem Betrag.
   d) \(-12+12=0\). Eine Zahl plus ihre Gegenzahl ergibt immer 0.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Regel: Eine Zahl subtrahieren heißt ihre Gegenzahl addieren.
   a) \(4-9=4+(-9)=-5\). Wir gehen von 4 aus 9 Schritte nach links.
   b) \(-3-5=-3+(-5)=-8\).
   c) \(-6-(-10)=-6+10=4\). Minus mal minus in der Klammer wird zu plus.
   d) \(2-(-7)=2+7=9\).
   Kontrolle zu c) mit der Umkehraufgabe: \(4+(-10)=-6\). Stimmt. Antwort: \(-5\), \(-8\), \(4\) und \(9\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   Steht vor der Klammer ein Plus, bleiben die Vorzeichen; steht ein Minus davor, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um.
   a) \(8+(-3)-(-5)=8-3+5=10\).
   b) \(-4-(+6)+(-2)=-4-6-2=-12\).
   c) \(10-(7-12)=10-7+12=15\). Kontrolle: Klammer zuerst, \(7-12=-5\), dann \(10-(-5)=15\).
   d) \(-(5-9)-(3+4)=-5+9-3-4=-3\). Kontrolle: \(-(-4)-7=4-7=-3\).
   Antwort: 10, \(-12\), 15 und \(-3\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   Vorzeichenregeln: Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Ergebnis, verschiedene ein negatives. Das gilt für Mal und Geteilt.
   a) Verschiedene Vorzeichen: \((-6)\cdot7=-42\).
   b) Gleiche Vorzeichen: \((-5)\cdot(-9)=45\).
   c) Verschiedene Vorzeichen: \(48:(-8)=-6\).
   d) Gleiche Vorzeichen: \((-72):(-9)=8\).
   e) Schrittweise: \((-2)\cdot(-3)=6\), dann \(6\cdot(-4)=-24\). Allgemein gilt: Eine ungerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein negatives Produkt.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   Reihenfolge: zuerst Klammern, dann Punktrechnung (mal, geteilt), zuletzt Strichrechnung (plus, minus).
   a) Zuerst \((-4)\cdot5=-20\), dann \(3+(-20)=-17\).
   b) Klammer: \(3-8=-5\). Dann \((-5)\cdot(-2)=10\).
   c) Punktrechnungen: \(-12:(-3)=4\) und \(2\cdot(-4)=-8\). Dann \(4+(-8)=-4\).
   d) Klammer: \(4-9=-5\). Dann \(3\cdot(-5)=-15\), und \(20-(-15)=20+15=35\).
   Antwort: \(-17\), \(10\), \(-4\) und \(35\).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Wir ordnen von kalt nach warm: \(-6<-3<-1<1<4\). Reihenfolge: Mittwoch, Montag, Donnerstag, Dienstag, Freitag.
    b) Wärmster Tag Freitag mit 4 °C, kältester Mittwoch mit \(-6\) °C. Unterschied: \(4-(-6)=10\) K. Auf dem Thermometer sind das 6 Grad bis zur Null und weitere 4 Grad darüber.
    c) Von \(-3\) °C auf 1 °C: \(1-(-3)=4\) K wärmer.
    d) Frost herrscht bei Temperaturen unter 0 °C, also am Montag, Mittwoch und Donnerstag.
    Antwort: Der Unterschied beträgt 10 K, von Montag zu Dienstag stieg die Temperatur um 4 K.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    Guthaben schreiben wir positiv, Schulden negativ.
    a) \(12-20=-8\). Jonas hat nach dem Kauf 8 € Schulden.
    b) \(-8+5=-3\). Er hat nur noch 3 € Schulden.
    c) \(-3+10=7\). Er hat keine Schulden mehr, sondern 7 € Guthaben.
    d) Die Änderung ist der Unterschied zwischen neuem und altem Stand: \(-8-12=-20\). Der Stand ist um 20 € gesunken; das ist genau der Preis des Spiels.
    Antwort: Am Ende besitzt Jonas 7 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    Die Stockwerke liegen auf einer senkrechten Zahlengeraden.
    a) Von \(-2\) nach 10: \(10-(-2)=12\) Stockwerke nach oben.
    b) Von 8 nach \(-1\): Der Unterschied ist \(8-(-1)=9\) Stockwerke, und die Fahrt geht nach unten (Änderung \(-9\)).
    c) \(-1+7=6\), dann \(6-3=3\). Maria kommt im 3. Stock an.
    d) 2 Untergeschosse und 12 Obergeschosse ergeben \(2+12=14\) Stockwerke; mit Erdgeschoss wären es 15 Ebenen.
    Antwort: 12 Stockwerke, 9 Stockwerke abwärts, 3. Stock, 14 Stockwerke.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    Höhenunterschied = höhere Höhe minus tiefere Höhe.
    a) \(2962-(-430)=2962+430=3392\) m.
    b) \(-430<-86\), also liegt das Tote Meer tiefer. Unterschied: \(-86-(-430)=344\) m.
    c) \(8849-(-86)=8849+86=8935\) m.
    d) \(-86+500=414\) m. Der Bergsteiger befindet sich 414 m über dem Meeresspiegel.
    Antwort: 3392 m, das Tote Meer liegt 344 m tiefer, 8935 m und 414 m.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    Abtauchen schreiben wir als Subtraktion, Aufsteigen als Addition.
    a) \(0-12=-12\); \(-12-8=-20\); \(-20+5=-15\); \(-15-10=-25\). Die Positionen sind \(-12\) m, \(-20\) m, \(-15\) m und \(-25\) m.
    b) Am Ende ist er bei \(-25\) m, also 25 m unter der Oberfläche.
    c) Von \(-25\) auf 0: \(0-(-25)=25\) m aufsteigen.
    d) \(-18+7=-11\). Der zweite Taucher ist dann 11 m tief.
    Antwort: Der Taucher endet in 25 m Tiefe und muss 25 m aufsteigen.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Tordifferenz = Tore minus Gegentore. Adler \(18-11=7\); Bären \(9-14=-5\); Falken \(12-12=0\); Löwen \(7-16=-9\).
    b) Von groß nach klein: Adler (\(7\)), Falken (\(0\)), Bären (\(-5\)), Löwen (\(-9\)).
    c) Drei Tore ohne Gegentor: \(-9+3=-6\). Die Differenz der Löwen verbessert sich auf \(-6\).
    d) Die Bären müssen über 0 kommen. Mit 5 Toren hätten sie \(-5+5=0\), also nur Gleichstand. Mit 6 Toren hätten sie \(1>0\).
    Antwort: Die Bären brauchen mindestens 6 Tore.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Zuerst liest man die x-Koordinate (rechts/links), dann die y-Koordinate (oben/unten): \(P(3|2)\), \(Q(-1|3)\), \(R(-4|-2)\), \(S(2|-3)\).
    b) Quadrant I: beide positiv, das ist P. Quadrant II: x negativ, y positiv, das ist Q. Quadrant III: beide negativ, das ist R. Quadrant IV: x positiv, y negativ, das ist S.
    c) Beim Spiegeln an der y-Achse ändert sich nur das Vorzeichen der x-Koordinate: \(P'(-3|2)\).
    d) R liegt 4 Einheiten nach links und 2 nach unten; die anderen Punkte liegen in beiden Richtungen höchstens 3 Einheiten entfernt. R ist am weitesten vom Ursprung entfernt.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Anstieg = Mittagswert minus Morgenwert. Hamburg \(1-(-4)=5\) K; München \(-2-(-7)=5\) K; Köln \(5-(-1)=6\) K; Dresden \(0-(-6)=6\) K.
    b) Morgens am kältesten war München mit \(-7\) °C, mittags am wärmsten Köln mit 5 °C.
    c) Morgens: Summe \(-4+(-7)+(-1)+(-6)=-18\); Durchschnitt \(-18:4=-4{,}5\) °C.
    d) Mittags: Summe \(1+(-2)+5+0=4\); Durchschnitt \(4:4=1\) °C.
    Antwort: Im Durchschnitt stieg die Temperatur von \(-4{,}5\) °C auf 1 °C, also um 5,5 K.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Wir addieren die Punkte jeder Runde. Lena: \(5-4+3-6=-2\). Karim: \(-3+6-5+8=6\). Tom: \(2-2-4+7=3\).
    b) Karim gewinnt mit 6 Punkten, Tom wird Zweiter mit 3 Punkten, Lena ist mit \(-2\) Punkten Letzte.
    c) Nach Runde 3 hatte Karim \(-3+6-5=-2\) Punkte; erst die letzte Runde brachte ihn nach vorn.
    d) Lena: \(-2+7=5\). Tom bleibt bei 3. Da \(5>3\), liegt Lena dann vor Tom.
    Antwort: Ja, mit \(+7\) überholt Lena Tom.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Das Produkt \(-10\) ist negativ, also hat eine Zahl ein Minuszeichen. Zerlegungen von 10: \(1\cdot10\), \(2\cdot5\). Die Summe \(-3\) erreicht man mit \(2\) und \(-5\). Probe: \(2+(-5)=-3\), \(2\cdot(-5)=-10\).
    b) Produkt \(-12\), Summe 1. Zerlegungen von 12: \(1\cdot12\), \(2\cdot6\), \(3\cdot4\). Die Summe 1 entsteht mit \(4\) und \(-3\). Probe: \(4\cdot(-3)=-12\).
    c) Gesucht ist \(x\) mit \(x\cdot(-4)=28\). Umkehraufgabe: \(x=28:(-4)=-7\). Probe: \((-7)\cdot(-4)=28\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Zeile 1: \(3+x+1=0\), also \(x=-4\). Zeile 2: \(y+0+2=0\), also \(y=-2\). Zeile 3: \(-1+4+z=0\), also \(z=-3\).
    b) Zeile 1: \(3+(-4)+1=0\). Spalte 1: \(3+(-2)+(-1)=0\). Diagonale: \(3+0+(-3)=0\), die andere Diagonale \(1+0+(-1)=0\). Auch die Spalten 2 (\(-4+0+4\)) und 3 (\(1+2-3\)) ergeben 0.
    c) In Zeile 1 stehen bereits 3 und 1 mit der Summe 4. Damit die Summe 0 wird, muss die fehlende Zahl die Gegenzahl von 4 sein, also \(-4\). Jede andere Zahl ergäbe eine Summe ungleich 0.