Dreiecke und Winkelsumme – Mathe Klasse 6 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

← Zurück zu den Aufgaben

1. Lösung zu Aufgabe 1

   Wir vergleichen jeden Winkel mit den Grenzen \(90^\circ\) und \(180^\circ\).
   a) \(35^\circ\) ist kleiner als \(90^\circ\): spitzer Winkel.
   b) \(90^\circ\) genau: rechter Winkel, erkennbar am Viertelkreis mit Punkt.
   c) \(120^\circ\) liegt zwischen \(90^\circ\) und \(180^\circ\): stumpfer Winkel.
   d) \(180^\circ\) genau: gestreckter Winkel, die Schenkel bilden eine Gerade.
   e) \(250^\circ\) ist größer als \(180^\circ\), aber kleiner als \(360^\circ\): überstumpfer Winkel.
   Tipp: Beim Messen eines überstumpfen Winkels misst man den Rest bis \(360^\circ\), hier \(110^\circ\), und rechnet \(360^\circ-110^\circ\).

2. Lösung zu Aufgabe 2

   In jedem Dreieck gilt \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\). Den fehlenden Winkel erhält man, indem man die beiden bekannten von \(180^\circ\) abzieht.
   a) \(\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\).
   b) \(\gamma=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\). Im rechtwinkligen Dreieck ergeben die beiden anderen Winkel zusammen immer \(90^\circ\).
   c) \(\alpha=180^\circ-112^\circ-28^\circ=40^\circ\).
   d) \(\beta=180^\circ-47^\circ-83^\circ=50^\circ\).
   Kontrolle zu d): \(47+50+83=180\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) Die Art nach den Winkeln richtet sich nach dem größten Winkel. A: größter Winkel \(60^\circ\), spitzwinklig. B: ein Winkel \(90^\circ\), rechtwinklig. C: ein Winkel \(120^\circ\), stumpfwinklig. D: größter Winkel \(70^\circ\), spitzwinklig.
   b) Ein Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln hat zwei gleich lange Seiten. Gleichschenklig sind also B (zweimal \(45^\circ\)), C (zweimal \(30^\circ\)) und auch A (alle Winkel gleich). D hat drei verschiedene Winkel und ist daher ungleichseitig.
   c) Dreieck A ist gleichseitig, denn alle drei Winkel sind \(60^\circ\); dann sind auch alle drei Seiten gleich lang.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   Nebenwinkel liegen nebeneinander an einer Geraden und ergänzen sich zu \(180^\circ\). Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.
   a) Nebenwinkel \(180^\circ-40^\circ=140^\circ\). Der Scheitelwinkel von \(\alpha\) misst \(40^\circ\), der des Nebenwinkels \(140^\circ\). Die vier Winkel sind \(40^\circ,140^\circ,40^\circ,140^\circ\).
   b) Nebenwinkel \(45^\circ\); die vier Winkel sind \(135^\circ,45^\circ,135^\circ,45^\circ\).
   c) Nebenwinkel \(180^\circ-90^\circ=90^\circ\). Alle vier Winkel sind rechte Winkel, die Geraden stehen senkrecht aufeinander.
   d) \(180^\circ-72^\circ=108^\circ\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Im gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß. Der dritte Winkel heißt Spitzenwinkel.
   a) Für die Basiswinkel bleiben \(180^\circ-40^\circ=140^\circ\), jeder misst \(140^\circ:2=70^\circ\).
   b) \(180^\circ-100^\circ=80^\circ\), also je \(40^\circ\).
   c) Beide Basiswinkel zusammen: \(2\cdot65^\circ=130^\circ\). Spitzenwinkel: \(180^\circ-130^\circ=50^\circ\).
   d) \(180^\circ-2\cdot45^\circ=90^\circ\). Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig, wie ein halbes Quadrat.
   Kontrolle zu a): \(40+70+70=180\).

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss immer größer sein als die dritte Seite. Es genügt zu prüfen, ob die zwei kürzeren Seiten zusammen länger sind als die längste.
   a) \(3+4=7>5\): Das Dreieck existiert. Es ist sogar rechtwinklig.
   b) \(2+3=5\), das ist kleiner als 6: Die beiden kurzen Seiten reichen nicht bis zur Spitze. Kein Dreieck.
   c) \(4+4=8\), das ist nicht größer als 8: Die drei Punkte liegen auf einer Geraden. Kein echtes Dreieck.
   d) \(7+7=14>7\): Das Dreieck existiert, es ist gleichseitig.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) SSS: 1. Zeichne die Strecke \(\overline{AB}=c=4\) cm. 2. Zeichne um A einen Kreisbogen mit Radius \(b=5\) cm. 3. Zeichne um B einen Kreisbogen mit Radius \(a=6\) cm. 4. Der Schnittpunkt der Bögen ist C. 5. Verbinde C mit A und B. Kontrolle: Seiten nachmessen.
   b) Zuerst \(\gamma=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\). WSW: 1. Zeichne \(\overline{AB}=5\) cm. 2. Trage in A den Winkel \(\alpha=50^\circ\) an. 3. Trage in B den Winkel \(\beta=60^\circ\) an. 4. Die freien Schenkel schneiden sich in C. 5. Kontrolle: Der Winkel bei C muss \(70^\circ\) messen.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   Der Giebel ist ein gleichschenkliges Dreieck; die Dachneigung ist der Basiswinkel.
   a) Spitzenwinkel am First: \(180^\circ-2\cdot40^\circ=100^\circ\).
   b) Bei \(90^\circ\) am First bleiben \(90^\circ\) für die beiden Basiswinkel: \(90^\circ:2=45^\circ\) Dachneigung.
   c) Das zweite Dach ist steiler, weil seine Neigung mit \(45^\circ\) größer ist als \(40^\circ\). Ein kleinerer Firstwinkel bedeutet ein spitzeres, steileres Dach.
   d) Umfang des Giebeldreiecks: zwei Dachschrägen und die Hausbreite: \(2\cdot4{,}5+7=16\) m.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Winkelsumme: \(180^\circ-73^\circ-71^\circ=36^\circ\).
   b) Alle drei Winkel (\(73^\circ\), \(71^\circ\), \(36^\circ\)) sind kleiner als \(90^\circ\), also ist das Dreieck spitzwinklig. Da alle Winkel verschieden sind, sind auch alle Seiten verschieden lang: ungleichseitig.
   c) Im Dreieck liegt der größten Seite immer der größte Winkel gegenüber. Der größte Winkel ist \(73^\circ\), also ist das Rohr gegenüber diesem Winkel das längste. Dem kleinsten Winkel (\(36^\circ\)) liegt das kürzeste Rohr gegenüber.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Weg A–B–C: \(2{,}4+3{,}1=5{,}5\) km.
    b) Nein. A, B und C bilden ein Dreieck. Nach der Dreiecksungleichung ist die direkte Strecke AC kürzer als der Umweg über B, also kürzer als 5,5 km. 6 km ist zu lang.
    c) Die direkte Strecke \(x\) muss kürzer sein als \(2{,}4+3{,}1=5{,}5\) km und länger als der Unterschied \(3{,}1-2{,}4=0{,}7\) km. Also \(0{,}7\lt x<5{,}5\) km.
    d) Ersparnis: \(5{,}5-4=1{,}5\) km.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Gleichschenklig, Spitzenwinkel \(50^\circ\): Basiswinkel \((180^\circ-50^\circ):2=130^\circ:2=65^\circ\).
    b) Umfang: \(3{,}2+3{,}2+2{,}7=9{,}1\) m.
    c) Band: \(9{,}1\cdot2{,}50=22{,}75\) €.
    d) Dreiecksungleichung: Die zwei kürzeren Seiten \(2{,}7+3{,}2=5{,}9\) sind länger als die längste Seite \(3{,}2\). Die Seiten passen also zu einem Dreieck.
    Antwort: Basiswinkel \(65^\circ\), Umfang 9,1 m, Band 22,75 €.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) Basiswinkel: \((180^\circ-80^\circ):2=50^\circ\).
    b) Rahmenstange: \(2{,}5+2{,}5+3{,}2=8{,}2\) m.
    c) Basiswinkel je \(60^\circ\), Spitzenwinkel \(180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Alle Winkel sind gleich, also ist der Eingang ein gleichseitiges Dreieck.
    d) Maßstab 1 : 50 heißt: 50 cm in Wirklichkeit sind 1 cm auf dem Papier. Schenkel \(250:50=5\) cm, Bodenkante \(320:50=6{,}4\) cm. Man zeichnet die Basis 6,4 cm und schlägt um beide Enden Kreisbögen mit 5 cm Radius.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Im gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich: \(180^\circ:3=60^\circ\).
    b) Umfang: \(3\cdot70=210\) cm \(=2{,}1\) m.
    c) Drei Dreiecke brauchen \(3\cdot2{,}1=6{,}3\) m Band. \(6{,}3:1{,}5=4{,}2\). Vier Stücke (6 m) reichen nicht, man muss 5 Stücke kaufen.
    d) Mit Lineal und Zirkel: Zeichne eine Strecke von 5 cm. Schlage um beide Endpunkte einen Kreisbogen mit Radius 5 cm. Der Schnittpunkt ist die dritte Ecke. Verbinde ihn mit den Endpunkten; alle Seiten sind 5 cm lang.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) Alle 8 Spitzenwinkel liegen um den Mittelpunkt und ergeben zusammen \(360^\circ\). Ein Stück: \(360^\circ:8=45^\circ\).
    b) Die zwei Seiten am Mittelpunkt sind Radien, also gleich lang. Basiswinkel: \((180^\circ-45^\circ):2=67{,}5^\circ\).
    c) Bei 6 Stücken: Spitzenwinkel \(360^\circ:6=60^\circ\), Basiswinkel \((180^\circ-60^\circ):2=60^\circ\).
    d) Bei 6 Stücken sind alle drei Winkel \(60^\circ\). Ein Dreieck mit drei gleichen Winkeln ist gleichseitig. Bei jeder anderen Stückzahl ist der Spitzenwinkel ungleich \(60^\circ\).

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(\gamma=180^\circ-62^\circ-48^\circ=70^\circ\).
    b) Alle Winkel sind kleiner als \(90^\circ\): spitzwinklig. Da alle Winkel verschieden sind, ist das Dreieck ungleichseitig.
    c) Der größten Seite liegt der größte Winkel gegenüber. Der größte Winkel ist \(\gamma=70^\circ\) bei C, also ist \(\overline{AB}\) die längste Seite. Der kleinste Winkel ist \(\beta=48^\circ\) bei B, also ist \(\overline{AC}\) die kürzeste Seite.
    d) 120 m \(=12\,000\) cm. Im Maßstab 1 : 2000: \(12\,000:2000=6\) cm auf dem Papier.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) Der Turm ist die senkrechte Seite, der Schatten liegt waagerecht auf dem Boden, und der Sonnenstrahl verbindet die Turmspitze mit dem Ende des Schattens. Am Fuß des Turms ist ein rechter Winkel.
    b) Winkel an der Turmspitze: \(180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ\).
    c) Das Dreieck hat einen rechten Winkel, es ist rechtwinklig.
    d) \(180^\circ-90^\circ-25^\circ=65^\circ\). Je flacher die Sonnenstrahlen einfallen, desto weiter reicht der Schatten. Der Schatten wird also länger.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Dritter Winkel jeweils \(180^\circ\) minus die beiden gegebenen. I: \(180-120=60^\circ\). II: \(180-110=70^\circ\). III: \(180-125=55^\circ\). IV: \(180-60=120^\circ\). V: \(180-110=70^\circ\).
    b) I spitzwinklig, II spitzwinklig, III rechtwinklig, IV stumpfwinklig (\(120^\circ\)), V spitzwinklig.
    c) Gleichschenklig sind die Dreiecke mit zwei gleichen Winkeln: I (sogar alle drei gleich), IV (\(30^\circ,30^\circ\)) und V (\(55^\circ,55^\circ\)).
    d) Dreieck I mit drei Winkeln von \(60^\circ\) ist gleichseitig. Solche Dreiecke werden im Brückenbau gern verwendet, weil sich die Kräfte gleichmäßig verteilen.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Jedes Dreieck bringt \(180^\circ\). Viereck: \(2\cdot180^\circ=360^\circ\). Fünfeck: \(3\cdot180^\circ=540^\circ\). Sechseck: \(4\cdot180^\circ=720^\circ\). Zehneck: 8 Dreiecke, \(8\cdot180^\circ=1440^\circ\).
    b) Von einer Ecke aus kann man zu allen Ecken außer sich selbst und den zwei Nachbarn Diagonalen ziehen. So entstehen \(n-2\) Dreiecke, und die Winkelsumme ist \((n-2)\cdot180^\circ\).
    c) Im regelmäßigen Sechseck sind alle 6 Winkel gleich: \(720^\circ:6=120^\circ\).
    d) Fünfter Winkel: \(540^\circ-100^\circ-120^\circ-110^\circ-95^\circ=115^\circ\).

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Das Verhältnis 2 : 3 : 4 bedeutet: Die Winkelsumme wird in \(2+3+4=9\) gleiche Teile geteilt. Ein Teil ist \(180^\circ:9=20^\circ\). Die Winkel sind \(2\cdot20^\circ=40^\circ\), \(3\cdot20^\circ=60^\circ\) und \(4\cdot20^\circ=80^\circ\).
    b) Der größte Winkel ist \(80^\circ\), also kleiner als \(90^\circ\): spitzwinklig und ungleichseitig.
    c) \(1+1+2=4\) Teile, ein Teil ist \(45^\circ\). Winkel: \(45^\circ\), \(45^\circ\), \(90^\circ\). Das Dreieck ist rechtwinklig und gleichschenklig.
    Kontrolle: \(40+60+80=180\) und \(45+45+90=180\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) Falsch. Zwei rechte Winkel ergeben zusammen schon \(180^\circ\). Für den dritten Winkel bliebe \(0^\circ\), und dann gäbe es kein Dreieck; die beiden Seiten wären parallel.
    b) Falsch. \(100^\circ+50^\circ+40^\circ=190^\circ\), das sind \(10^\circ\) zu viel.
    c) Richtig. Gleichschenklig heißt: mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Beim gleichseitigen Dreieck sind sogar alle drei gleich lang.
    d) Richtig. Beispiel: Winkel \(120^\circ\), \(30^\circ\), \(30^\circ\). Die zwei Basiswinkel sind gleich, also ist das Dreieck gleichschenklig, und wegen \(120^\circ\) ist es stumpfwinklig.