Dreiecke und Winkelsumme – Mathe Klasse 6 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Winkelsumme im Dreieck \(180^\circ\): \(\gamma=180^\circ-38^\circ-72^\circ=70^\circ\).
   b) Die zwei Basiswinkel teilen sich \(180^\circ-52^\circ=128^\circ\), jeder misst \(64^\circ\).
   c) Zwei Basiswinkel von \(34^\circ\) ergeben \(68^\circ\); die Spitze misst \(180^\circ-68^\circ=112^\circ\), das Dreieck ist also stumpfwinklig.
   d) Rechtwinklig heißt: ein Winkel \(90^\circ\). \(\beta=180^\circ-90^\circ-27^\circ=63^\circ\); die zwei spitzen Winkel ergänzen sich zu \(90^\circ\).
   Kontrolle zu b): \(52^\circ+64^\circ+64^\circ=180^\circ\).
   Bewertung: vier Winkel, für jeden richtigen Rechenweg mit Ergebnis 1 P.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Dreiecksungleichung: Die beiden kürzeren Seiten müssen zusammen länger sein als die längste. \(5+7=12\), aber die längste Seite ist 13 cm. Die Seiten 5 cm und 7 cm reichen nicht bis zur Spitze; es gibt kein Dreieck.
   b) \(6+8=14>10\): Das Dreieck existiert. Es ist das verdoppelte 3-4-5-Dreieck und daher rechtwinklig; der rechte Winkel liegt gegenüber der 10-cm-Seite.
   c) Größter Winkel \(130^\circ\) ist stumpf, alle Winkel verschieden: stumpfwinklig und ungleichseitig.
   Bewertung: Begründung zur Ungleichung 1,5 P., rechtwinkliges Dreieck erkannt 1,5 P., Art des dritten Dreiecks 1 P.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (3 BE/Punkte)

   a) Ein Nebenwinkel liegt an derselben Geraden und ergänzt \(\alpha\) zum gestreckten Winkel: \(180^\circ-54^\circ=126^\circ\).
   b) Der Scheitelwinkel liegt \(\alpha\) gegenüber und ist gleich groß: \(54^\circ\).
   c) Um den Schnittpunkt liegen \(54^\circ\), \(126^\circ\), \(54^\circ\), \(126^\circ\); zusammen \(360^\circ\), ein Vollwinkel.
   Kontrolle: Die beiden Nebenwinkel von \(\alpha\) sind selbst Scheitelwinkel zueinander und deshalb beide \(126^\circ\).
   Bewertung: Nebenwinkel, Scheitelwinkel und Summe je 1 P.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (5 BE/Punkte)

   a) Der Giebel ist gleichschenklig, die Dachneigung \(35^\circ\) ist der Basiswinkel. Am First: \(180^\circ-2\cdot35^\circ=110^\circ\).
   b) Umfang: zwei Dachschrägen und die Hüttenbreite, \(2\cdot2{,}4+3{,}9=4{,}8+3{,}9=8{,}7\) m.
   c) Bei \(90^\circ\) am First bleiben \(90^\circ\) für zwei gleiche Basiswinkel, also \(45^\circ\) Neigung. Wegen \(45^\circ>35^\circ\) ist das zweite Dach steiler; sein Firstwinkel ist kleiner.
   Bewertung: a) 1 P., b) 2 P. (Ansatz und Länge), c) 2 P. (Neigung und Vergleich).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) \(\gamma=180^\circ-75^\circ-55^\circ=50^\circ\).
   b) Alle drei Winkel liegen unter \(90^\circ\) und sind verschieden: spitzwinklig und ungleichseitig.
   c) Dem größten Winkel liegt die längste Seite gegenüber. Der größte Winkel ist \(75^\circ\) bei A, gegenüber liegt \(\overline{BC}\); die kürzeste Seite \(\overline{AB}\) liegt gegenüber dem kleinsten Winkel \(50^\circ\) bei C.
   d) 40 m sind 4000 cm; im Maßstab 1 : 1000 werden daraus 4 cm.
   Bewertung: je Teilaufgabe 1 P.

Gesamt : 20 Punkte