Ganzrationale Funktionen – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) \(f_1\): Grad 4, Leitkoeffizient 3, absolutes Glied 7. \(f_2\): Grad 5, Leitkoeffizient \(-1\), absolutes Glied 0. Der Grad ist die höchste Hochzahl, der Leitkoeffizient der Faktor davor, das absolute Glied der Summand ohne \(x\).
   b) \(f_3(x)=(x^2+x-2)(x+3)=x^3+4x^2+x-6\): Grad 3, Leitkoeffizient 1, absolutes Glied \(-6\). \(f_4(x)=2x^3-10x\): Grad 3, Leitkoeffizient 2, absolutes Glied 0. Bei \(f_3\) muss man zuerst ausmultiplizieren, weil man Grad und Koeffizienten in der Produktform nicht direkt sieht; das absolute Glied ist das Produkt \(-2\cdot3\).
   c) \(f_2\) und \(f_4\), denn dort ist das absolute Glied 0, also \(f(0)=0\). Ein Graph geht genau dann durch den Ursprung, wenn \(f(0)=0\) ist.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) Ungerader Grad, \(a_n=1>0\): \(f(x)\to+\infty\) für \(x\to+\infty\), \(f(x)\to-\infty\) für \(x\to-\infty\). Für große \(|x|\) bestimmt der Summand mit der höchsten Potenz das Verhalten; die übrigen Summanden fallen nicht ins Gewicht.
   b) Gerader Grad, \(a_n=-2<0\): \(g(x)\to-\infty\) für beide Richtungen. Bei geradem Grad zeigen beide Enden in dieselbe Richtung; der negative Leitkoeffizient lässt sie nach unten zeigen.
   c) Ungerader Grad, \(a_n=-1<0\): \(h(x)\to-\infty\) für \(x\to+\infty\), \(h(x)\to+\infty\) für \(x\to-\infty\). Der negative Leitkoeffizient kehrt das Verhalten von \(x^3\) um.
   d) Gerader Grad, \(a_n=0{,}5>0\): \(k(x)\to+\infty\) für beide Richtungen. Der Summand \(-x^5\) ist für große \(|x|\) unbedeutend gegenüber \(0{,}5x^6\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(f(-x)=x^4-3x^2+1=f(x)\): achsensymmetrisch. Nur gerade Hochzahlen: Das Vorzeichen von \(x\) verschwindet.
   b) \(g(-x)=-x^3+x=-g(x)\): punktsymmetrisch. Nur ungerade Hochzahlen: Jeder Summand ändert sein Vorzeichen.
   c) \(h(-x)=-x^3+x^2\). Das ist weder \(h(x)\) noch \(-h(x)\): keine Symmetrie (gemischte gerade und ungerade Hochzahlen). Weil gerade und ungerade Hochzahlen gemischt vorkommen, gibt es keine dieser Symmetrien.
   d) \(k(-x)=-x^5+2x^3-x=-k(x)\): punktsymmetrisch. Wieder nur ungerade Hochzahlen.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(f(-3)=-24\); \(f(-2)=0\); \(f(-1)=8\); \(f(0)=6\); \(f(1)=0\); \(f(2)=-4\); \(f(3)=0\); \(f(4)=18\). Man setzt jeden Wert ein, zum Beispiel \(f(-3)=-27-18+15+6=-24\).
   b) Nullstellen bei \(-2\), \(1\) und \(3\), denn dort ist \(f(x)=0\). Zwischen den Nullstellen wechselt der Funktionswert sein Vorzeichen.
   c) \(f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)\). Probe: \((x+2)(x-1)=x^2+x-2\); \((x^2+x-2)(x-3)=x^3-3x^2+x^2-3x-2x+6=x^3-2x^2-5x+6\). Jede Nullstelle \(x_0\) liefert einen Linearfaktor \((x-x_0)\); der Leitkoeffizient ist 1.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)=0\): \(x=0\), \(x=2\), \(x=-2\). Man klammert \(x\) aus und zerlegt mit der dritten binomischen Formel.
   b) \(2x^3(x-4)=0\): \(x=0\) (dreifach), \(x=4\). Man klammert \(2x^3\) aus; eine Nullstelle mit Vielfachheit 3 ist ein Sattelpunkt auf der \(x\)-Achse.
   c) \(x(x^2+3x-10)=x(x+5)(x-2)=0\): \(x=0\), \(x=-5\), \(x=2\). Man klammert \(x\) aus und löst die quadratische Gleichung mit der pq-Formel.
   d) \(x^2(x-5)=0\): \(x=0\) (doppelt), \(x=5\). Man klammert \(x^2\) aus; bei der doppelten Nullstelle berührt der Graph die \(x\)-Achse.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   Bei einer biquadratischen Gleichung ersetzt man \(x^2\) durch \(z\), löst die quadratische Gleichung in \(z\) und zieht danach die Wurzel. Jedes positive \(z\) liefert zwei Lösungen \(\pm\sqrt z\).
   a) \(z^2-5z+4=0\): \(z=1\) oder \(z=4\); also \(x=\pm1\) oder \(x=\pm2\). Probe für \(x=2\): \(16-20+4=0\).
   b) \(z^2-13z+36=0\): \(z=4\) oder \(z=9\); also \(x=\pm2\) oder \(x=\pm3\). Vier Lösungen, symmetrisch zu 0.
   c) \(z^2+z-6=0\): \(z=2\) oder \(z=-3\). Nur \(z=2\) liefert \(x=\pm\sqrt2\approx\pm1{,}41\); \(z=-3\) hat keine Lösung. Ein negatives \(z\) liefert keine reelle Lösung, weil \(x^2\) nie negativ ist.
   d) \(z^2-9z+8=0\): \(z=1\) oder \(z=8\); also \(x=1\) oder \(x=2\) (dritte Wurzel). Bei der dritten Wurzel gibt es nur eine reelle Lösung pro \(z\).

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \((x^3-6x^2+11x-6):(x-1)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Nullstellen: \(1\), \(2\), \(3\). Nach der Division bleibt eine quadratische Gleichung, die man faktorisiert oder mit der pq-Formel löst.
   b) \((x^3+2x^2-5x-6):(x+1)=x^2+x-6=(x+3)(x-2)\). Nullstellen: \(-1\), \(-3\), \(2\). Man teilt durch \((x+1)\), weil \(-1\) eine Nullstelle ist.
   c) \((2x^3-3x^2-11x+6):(x-3)=2x^2+3x-2\). Mit der pq-Formel (\(x^2+1{,}5x-1=0\)): \(x=-0{,}75\pm\sqrt{0{,}5625+1}=-0{,}75\pm1{,}25\), also \(x=0{,}5\) oder \(x=-2\). Nullstellen: \(3\), \(0{,}5\), \(-2\). Vor der pq-Formel teilt man den Quotienten durch 2. Probe: \(f(0{,}5)=0{,}25-0{,}75-5{,}5+6=0\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(f(0)=a\cdot2\cdot(-1)\cdot(-4)=8a=-8\), also \(a=-1\). \(f(x)=-(x+2)(x-1)(x-4)\). Man setzt die Nullstellen in den Ansatz ein und bestimmt \(a\) mit dem Punkt \(P\).
   b) \(f(1)=a\cdot1\cdot(-2)=-2a=-4\), also \(a=2\). \(f(x)=2x^2(x-3)\). Die doppelte Nullstelle 0 liefert den Faktor \(x^2\).
   c) \(f(x)=a(x^2-1)(x^2-9)\); \(f(0)=9a=9\), also \(a=1\). \(f(x)=x^4-10x^2+9\). Bei den Nullstellen \(\pm1\) und \(\pm3\) fasst man mit der dritten binomischen Formel zusammen.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Nullstellen: \(-1\) (doppelt, berührt), \(2\) (einfach, schneidet). \(f(0)=-2\). An einer Nullstelle gerader Vielfachheit berührt der Graph die Achse, bei ungerader schneidet er sie.
   b) Nullstellen: \(0\) (einfach, schneidet), \(1\) (dreifach, schneidet mit Wendung). \(g(0)=0\). Bei dreifacher Nullstelle schneidet der Graph die Achse und ist dort waagerecht (Sattelpunkt).
   c) Nullstellen: \(2\) (doppelt, berührt), \(-3\) (doppelt, berührt). \(h(0)=4\cdot9=36\). Der Graph liegt immer oberhalb der x-Achse oder auf ihr (Quadrate). Ein Produkt von Quadraten ist nie negativ.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Grundfläche ist ein Quadrat mit der Seitenlänge \(24-2x\), die Höhe der Schachtel ist \(x\). Also \(V=x(24-2x)^2\). Nach dem Ausschneiden bleibt eine quadratische Grundfläche, die Laschen bilden die Höhe.
    b) \(V(2)=800\); \(V(3)=972\); \(V(4)=1024\); \(V(5)=980\); \(V(6)=864\) (alle in cm³). Man setzt die Werte in \(V(x)\) ein.
    c) Das Maximum liegt bei \(x=4\): \(V=1024\) cm³ \(\approx1{,}02\) Liter. In der Tabelle ist \(V(4)\) am größten. Antwort: Bei \(x=4\) cm fasst die Schachtel gut 1 Liter.
    d) Es muss \(x>0\) und \(24-2x>0\) gelten, also \(0\lt x<12\). Für \(x\ge12\) bliebe keine Grundfläche übrig.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Höhe in der Mitte \(h(0)=4\) m. Nullstellen: \(-0{,}25x^2+4=0\), \(x^2=16\), \(x=\pm4\); Breite 8 m. Die Höhe ist der Scheitelwert, die Breite der Abstand der Nullstellen.
    b) Der Rand liegt bei \(x=1{,}275\): \(h(1{,}275)=-0{,}25\cdot1{,}275^2+4\approx3{,}594\) m \(>3{,}5\) m. Er passt. Der Lastwagen fährt mittig; an seinen Ecken muss der Tunnel höher als 3,5 m sein. Der Abstand ist mit 9 cm sehr knapp.
    c) Rand bei \(x=2\): \(h(2)=-1+4=3\) m \(<3{,}2\) m. Der Bus passt nicht. Bei einer Breite von 4 m liegen die Ecken bei \(x=\pm2\).
    d) \(-0{,}25x^2+4=2\), \(x^2=8\), \(x=\pm\sqrt8\approx\pm2{,}83\) m. Man setzt \(h=2\) und löst nach \(x\) auf.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(G(0)=-20\) €: Das sind die festen Kosten, die auch ohne Verkauf anfallen. Bei null verkauften Brötchen bleiben nur die Kosten.
    b) \(-0{,}01x^2+1{,}2x-20=0\) ergibt \(x^2-120x+2000=0\), \(x=60\pm\sqrt{3600-2000}=60\pm40\), also \(x=20\) oder \(x=100\). Man multipliziert mit \(-100\) und löst mit der pq-Formel; das sind die Gewinnschwellen.
    c) \(G(60)=16{,}0\) €; \(G(50)=15{,}0\) €; \(G(70)=15{,}0\) €. Bei 60 Brötchen ist der Gewinn am größten. Der Scheitel liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei 60.
    d) Zwischen den Nullstellen ist \(G>0\): ab 21 Brötchen macht der Kiosk Gewinn (genau bei 20 ist der Gewinn 0). Nur zwischen den Nullstellen liegt die nach unten geöffnete Parabel über der Achse.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(f(0)=10\) m und \(f(20)=0{,}02\cdot20\cdot10\cdot0+10=10\) m. Man setzt \(x=0\) und \(x=20\) ein; ein Faktor ist jeweils null.
    b) \(f(5)=0{,}02\cdot5\cdot(-5)\cdot(-15)+10=17{,}5\) m; \(f(15)=0{,}02\cdot15\cdot5\cdot(-5)+10=2{,}5\) m. Man setzt die Werte ein und achtet auf die Vorzeichen der Klammern.
    c) \(0{,}02x(x-10)(x-20)=0\) gilt für \(x=0\), \(x=10\) und \(x=20\). An diesen Stellen ist der Produktterm null, die Höhe also 10 m.
    d) Die Bahn steigt von 10 m auf einen Hochpunkt (über 17 m bei etwa \(x=4\)), fällt wieder auf 10 m bei \(x=10\) und weiter in ein Tal (unter 3 m bei etwa \(x=16\)), danach steigt sie wieder auf 10 m. Die Werte aus b) zeigen den groben Verlauf zwischen den Stellen mit 10 m Höhe.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(V(x)=x(x+1)(x+2)=x^3+3x^2+2x\). Man multipliziert schrittweise aus: \(x(x^2+3x+2)\).
    b) \(V(2)=2\cdot3\cdot4=24\); \(V(3)=3\cdot4\cdot5=60\); \(V(4)=4\cdot5\cdot6=120\). Man setzt die Werte ein.
    c) \(x^3+3x^2+2x-60=0\). Teilen durch \((x-3)\): \((x^3+3x^2+2x-60):(x-3)=x^2+6x+20\). Die Gleichung \(x^2+6x+20=0\) hat die Diskriminante \(36-80<0\) und keine Lösung. Also ist \(x=3\) die einzige. Man kennt die Lösung 3 aus b) und dividiert durch \((x-3)\). Antwort: Die Kanten sind 3 cm, 4 cm und 5 cm lang.
    d) Kanten 3, 4, 5: \(O=2(3\cdot4+3\cdot5+4\cdot5)=2\cdot47=94\) cm². Die Oberfläche besteht aus drei Paaren gleicher Rechtecke.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Aus \(P(2|3)\): \(4a+2b=3\). Aus \(Q(4|4)\): \(16a+4b=4\). Doppelte erste Gleichung: \(8a+4b=6\). Subtraktion: \(8a=-2\), \(a=-0{,}25\); \(b=2\). \(f(x)=-0{,}25x^2+2x\). Da der Strahl im Ursprung beginnt, ist \(c=0\). Man setzt die beiden Punkte ein und löst das Gleichungssystem.
    b) Scheitel bei \(x=4\) m, Höhe \(f(4)=-4+8=4\) m. Man ergänzt quadratisch: \(f(x)=-0{,}25(x-4)^2+4\).
    c) \(-0{,}25x^2+2x=0\), \(x(-0{,}25x+2)=0\): \(x=0\) oder \(x=8\). Der Strahl trifft nach 8 m auf. Man klammert \(x\) aus.
    d) \(f(7)=-0{,}25\cdot49+14=1{,}75\) m. Man setzt \(x=7\) ein.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(h(0)=1\); \(h(1)=1-6+9+1=5\); \(h(2)=8-24+18+1=3\); \(h(3)=27-54+27+1=1\); \(h(4)=64-96+36+1=5\). Man setzt die Werte ein.
    b) \(h(x)-1=x^3-6x^2+9x=x(x-3)^2\). Bei \(x=0\) einfache, bei \(x=3\) doppelte Nullstelle: Dort berührt der Weg die Höhe 1 (Tal) und steigt danach wieder an. Man klammert \(x\) aus und erkennt die binomische Formel \((x-3)^2\).
    c) Höchster Punkt bei \(x=1\) mit \(h=5\), also 500 m. Wegen \(h(x)-5=(x-1)^2(x-4)\) ist \(x=1\) eine doppelte Stelle, der Graph berührt die Höhe 5 von unten. Man faktorisiert \(h(x)-5\); die doppelte Stelle zeigt einen Hochpunkt.
    d) \(h(x)=5\) für \(x=1\) und \(x=4\). Am Ende bei \(x=4\) km liegt der Weg wieder auf 500 m. Man liest die Lösungen aus der Faktorisierung ab.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(f(x)=a(x+2)(x-1)(x-3)\); \(f(0)=a\cdot2\cdot(-1)\cdot(-3)=6a=3\), also \(a=0{,}5\). Die drei Nullstellen liefern die Linearfaktoren; \(a\) folgt aus dem \(y\)-Achsenabschnitt.
    b) \(f(2)=0{,}5\cdot4\cdot1\cdot(-1)=-2\). Das stimmt mit der Tabelle überein. Man setzt \(x=2\) ein.
    c) Ungerader Grad, \(a=0{,}5>0\): links unten, rechts oben. Grad 3 und positiver Leitkoeffizient.
    d) \(f(x)>0\) für \(-2\lt x<1\) und für \(x>3\). Zwischen den Nullstellen wechselt das Vorzeichen; man liest es am Verhalten im Unendlichen ab.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) \(f_a(x)=x(x^2-a)\). \(a=-1\): nur \(0\). \(a=0\): \(x^3=0\), \(0\) (dreifach). \(a=1\): \(0,\pm1\). \(a=4\): \(0,\pm2\). \(a=9\): \(0,\pm3\). Man klammert \(x\) aus; \(x^2=a\) hat nur für \(a>0\) zwei Lösungen.
    b) Genau eine Nullstelle für \(a\le0\); drei Nullstellen für \(a>0\) (nämlich \(0\) und \(\pm\sqrt a\)). Für \(a\le0\) hat \(x^2=a\) keine Lösung außer bei \(a=0\) die Lösung 0.
    c) \(f_a(-x)=-x^3+ax=-f_a(x)\) für jedes \(a\). Alle Summanden haben ungerade Hochzahlen, deshalb sind alle Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung.
    d) \(125-5a=0\), also \(a=25\); dann sind die Nullstellen \(0,\pm5\). Man setzt \(x=5\) ein und löst nach \(a\) auf.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Die erste Einzahlung wird dreimal verzinst, die zweite zweimal, die dritte einmal. Der Grad 3 der Funktion entsteht aus den drei Verzinsungen. Je länger das Geld auf dem Konto liegt, desto öfter wird es verzinst.
    b) \(K(1{,}02)=3121{,}61\); \(K(1{,}03)=3183{,}63\); \(K(1{,}04)=3246{,}46\) €. Man setzt die Zinsfaktoren ein.
    c) \(K(1{,}03)\approx3183{,}6<3200\lt K(1{,}04)\approx3246{,}5\). Mit Intervallschachtelung ergibt sich \(q\approx1{,}033\). Man probiert Werte zwischen 1,03 und 1,04, bis \(K(q)\) etwa 3200 € beträgt.
    d) \(q\approx1{,}033\) bedeutet \(p\approx3{,}3\,\%\) Zinsen pro Jahr. Der Zinssatz ist der Anteil des Faktors über 1.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(f(-x)=f(x)\): achsensymmetrisch. \(f(0)=4\). Gerader Grad, \(a_n=1>0\): beide Enden gehen nach oben. Nur gerade Hochzahlen; der Leitkoeffizient ist positiv.
    b) \(z^2-5z+4=0\): \(z=1,4\); \(x=\pm1,\pm2\). \(f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\). Substitution \(z=x^2\), dann zurück; daraus folgen die vier Linearfaktoren.
    c) \(x^4-5x^2+4=4\), \(x^2(x^2-5)=0\): \(x=0\) (Berührung) und \(x=\pm\sqrt5\approx\pm2{,}24\). Man setzt \(f(x)=4\) und klammert \(x^2\) aus.
    d) Beispiele: \(x^4+1\) hat keine, \(x^4\) hat eine (vierfache), \(x^2(x^2+1)\) hat eine, \((x^2-1)(x^2+1)\) hat zwei, \(x(x-1)(x+1)(x^2+1)\) hat drei, \((x^2-1)(x^2-4)\) hat vier Nullstellen. Mehr als vier sind unmöglich. Eine Funktion vierten Grades hat höchstens vier Nullstellen.