Sinus- und Kosinusfunktion – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) \(\frac\pi6,\ \frac\pi4,\ \frac\pi3,\ \frac\pi2,\ \pi,\ \frac{3\pi}2,\ 2\pi\). Man multipliziert das Gradmaß mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\) und kürzt: zum Beispiel \(30^\circ\cdot\frac\pi{180^\circ}=\frac\pi6\). Eine volle Umdrehung entspricht \(2\pi\).
   b) \(30^\circ\), \(120^\circ\), \(135^\circ\), \(150^\circ\). Umgekehrt multipliziert man das Bogenmaß mit \(\frac{180^\circ}\pi\); \(\pi\) kürzt sich dabei heraus.
   c) \(1\,\text{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ\); \(2\,\text{rad}\approx114{,}6^\circ\). Ein Radiant ist der Winkel, bei dem der Bogen genau so lang ist wie der Radius.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(120^\circ\), also \(\frac{2\pi}3\). 20 Minuten sind ein Drittel einer Stunde, also ein Drittel von \(360^\circ\) bzw. \(2\pi\).
   b) \(b=\frac{2\pi}3\cdot12=8\pi\approx25{,}13\) cm. Die Bogenlänge ist Bogenmaß mal Radius: \(b=x\cdot r\). Antwort: Die Zeigerspitze legt etwa 25 cm zurück.
   c) \(2\pi\cdot12\approx75{,}40\) cm. In einer Stunde legt die Spitze einen ganzen Kreisumfang zurück.
   d) \(\frac{7{,}5}{60}\cdot2\pi=\frac\pi4\). 7,5 Minuten sind ein Achtel der Stunde, also ein Achtel von \(2\pi\).

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(0\), \(\frac12\), \(1\). Am Einheitskreis ist der Sinus die \(y\)-Koordinate des Punktes: bei 0 ganz rechts, bei \(\frac\pi2\) ganz oben.
   b) \(\frac12\), \(-1\), \(1\). Der Kosinus ist die \(x\)-Koordinate: Bei \(\pi\) liegt der Punkt ganz links.
   c) \(-1\), \(0\), \(0\). Bei \(\frac{3\pi}2\) liegt der Punkt ganz unten, bei \(\frac\pi2\) ganz oben, bei \(\pi\) ganz links.
   d) \(\frac{\sqrt2}2\approx0{,}707\). Bei \(45^\circ\) sind Sinus und Kosinus gleich groß; aus \(2\sin^2=1\) folgt dieser Wert.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) zweiter Quadrant: \(\sin150^\circ=0{,}50\) positiv, \(\cos150^\circ\approx-0{,}866\) negativ. Im zweiten Quadranten liegt der Punkt links oben: \(y\) positiv, \(x\) negativ. Es gilt \(\sin150^\circ=\sin30^\circ\).
   b) dritter Quadrant: \(\sin210^\circ=-0{,}50\), \(\cos210^\circ\approx-0{,}866\) beide negativ. Im dritten Quadranten liegt der Punkt links unten: beide Koordinaten negativ.
   c) vierter Quadrant: \(\sin300^\circ\approx-0{,}866\) negativ, \(\cos300^\circ=0{,}5\) positiv. Im vierten Quadranten liegt der Punkt rechts unten: \(y\) negativ, \(x\) positiv.

5. Lösung zu Aufgabe 5

   Zu einem Sinuswert gibt es meist zwei Lösungen in \([0;2\pi]\): \(x\) und \(\pi-x\). Beim Kosinus sind es \(x\) und \(2\pi-x\).
   a) \(x=\frac\pi6\) und \(x=\frac{5\pi}6\). \(\sin30^\circ=0{,}5\) und \(\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}6\).
   b) \(x=\frac{3\pi}2\). Der Wert \(-1\) wird nur am tiefsten Punkt erreicht.
   c) \(x=\frac\pi2\) und \(x=\frac{3\pi}2\). Der Kosinus ist null, wenn der Punkt ganz oben oder ganz unten liegt.
   d) \(x=\frac{2\pi}3\) und \(x=\frac{4\pi}3\). Der Kosinus ist negativ im zweiten und dritten Quadranten.
   e) \(x_1=\sin^{-1}0{,}8\approx0{,}927\) und \(x_2=\pi-x_1\approx2{,}214\). Der Taschenrechner liefert nur die erste Lösung; die zweite ergibt sich aus der Symmetrie.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(2\sin x\): Amplitude 2, Periode \(2\pi\), Mittellinie 0, Wertebereich \([-2;2]\). \(\sin(2x)\): Amplitude 1, Periode \(\pi\), Mittellinie 0, \([-1;1]\). Der Faktor vor dem Sinus ist die Amplitude, der Faktor vor \(x\) verkürzt die Periode auf \(\frac{2\pi}b\).
   b) \(\sin x+1\): Amplitude 1, Periode \(2\pi\), Mittellinie 1, \([0;2]\). \(-\sin x\): Amplitude 1, Periode \(2\pi\), Mittellinie 0, \([-1;1]\), gespiegelt an der x-Achse. Ein Summand verschiebt die Mittellinie nach oben; das Minuszeichen spiegelt den Graphen.
   c) Alle außer \(\sin(2x)\). Nur bei \(\sin(2x)\) ändert sich die Periode.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) Amplitude 3, Periode \(\pi\), Mittellinie 1, Maximum 4, Minimum \(-2\). Amplitude 3 und Mittellinie 1; Maximum ist Mittellinie plus Amplitude, Minimum Mittellinie minus Amplitude.
   b) Amplitude \(0{,}5\), Periode \(4\pi\), Mittellinie \(-2\), Maximum \(-1{,}5\), Minimum \(-2{,}5\). Der Faktor \(\frac12\) vor \(x\) verdoppelt die Periode auf \(4\pi\).
   c) Amplitude 4, Periode 2, Mittellinie 0, Maximum 4, Minimum \(-4\). Bei \(b=\pi\) ist die Periode \(\frac{2\pi}\pi=2\).

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) \(0;\ 1;\ \sqrt3\approx1{,}73;\ 2;\ 0;\ -2;\ 0\). Man nimmt die Sinuswerte des Einheitskreises mal 2.
   b) \(x=0\), \(x=\pi\), \(x=2\pi\). Die Nullstellen sind dieselben wie bei \(\sin x\), denn der Faktor 2 ändert sie nicht.
   c) Maximum 2 bei \(x=\frac\pi2\), Minimum \(-2\) bei \(x=\frac{3\pi}2\). Die Amplitude 2 bestimmt die Extremwerte.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) Mittellinie 25 m, Amplitude 20 m, Periode 10 min. Die Mittellinie ist die Höhe der Nabe, die Amplitude der Radius 20 m.
   b) \(h(0)=5\); \(h(1)=25-20\cos36^\circ\approx8{,}82\); \(h(2{,}5)=25\); \(h(5)=45\) (m). Man setzt die Zeiten ein; nach einer halben Umdrehung ist die Gondel oben (45 m).
   c) \(\cos\left(\frac{\pi t}5\right)=-0{,}5\), also \(\frac{\pi t}5=\frac{2\pi}3\) und \(t=\frac{10}3\approx3{,}33\) min. Für 35 m Höhe muss \(-20\cos(\ldots)=10\) gelten. Antwort: nach etwa 3 Minuten 20 Sekunden.
   d) Zwischen \(\frac{10}3\) und \(\frac{20}3\) min: \(\frac{10}{3}\approx3{,}33\) min. Aus Symmetriegründen ist die Gondel bis \(\frac{20}3\) min über 35 m.

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) Periode \(\frac{2\pi}{\pi/6}=12\) h. Hochwasser \(6{,}5\) m bei \(t=3\) (3 Uhr), Niedrigwasser \(1{,}5\) m bei \(t=9\) (9 Uhr). Die Periode ist \(\frac{2\pi}b\); Hochwasser bei \(\sin=1\), Niedrigwasser bei \(\sin=-1\).
    b) \(6{,}5-1{,}5=5\) m. Der Tidenhub ist die doppelte Amplitude.
    c) \(h(1)=4+2{,}5\sin30^\circ=5{,}25\) m. Man setzt \(t=1\) ein: \(\frac\pi6\) entspricht \(30^\circ\).
    d) \(\sin\left(\frac\pi6t\right)\ge0{,}6\): \(\frac\pi6t\ge0{,}644\), also \(t\ge1{,}23\) h und \(t\le4{,}77\) h. Zeitfenster \(\approx3{,}54\) h, also gut 3,5 Stunden. Man löst \(4+2{,}5\sin(\ldots)\ge5{,}5\) und nimmt beide Lösungen der Sinusgleichung.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) Amplitude 325 V, Frequenz 50 Hz, Periodendauer \(\frac1{50}=0{,}02\) s. Die Amplitude ist der Faktor 325, die Frequenz steht im Argument \(2\pi f t\).
    b) \(U(0{,}005)=325\sin\frac\pi2=325\) V; \(U(0{,}0025)=325\sin\frac\pi4\approx229{,}8\) V. Bei \(t=0{,}005\) s ist eine Viertelperiode vergangen, die Spannung ist maximal.
    c) In jeder Periode zweimal, also 100-mal pro Sekunde. Pro Periode gibt es zwei Nulldurchgänge.
    d) \(\frac{325}{\sqrt2}\approx229{,}8\) V, also etwa die bekannten 230 V. Der Effektivwert ist die Amplitude geteilt durch \(\sqrt2\).

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(T=\frac1{440}\approx2{,}27\) ms. Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz.
    b) \(880\) Hz, \(T\approx1{,}14\) ms, also halb so lang. Eine Oktave höher bedeutet doppelte Frequenz und halbe Periodendauer.
    c) \(\sin(2\pi\cdot440\cdot0{,}0005)=\sin(1{,}382)\approx0{,}982\). Man setzt \(t=0{,}5\) ms ein; der Rechner muss im Bogenmaß stehen.
    d) Der Ton wird lauter, die Tonhöhe bleibt gleich. Die Amplitude bestimmt die Lautstärke, die Frequenz die Tonhöhe.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) Amplitude 8 cm, Periode \(\frac{2\pi}{\pi/2}=4\) s. Die Amplitude ist die Auslenkung beim Loslassen, die Periode \(\frac{2\pi}b\).
    b) \(s(0{,}5)=8\cos45^\circ\approx5{,}66\) cm; \(s(1)=8\cos90^\circ=0\) (Ruhelage). Man setzt die Zeiten ein; bei \(s=0\) ist das Gewicht in der Ruhelage.
    c) Nach 1 s. Die Ruhelage wird erstmals nach einer Viertelperiode erreicht.
    d) \(\frac{60}{4}=15\) Schwingungen. In einer Minute passen 60 s durch 4 s Schwingungen.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(T(1)=10+9\sin(-90^\circ)=1\); \(T(4)=10\); \(T(7)=19\); \(T(10)=10\) (°C). Man setzt die Monate ein; im Januar ist das Argument \(-\frac\pi2\).
    b) Mittelwert \(10\) °C, Amplitude \(9\) °C, Periode 12 Monate. Mittelwert ist der Summand, Amplitude der Faktor, Periode 12 Monate.
    c) Am wärmsten im Juli (19 °C), am kältesten im Januar (1 °C). Maximum bei \(\sin=1\), also \(t=7\); Minimum bei \(\sin=-1\), also \(t=1\).
    d) \(10+9\sin(\dots)>14{,}5\) bedeutet \(\sin(\dots)>0{,}5\). Das gilt für \(5\lt t<9\), also für einen Zeitraum von 4 Monaten. Mit den Monatswerten \(t=6;7;8\) liegen Juni, Juli und August darüber; Mai und September liegen genau bei 14,5 °C. Man löst die Ungleichung mit \(\sin(\ldots)=0{,}5\).

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) Maximum 3, Minimum \(-1\), Mittellinie \(y=1\). Man liest den höchsten und den tiefsten Wert ab; die Mittellinie liegt genau dazwischen.
    b) \(a=\frac{3-(-1)}2=2\), \(d=1\): \(f(x)=2\sin x+1\). Die Amplitude ist der halbe Abstand zwischen Maximum und Minimum.
    c) \(2\sin x+1=0\), \(\sin x=-0{,}5\): \(x=\frac{7\pi}6\approx3{,}67\) und \(x=\frac{11\pi}6\approx5{,}76\). Der Sinus ist negativ im dritten und vierten Quadranten.
    d) \(f\left(\frac\pi6\right)=2\cdot\frac12+1=2\). Man setzt \(\frac\pi6\) ein: \(\sin\frac\pi6=\frac12\).

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(\frac{2\pi}{2}=\pi\); \(\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\approx12{,}57\); \(\frac{2\pi}\pi=2\). Man setzt jeweils \(b\) in \(\frac{2\pi}b\) ein.
    b) \(b=\frac{2\pi}{12}=\frac\pi6\approx0{,}524\). Man stellt die Formel nach \(b\) um.
    c) \(\frac{12\pi}{\pi}=12\) Perioden. Man teilt die Intervalllänge durch die Periode.
    d) \(b=\frac{2\pi}{24}=\frac\pi{12}\approx0{,}262\). Periode 24 bedeutet zum Beispiel einen Tagesverlauf in Stunden.

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) Der Sinus ist 1 bei \(t-80=\frac{365}4\approx91\), also \(t\approx171\) (21. Juni): \(D=12{,}2+4{,}2=16{,}4\) h. Der Sinus erreicht 1, wenn das Argument \(\frac\pi2\) ist, also nach einem Viertel des Jahres ab Tag 80.
    b) Bei \(t\approx80+273{,}75\approx354\) (21. Dezember): \(D=12{,}2-4{,}2=8{,}0\) h. Der kürzeste Tag liegt eine halbe Periode nach dem längsten.
    c) \(D(80)=12{,}2\) h. Am Tag 80 (Frühlingsanfang) ist das Argument 0; der Tag dauert so lange wie im Mittel.
    d) \(\sin\ldots>\frac{1{,}8}{4{,}2}\approx0{,}4286\). Das gilt zwischen \(\frac{365}{2\pi}\cdot0{,}443\) und \(\frac{365}{2\pi}\cdot2{,}699\) nach \(t=80\), also etwa \(131\) Tage. Man löst \(D(t)>14\) mit der Umkehrfunktion des Sinus und rechnet in Tage um.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Periode \(\frac{2\pi}{\pi/3}=6\) s; höchster Punkt \(0{,}8\) m. Periode \(\frac{2\pi}b\); der höchste Punkt ist die Amplitude.
    b) \(h(1)=0{,}8\sin60^\circ\approx0{,}693\) m. Man setzt \(t=1\) ein: \(\frac\pi3\) entspricht \(60^\circ\).
    c) Bei \(\frac\pi3t=\frac\pi2\), also \(t=1{,}5\) s. Der höchste Punkt wird nach einer Viertelperiode erreicht.
    d) \(\sin\left(\frac\pi3t\right)>0{,}5\) für \(\frac\pi6\lt \frac\pi3t\lt \frac{5\pi}6\), also \(0{,}5\lt t<2{,}5\): 2 s. Man löst die Ungleichung mit \(\sin(\ldots)=0{,}5\) und bestimmt die Dauer.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) Mittellinie \(\frac{28+12}2=20\) °C, Amplitude \(\frac{28-12}2=8\) °C. Mittellinie: Mittelwert von Maximum und Minimum; Amplitude: halbe Differenz.
    b) Maximum bei \(t-9=6\), also \(t=15\): \(T=28\). Minimum bei \(t-9=18\), also \(t=27\equiv3\): \(T=12\). Das stimmt. Man prüft, dass das Argument bei 15 Uhr \(\frac\pi2\) und bei 3 Uhr \(\frac{3\pi}2\) (bzw. \(-\frac\pi2\)) ist.
    c) \(T(12)=20+8\sin45^\circ\approx25{,}66\) °C. Man setzt \(t=12\) ein: Das Argument ist \(\frac\pi4\).
    d) \(\sin(\ldots)>0{,}5\) für \(2\lt t-9<10\), also von 11 bis 19 Uhr: 8 Stunden. Man löst die Ungleichung \(T(t)>24\).

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(\sin x=\frac12\): \(x=\frac\pi6\) oder \(x=\frac{5\pi}6\). Man isoliert den Sinus und nutzt die zwei Lösungen \(x\) und \(\pi-x\).
    b) \(2x=\frac\pi2+k\pi\), also \(x=\frac\pi4,\frac{3\pi}4,\frac{5\pi}4,\frac{7\pi}4\). Man löst zuerst für \(2x\) in \([0;4\pi]\) und teilt dann durch 2.
    c) \(\tan x=1\): \(x=\frac\pi4\) oder \(x=\frac{5\pi}4\). Man teilt durch \(\cos x\) (für \(\cos x\neq0\)) und erhält den Tangens.
    d) \(\cos x(2\cos x-1)=0\): \(\cos x=0\) (\(x=\frac\pi2,\frac{3\pi}2\)) oder \(\cos x=\frac12\) (\(x=\frac\pi3,\frac{5\pi}3\)). Man klammert \(\cos x\) aus; ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist.