Zusammengesetzte Körper – Mathe Klasse 10 Arbeitsblatt Lösungen zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1

   a) Quader: \(V=72\) cm³, \(O=2(24+18+12)=108\) cm². Zylinder: \(V=\pi\cdot25\cdot8\approx628{,}3\) cm³; \(O=2\pi\cdot25+2\pi\cdot5\cdot8\approx408{,}4\) cm². Beim Quader ist die Oberfläche die Summe der drei verschiedenen Rechteckflächen, jeweils doppelt. Beim Zylinder kommen zwei Kreise und der Mantel \(2\pi rh\) zusammen.
   b) \(s=\sqrt{9+16}=5\) cm. \(V=\frac13\pi\cdot9\cdot4\approx37{,}7\) cm³; \(O=\pi\cdot9+\pi\cdot3\cdot5\approx75{,}4\) cm². Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck; danach gilt \(V=\frac13\pi r^2h\) und \(O=\pi r^2+\pi rs\).
   c) \(V=\frac43\pi\cdot216\approx904{,}8\) cm³; \(O=4\pi\cdot36\approx452{,}4\) cm². Man setzt \(r=6\) cm in \(V=\frac43\pi r^3\) und \(O=4\pi r^2\) ein.

2. Lösung zu Aufgabe 2

   a) \(c=\sqrt{36+64}=10\) cm. Die Hypotenuse der Grundfläche wird für die dritte Seitenfläche des Prismas gebraucht.
   b) \(G=\frac12\cdot6\cdot8=24\) cm²; \(V=24\cdot12=288\) cm³. Die Grundfläche ist ein halbes Rechteck aus den Katheten; Volumen gleich Grundfläche mal Höhe.
   c) \(M=(6+8+10)\cdot12=288\) cm²; \(O=2\cdot24+288=336\) cm². Der Mantel besteht aus drei Rechtecken; man multipliziert den Umfang der Grundfläche mit der Höhe und addiert zwei Grundflächen.

3. Lösung zu Aufgabe 3

   a) \(s=\sqrt{36+64}=10\) cm. Radius und Höhe sind die Katheten, die Mantellinie ist die Hypotenuse.
   b) \(V=\frac13\pi\cdot36\cdot8\approx301{,}6\) cm³. Antwort: Der Kegel hat ein Volumen von etwa 301,6 cm³.
   c) \(M=\pi\cdot6\cdot10\approx188{,}5\) cm²; \(O=M+\pi\cdot36\approx301{,}6\) cm². Für die Oberfläche addiert man die Grundkreisfläche \(36\pi\) zum Mantel \(60\pi\).
   d) \(\frac{36\pi}{96\pi}=0{,}375\), also \(37{,}5\,\%\). Man teilt die Grundfläche durch die Oberfläche; \(\pi\) kürzt sich heraus.

4. Lösung zu Aufgabe 4

   a) \(V=\frac13\cdot100\cdot12=400\) cm³. Grundfläche \(10^2=100\) cm² mal Höhe, durch 3.
   b) \(h_s=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\) cm. Die Höhe und die halbe Grundkante (5 cm) sind die Katheten.
   c) \(M=4\cdot\frac12\cdot10\cdot13=260\) cm²; \(O=100+260=360\) cm². Der Mantel besteht aus vier Dreiecken mit Grundseite 10 cm und Höhe \(h_s\).

5. Lösung zu Aufgabe 5

   a) \(V=480+\frac12\cdot8\cdot3\cdot10=480+120=600\) m³. Das Haus wird in Quader und Dachprisma zerlegt; das Dachprisma hat ein Dreieck mit Grundseite 8 m und Höhe 3 m als Grundfläche. Antwort: 600 m³.
   b) \(s=\sqrt{16+9}=5\) m; Dachfläche \(2\cdot5\cdot10=100\) m². Halbe Hausbreite (4 m) und Dachhöhe (3 m) liefern die Sparrenlänge; das Dach besteht aus zwei Rechtecken.
   c) Rechteckwände \(2\cdot(10\cdot6)+2\cdot(8\cdot6)=216\) m²; zwei Giebeldreiecke \(2\cdot12=24\) m²; zusammen \(240\) m². Zu den vier Rechteckwänden kommen die beiden Giebeldreiecke \(\frac12\cdot8\cdot3=12\) m².
   d) \(100\cdot28=2800\) €. Antwort: Die Dacheindeckung kostet 2800 €.

6. Lösung zu Aufgabe 6

   a) \(V=\pi\cdot2{,}25\cdot4+\frac13\pi\cdot2{,}25\cdot2\approx32{,}99\) m³. Das Silo wird in Zylinder und Kegel zerlegt; beide Volumina werden addiert.
   b) \(s=\sqrt{2{,}25+4}=2{,}5\) m; \(M_Z=2\pi\cdot1{,}5\cdot4\approx37{,}70\), \(M_K=\pi\cdot1{,}5\cdot2{,}5\approx11{,}78\), zusammen \(\approx49{,}5\) m². Da das Silo oben offen ist, braucht man nur den Zylindermantel und den Kegelmantel.
   c) \(33{,}0\cdot0{,}75\approx24{,}7\) t. Volumen mal 0,75 t pro m³. Antwort: Das Silo fasst etwa 24,7 t Getreide.
   d) \(\frac{49{,}5\cdot2}6\approx16{,}5\) Liter. Bei zwei Anstrichen verdoppelt sich die Fläche; dann teilt man durch die Ergiebigkeit.

7. Lösung zu Aufgabe 7

   a) \(V=\pi\cdot16\cdot14+\frac43\pi\cdot64\approx971{,}8\) mm³. Die beiden Halbkugeln bilden zusammen eine ganze Kugel; man addiert Zylinder und Kugel.
   b) \(O=2\pi\cdot4\cdot14+4\pi\cdot16\approx552{,}9\) mm². Die Oberfläche besteht aus Zylindermantel und Kugeloberfläche; die Kreisflächen des Zylinders liegen innen und zählen nicht.
   c) Halbe Füllung: etwa 0,49 ml. 20 ml Pulver reichen für etwa 41 Kapseln. Man rechnet mm³ in ml um (1000 mm³ = 1 ml) und teilt die Pulvermenge durch die Füllmenge einer Kapsel.

8. Lösung zu Aufgabe 8

   a) Würfel \(1000\) cm³; Bohrung \(\pi\cdot4\cdot10\approx125{,}7\) cm³. Die Bohrung ist ein Zylinder mit Radius 2 cm und Länge 10 cm.
   b) \(V\approx874{,}3\) cm³. Das Restvolumen ist Würfel minus Bohrung.
   c) \(O=600-2\pi\cdot4+2\pi\cdot2\cdot10\approx700{,}5\) cm². Von der Würfeloberfläche fallen zwei Kreise weg, dafür kommt die Innenwand der Bohrung (Zylindermantel) hinzu.
   d) \(m\approx874{,}3\cdot7{,}85\approx6864\) g, also etwa 6,9 kg. Masse gleich Volumen mal Dichte.

9. Lösung zu Aufgabe 9

   a) \(A=\pi(36-25)=11\pi\approx34{,}6\) cm². Die Querschnittsfläche ist großer Kreis minus kleiner Kreis.
   b) \(V=11\pi\cdot100\approx3456\) cm³; \(m\approx27{,}1\) kg. Volumen gleich Querschnitt mal Länge (100 cm); mal Dichte ergibt die Masse in Gramm.
   c) Außen \(2\pi\cdot6\cdot100\approx3770\) cm²; innen \(2\pi\cdot5\cdot100\approx3142\) cm². Außen- und Innenfläche sind jeweils Zylindermäntel.
   d) \(\approx0{,}69\) m². Man addiert die Flächen und rechnet in m² um (10000 cm² = 1 m²).

10. Lösung zu Aufgabe 10

    a) \(A=\frac{1{,}2+2{,}0}2\cdot10=16\) m². Die Seitenwand ist ein Trapez mit den parallelen Seiten 1,2 m und 2,0 m und der Höhe 10 m.
    b) \(V=16\cdot5=80\) m³ \(=80\,000\) Liter. Das Becken ist ein Prisma mit dem Trapez als Grundfläche und der Breite 5 m als Höhe.
    c) \(\frac{80\,000}{400}=200\) min, das sind \(3\) h \(20\) min. Man teilt die Wassermenge durch die Pumpleistung.
    d) Boden \(\sqrt{100+0{,}64}\cdot5\approx50{,}2\) m²; Seitenwände \(2\cdot16=32\) m²; Stirnwände \(1{,}2\cdot5+2\cdot5=16\) m²; insgesamt \(\approx98{,}2\) m². Der schräge Boden ist mit Pythagoras etwas länger als 10 m; man addiert alle Innenflächen.

11. Lösung zu Aufgabe 11

    a) \(V_K=\frac13\pi\cdot9\cdot10\approx94{,}2\) cm³. Kegelvolumen mit \(r=3\) cm und \(h=10\) cm.
    b) \(V_H=\frac23\pi\cdot27\approx56{,}5\) cm³. Eine Halbkugel hat das halbe Kugelvolumen, also \(\frac23\pi r^3\).
    c) \(s=\sqrt{109}\approx10{,}44\); \(M=\pi\cdot3\cdot10{,}44\approx98{,}4\) cm²; Halbkugel \(2\pi\cdot9\approx56{,}5\) cm². Für den Waffelmantel braucht man die Mantellinie aus Pythagoras.
    d) \(50\cdot56{,}5\approx2827\) cm³, also etwa 2,8 Liter. Man multipliziert das Volumen einer Eiskugel mit 50 und rechnet in Liter um.

12. Lösung zu Aufgabe 12

    a) \(V=\pi\cdot9\cdot2+\frac13\pi\cdot9\cdot4\approx94{,}2\) cm³. Zylinder und Kegel haben denselben Radius; ihre Volumina werden addiert.
    b) \(m\approx94{,}2\cdot0{,}6\approx56{,}5\) g. Masse gleich Volumen mal Dichte.
    c) Deckel \(\pi\cdot9\approx28{,}3\); Zylindermantel \(2\pi\cdot3\cdot2\approx37{,}7\); Kegelmantel \(\pi\cdot3\cdot5\approx47{,}1\) (\(s=5\)); zusammen \(\approx113{,}1\) cm². Sichtbar sind der Deckel, der Zylindermantel und der Kegelmantel; die Mantellinie ist \(\sqrt{9+16}=5\) cm.
    d) \(h=\frac{94{,}25}{9\pi}\approx3{,}33\) cm. Ein Zylinder mit gleichem Volumen und Radius 3 cm hätte diese Höhe.

13. Lösung zu Aufgabe 13

    a) \(V=\pi\cdot40^2\cdot90\approx452{,}4\) Liter. Man rechnet in cm³ und dann in Liter um (1000 cm³ = 1 l).
    b) \(60\cdot25=1500\) Liter. Dachfläche mal Wassermenge pro m².
    c) \(\frac{1500}{452{,}4}\approx3{,}32\), also 4 Tonnen. Man muss aufrunden, damit alles Wasser aufgefangen wird.
    d) \(h=\frac{300\,000}{\pi\cdot1600}\approx59{,}7\) cm. Man stellt die Zylinderformel nach der Höhe um.

14. Lösung zu Aufgabe 14

    a) \(V=19{,}8\cdot13{,}2\cdot12\approx3136{,}3\) cm³. Quadervolumen: Länge mal Breite mal Höhe.
    b) \(6\cdot\pi\cdot3{,}3^2\cdot12\approx2463{,}3\) cm³. Sechs gleiche Zylinder.
    c) Luft \(\approx673{,}1\) cm³, das sind \(\approx21{,}5\,\%\) des Kartons. Die Luft ist die Differenz der Volumina; man bezieht sie auf das Kartonvolumen.
    d) Eine Kugel füllt den umgebenden Würfel nur zu \(\frac\pi6\approx52{,}4\,\%\); fast die Hälfte wäre Luft. Zylinderdosen nutzen den Platz deshalb besser aus als Kugeln.

15. Lösung zu Aufgabe 15

    a) \(V=\pi\cdot9\cdot18+\frac13\pi\cdot9\cdot4\approx546{,}6\) m³. Zylindervolumen plus Kegelvolumen.
    b) \(s=\sqrt{9+16}=5\) m. Radius und Dachhöhe sind die Katheten.
    c) \(M_Z=2\pi\cdot3\cdot18\approx339{,}3\) m²; \(M_K=\pi\cdot3\cdot5\approx47{,}1\) m²; zusammen \(\approx386{,}4\) m². Die Außenfläche besteht aus Zylindermantel und Kegelmantel; der Boden wird nicht gestrichen.
    d) \(\frac{386{,}4\cdot2}6\approx128{,}8\) Liter. Bei zwei Anstrichen verdoppelt sich die Fläche; dann teilt man durch 6 m² pro Liter.

16. Lösung zu Aufgabe 16

    a) \(V=12\cdot6\cdot1{,}5+\frac12\pi\cdot9\cdot12\approx277{,}6\) m³. Das Gewächshaus ist ein Quader mit aufgesetztem Halbzylinder.
    b) \(M=\pi\cdot3\cdot12\approx113{,}1\) m². Die gewölbte Dachfläche ist der halbe Zylindermantel \(\frac12\cdot2\pi r\cdot l\).
    c) Dach \(113{,}1\); zwei Halbkreise \(\pi\cdot9\approx28{,}3\); Seitenwände \(2\cdot12\cdot1{,}5=36\); Stirnrechtecke \(2\cdot6\cdot1{,}5=18\); zusammen \(\approx195{,}4\) m². Zur Folienfläche gehören Dach, die beiden Halbkreise und alle senkrechten Wände; der Boden nicht.
    d) \(195{,}4\cdot2{,}40\approx469\) €. Fläche mal Preis pro m².

17. Lösung zu Aufgabe 17

    a) \(V=\frac13\pi\cdot25\cdot12\approx314{,}2\) cm³. Kegelvolumen; 1 cm³ entspricht 1 ml.
    b) \(V=\frac13\pi\cdot6{,}25\cdot6\approx39{,}3\) cm³. Bei halber Höhe ist auch der Radius halb so groß.
    c) \(\frac18=12{,}5\,\%\), denn alle Längen halbieren sich und das Volumen wird mit \(\left(\frac12\right)^3\) multipliziert. Volumina ähnlicher Körper wachsen mit der dritten Potenz des Streckfaktors.
    d) \(\left(\frac h{12}\right)^3=\frac12\): \(h=\frac{12}{\sqrt[3]2}\approx9{,}52\) cm. Für das halbe Volumen muss der Streckfaktor die dritte Wurzel aus \(\frac12\) sein.

18. Lösung zu Aufgabe 18

    a) Würfel \(1000\); Kugel \(\frac43\pi\cdot125\approx523{,}6\); Zylinder \(\pi\cdot25\cdot10\approx785{,}4\) (cm³). Man setzt jeweils \(r=5\) cm bzw. die Kante 10 cm in die Formeln ein.
    b) \(\frac{523{,}6}{1000}\approx52{,}4\,\%\). Man teilt das Kugelvolumen durch das Würfelvolumen.
    c) \(V_K=\frac43\pi r^3\), \(V_Z=\pi r^2\cdot2r=2\pi r^3\); \(\frac{V_K}{V_Z}=\frac{4/3}2=\frac23\). Der Zylinder hat die Höhe \(2r\); das Verhältnis 2 zu 3 ist unabhängig vom Radius (Archimedes).
    d) \(1000-523{,}6\approx476{,}4\) cm³, etwa 47,6 %. Der Rest ist Würfel minus Kugel.

19. Lösung zu Aufgabe 19

    a) \(16+9+4+1=30\) Würfel. Man addiert die Würfelzahlen der vier Schichten.
    b) \(30\cdot27=810\) cm³. Ein Würfel hat \(3^3=27\) cm³.
    c) Draufsicht: \(16\) Quadrate \(\cdot9=144\) cm². Jede Seitenansicht: \((4+3+2+1)\cdot9=90\) cm²; vier Seiten \(360\) cm². Zusammen \(504\) cm². Von oben sieht man 16 Quadrate, von jeder Seite die Treppe mit \(4+3+2+1\) Quadraten; jedes Quadrat hat 9 cm².
    d) Mit Boden \(504+144=648\) cm²; \(\frac{648}6=108\) ml. Mit Boden kommen noch einmal 16 Quadrate dazu; dann teilt man durch die Ergiebigkeit.

20. Lösung zu Aufgabe 20

    a) \(V=\frac13\pi\cdot36\cdot9\approx339{,}3\) cm³. Kegelvolumen \(\frac13\pi\cdot36\cdot9=108\pi\).
    b) \(h=\frac{108\pi}{9\pi}=12\) cm. Das Volumen bleibt beim Umgießen gleich; man teilt durch die Grundfläche \(9\pi\) des Zylinders.
    c) Ja, er läuft über, denn \(12>10\). Es fehlen 2 cm Höhe, das sind \(2\cdot9\pi\approx56{,}5\) cm³. Die Wasserhöhe übersteigt die Zylinderhöhe; der Überlauf ist ein Zylinder von 2 cm Höhe.
    d) Dann wäre \(h=\frac{108\pi}{36\pi}=3\) cm, das Wasser stünde nur noch ein Drittel so hoch. Bei doppeltem Radius vervierfacht sich die Grundfläche, deshalb sinkt die Höhe auf ein Viertel.