Sinus- und Kosinusfunktion – Mathe Klasse 10 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Gleichung \(\sin x=0{,}5\)

Löse \(\sin x=0{,}5\) im Intervall \([0;2\pi]\).

Es gibt zwei Lösungen: \(x_1=\frac\pi6\approx0{,}524\) und \(x_2=\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}\approx2{,}618\). Der zweite Wert folgt aus der Symmetrie des Sinus zur Geraden \(x=\frac\pi2\).

Beispiel 2: Eigenschaften ablesen

Lies bei \(f(x)=2\sin(3x)+1\) Amplitude, Periode, Mittellinie und Wertemenge ab.

Amplitude 2, Periode \(\frac{2\pi}{3}\), Mittellinie \(y=1\), Wertemenge \([-1;3]\).

Es ist \(f\!\left(\frac\pi6\right)=2\sin\frac\pi2+1=3\), das Maximum.

Beispiel 3: Gleichung aus dem Graphen

Ein Graph hat das Maximum 3, das Minimum \(-1\) und die Periode \(\pi\). Wie lautet die Funktion?

\(d=\frac{3+(-1)}{2}=1\), \(a=\frac{3-(-1)}{2}=2\), \(b=\frac{2\pi}{\pi}=2\). Also \(f(x)=2\sin(2x)+1\).

Beispiel 6: Eigenschaften aus der Gleichung ablesen

Untersuche \(f(x)=3\sin(2x)+1\).

Die Amplitude ist \(|a|=3\). Die Periode ist \(\frac{2\pi}2=\pi\): Nach einer halben Umdrehung wiederholt sich der Verlauf. Die Mittellinie ist \(y=1\). Das Maximum beträgt \(1+3=4\), das Minimum \(1-3=-2\). Der Wertebereich ist also \([-2;4]\). Der Graph schneidet die y-Achse bei \(f(0)=1\), denn \(\sin0=0\).

Beispiel 7: Gleichung aus Eigenschaften aufstellen

Eine Welle hat das Maximum 5, das Minimum 1 und die Periode 4. Der Graph startet auf der Mittellinie und steigt. Gib eine Gleichung an.

Die Mittellinie liegt in der Mitte zwischen 1 und 5, also \(d=3\). Die Amplitude ist \(a=\frac{5-1}2=2\). Aus der Periode folgt \(\frac{2\pi}b=4\), also \(b=\frac\pi2\). Weil der Graph auf der Mittellinie startet und steigt, ist keine Verschiebung nötig. Die Gleichung lautet \(f(x)=2\sin\left(\frac\pi2x\right)+3\). Probe: \(f(1)=2\sin\frac\pi2+3=5\), das Maximum.

Beispiel 8: Eine Kosinusgleichung lösen

Löse \(\cos x=-0{,}5\) für \(0\le x\le2\pi\).

Der Kosinus ist die x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreis. Sie ist \(-0{,}5\) in zwei Punkten, im zweiten und im dritten Quadranten. Aus \(\cos\frac\pi3=0{,}5\) folgt mit Spiegelung \(x_1=\pi-\frac\pi3=\frac{2\pi}3\) und \(x_2=\pi+\frac\pi3=\frac{4\pi}3\). Das sind \(120^\circ\) und \(240^\circ\). Weitere Lösungen außerhalb des Intervalls entstehen durch Addition von \(2\pi\).

Beispiel 9: Die Schaukel

Ein Kind schaukelt. Die Höhe seines Sitzes über dem Boden schwankt zwischen 0,4 m und 1,6 m. Eine Schwingung dauert 3 Sekunden. Zum Zeitpunkt null ist der Sitz im tiefsten Punkt. Stelle eine Funktion auf.

Die Mittellinie liegt bei \(d=\frac{1{,}6+0{,}4}2=1\) m, die Amplitude beträgt \(a=0{,}6\) m. Aus der Periode 3 s folgt \(b=\frac{2\pi}3\). Weil der Sitz im tiefsten Punkt startet, passt die negative Kosinusfunktion: \(h(t)=1-0{,}6\cos\left(\frac{2\pi}3t\right)\). Probe: \(h(0)=0{,}4\), und nach 1,5 s ist \(h=1{,}6\) m, der höchste Punkt. Nach einer Sekunde ist \(h(1)=1-0{,}6\cdot(-0{,}5)=1{,}3\) m.

Beispiel 4: Riesenrad

Ein Riesenrad hat den Radius 20 m, der Mittelpunkt liegt 22 m hoch, eine Umdrehung dauert 10 Minuten. Beschreibe die Höhe.

\(h(t)=22-20\cos\!\left(\frac{2\pi}{10}t\right)\). Zur Zeit \(t=0\) bist du unten (2 m), nach 5 Minuten oben (42 m).

Beispiel 5: Grad in Bogenmaß

Rechne \(150^\circ\) ins Bogenmaß um und \(\frac{2\pi}{3}\) in Grad.

\(x=\frac{150^\circ}{180^\circ}\cdot\pi=\frac{5\pi}{6}\).

\(\alpha=\frac{2\pi/3}{\pi}\cdot180^\circ=120^\circ\).