Bedingte Wahrscheinlichkeit – Mathe Klasse 10 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Würfel

Wie wahrscheinlich ist es, dass eine gewürfelte Zahl gerade ist, wenn du schon weißt, dass sie größer als 3 ist?

Es kommen nur 4, 5 und 6 infrage. Davon sind 4 und 6 gerade. Also gilt \(P(\text{gerade}\mid>3)=\frac23\).

Beispiel 2: Aus der Tafel ablesen

Berechne \(P(\text{Instrument}\mid\text{Mädchen})\) und \(P(\text{Mädchen}\mid\text{Instrument})\).

\(P(\text{Instrument}\mid\text{Mädchen})=\frac{30}{60}=0{,}5\).

\(P(\text{Mädchen}\mid\text{Instrument})=\frac{30}{45}\approx0{,}667\).

Die beiden Werte sind verschieden, weil sich der Nenner ändert.

Beispiel 3: Medizinischer Test

2 % der Personen sind krank (K). Der Test ist bei Kranken zu 90 % positiv, bei Gesunden zu 5 %. Wie wahrscheinlich ist man krank, wenn der Test positiv ist?

Pfad „krank und positiv“: \(0{,}02\cdot0{,}9=0{,}018\). Pfad „gesund und positiv“: \(0{,}98\cdot0{,}05=0{,}049\).

Insgesamt ist der Test mit \(0{,}018+0{,}049=0{,}067\) positiv.

\(P(K\mid T^+)=\dfrac{0{,}018}{0{,}067}\approx0{,}269\). Nur etwa 27 % der positiv Getesteten sind wirklich krank, weil die Krankheit selten ist.

Beispiel 4: Ziehen ohne Zurücklegen

Eine Urne enthält 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist \(P(\text{rot},\text{rot})\)?

\(P(\text{rot},\text{rot})=\frac58\cdot\frac47=\frac{5}{14}\approx0{,}357\). Die zweite Wahrscheinlichkeit \(\frac47\) ist bedingt: Nach einer roten Kugel sind nur noch 4 rote unter 7 Kugeln.

Beispiel 6: Vierfeldertafel aus Prozentangaben

An einer Schule nutzen 70 % der Schüler Streamingdienste. 40 % der Schüler sind in einem Sportverein. 30 % der Schüler nutzen Streaming und sind im Verein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Vereinsmitglied Streamingdienste nutzt?

Wir legen die Ereignisse fest: \(S\): „nutzt Streaming“, \(V\): „ist im Verein“. Gegeben sind \(P(S)=0{,}7\), \(P(V)=0{,}4\) und \(P(S\cap V)=0{,}3\). Die Vierfeldertafel wird mit diesen drei Werten gefüllt und dann ergänzt: \(P(S\cap\overline V)=0{,}7-0{,}3=0{,}4\), \(P(\overline S\cap V)=0{,}4-0{,}3=0{,}1\) und \(P(\overline S\cap\overline V)=1-0{,}7-0{,}4+0{,}3=0{,}2\). Gesucht ist \(P_V(S)=\frac{P(S\cap V)}{P(V)}=\frac{0{,}3}{0{,}4}=0{,}75\). Drei Viertel der Vereinsmitglieder nutzen Streaming. Zum Vergleich: Bei allen Schülern sind es nur 70 %. Die Merkmale sind also nicht unabhängig, denn \(0{,}7\cdot0{,}4=0{,}28\neq0{,}3\).

Beispiel 7: Zwei Maschinen, ein Ausschussteil

Maschine A stellt 60 % der Schrauben her, Maschine B den Rest. 2 % der Schrauben von A und 5 % der Schrauben von B sind fehlerhaft. Eine zufällig gezogene Schraube ist fehlerhaft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt sie von Maschine B?

Zuerst zeichnest du das Baumdiagramm: Erste Stufe Maschine (A mit 0,6; B mit 0,4), zweite Stufe fehlerhaft (F) oder in Ordnung. Die Pfade zu „fehlerhaft“ haben die Wahrscheinlichkeiten \(0{,}6\cdot0{,}02=0{,}012\) und \(0{,}4\cdot0{,}05=0{,}020\). Nach der Pfadsummenregel ist \(P(F)=0{,}012+0{,}020=0{,}032\). Jetzt wird die Bedingung umgekehrt: \(P_F(B)=\frac{P(B\cap F)}{P(F)}=\frac{0{,}020}{0{,}032}=0{,}625\). Obwohl Maschine B nur 40 % der Schrauben produziert, stammen 62,5 % der fehlerhaften Schrauben von ihr.

Beispiel 8: Regen am Wochenende

Am Samstag regnet es mit 30 %. Hat es am Samstag geregnet, regnet es am Sonntag mit 60 %, sonst nur mit 20 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit regnet es am Sonntag?

Beide Pfade, die zu „Regen am Sonntag“ führen, werden addiert: \(P(R_{So})=0{,}3\cdot0{,}6+0{,}7\cdot0{,}2=0{,}18+0{,}14=0{,}32\). Mit 32 % ist Regen am Sonntag etwas wahrscheinlicher als am Samstag. Wichtig: Die 0,6 und die 0,2 sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, Samstag und Sonntag sind also nicht unabhängig.

Beispiel 9: Unabhängigkeit mit Zahlen prüfen

Von 200 befragten Schülern spielen 80 ein Instrument, 120 nicht. Unter den 80 Musikern sind 48 Mädchen. Insgesamt sind 100 Mädchen befragt worden. Sind „Mädchen“ und „spielt Instrument“ unabhängig?

Es ist \(P(M)=\frac{100}{200}=0{,}5\) und \(P(I)=\frac{80}{200}=0{,}4\). Die Schnittmenge hat \(P(M\cap I)=\frac{48}{200}=0{,}24\). Das Produkt \(P(M)\cdot P(I)=0{,}2\) ist verschieden von \(0{,}24\). Also sind die Merkmale abhängig. Gleichwertig: \(P_M(I)=\frac{48}{100}=0{,}48\) ist größer als \(P(I)=0{,}4\). Unter den Mädchen ist der Anteil der Musikerinnen größer als in der Gesamtgruppe.

Beispiel 5: Unabhängigkeit prüfen

Beim Würfeln sei \(A\) „gerade“, \(B\) „durch 3 teilbar“ und \(C\) „größer als 3“. Prüfe die Unabhängigkeit von \(A,B\) und von \(A,C\).

\(P(A)=\frac12\), \(P(B)=\frac13\), \(A\cap B=\{6\}\) mit \(P(A\cap B)=\frac16\). Wegen \(\frac12\cdot\frac13=\frac16\) sind \(A\) und \(B\) unabhängig.

Für \(A\) und \(C\): \(A\cap C=\{4,6\}\), \(P(A\cap C)=\frac13\neq\frac12\cdot\frac12\). Sie sind abhängig.