Zusammengesetzte Körper – Mathe Klasse 10 Lernzettel zum Herunterladen als PDF

Beispiel 1: Silo

Ein Zylinder mit \(r=2\) m und \(h=6\) m trägt eine Halbkugel mit \(r=2\) m. Berechne das Volumen.

Zylinder: \(V_Z=\pi\cdot4\cdot6=24\pi\). Halbkugel: \(V_H=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot8=\frac{16}{3}\pi\).

Insgesamt \(V=\frac{88}{3}\pi\approx92{,}15\ \text{m}^3\).

Beispiel 2: Haus mit Satteldach

Der Quader ist 8 m lang, 6 m breit und 3 m hoch. Das Dach ist ein dreieckiges Prisma mit Dreiecksgrundseite 6 m, Dreieckshöhe 2 m und Länge 8 m.

Quader: \(V_Q=8\cdot6\cdot3=144\ \text{m}^3\). Dach: \(V_P=\frac12\cdot6\cdot2\cdot8=48\ \text{m}^3\).

Gesamtvolumen: 192 m³.

Beispiel 3: Körper mit Bohrung

Ein Quader \(10\times10\times5\) cm hat eine durchgehende Bohrung mit \(r=2\) cm.

\(V=500-\pi\cdot2^2\cdot5=500-20\pi\approx437{,}17\ \text{cm}^3\).

Beispiel 4: Hohlzylinder

Ein Betonrohr ist 2 m lang, außen \(r=0{,}5\) m, innen \(r=0{,}4\) m. Wie groß ist das Betonvolumen?

\(V=\pi\cdot0{,}5^2\cdot2-\pi\cdot0{,}4^2\cdot2=\pi\cdot2\cdot(0{,}25-0{,}16)=0{,}18\pi\approx0{,}565\ \text{m}^3\). Mit der Dichte \(2{,}4\ \text{t/m}^3\) wiegt es etwa 1,36 t.

Beispiel 5: Oberfläche des Silos

Berechne die Oberfläche des Silos aus Beispiel 1.

Zylindermantel \(2\pi\cdot2\cdot6=24\pi\). Halbkugelfläche \(\frac12\cdot4\pi\cdot4=8\pi\). Bodenkreis \(\pi\cdot4=4\pi\). Zusammen \(O=36\pi\approx113{,}10\ \text{m}^2\).

Beispiel 8: Eine Tablettenkapsel

Eine Kapsel besteht aus einem Zylinder (Länge 14 mm, Radius 4 mm) und zwei aufgesetzten Halbkugeln gleichen Radius. Berechne Volumen und Oberfläche.

Die beiden Halbkugeln ergeben zusammen eine Kugel mit \(r=4\) mm. Das Volumen ist \(V=\pi\cdot4^2\cdot14+\frac43\pi\cdot4^3\approx703{,}7+268{,}1=971{,}8\) mm³. Bei der Oberfläche zählen die Kreisflächen zwischen Zylinder und Halbkugeln nicht, denn sie liegen innen. Es bleiben der Zylindermantel und die Kugeloberfläche: \(O=2\pi\cdot4\cdot14+4\pi\cdot4^2\approx351{,}9+201{,}1=553{,}0\) mm².

Beispiel 9: Quader mit zylindrischer Bohrung

Ein Metallquader (20 cm lang, 10 cm breit, 8 cm hoch) hat eine senkrechte, durchgehende Bohrung mit dem Durchmesser 4 cm. Berechne Volumen und Oberfläche.

Das Volumen ist die Differenz: \(V=20\cdot10\cdot8-\pi\cdot2^2\cdot8=1600-100{,}5=1499{,}5\) cm³. Bei der Oberfläche fallen oben und unten je ein Kreis weg, dafür kommt die Innenwand der Bohrung hinzu: \(O=2(200+160+80)-2\pi\cdot2^2+2\pi\cdot2\cdot8\approx880-25{,}1+100{,}5=955{,}4\) cm². Man darf das Wegfallen der Kreise nicht vergessen.

Beispiel 10: Haus mit Pyramidendach

Ein Turmhaus hat eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge 8 m, die Wandhöhe beträgt 5 m, das pyramidenförmige Dach hat die Höhe 3 m. Berechne das Gesamtvolumen und die Dachfläche.

Der Quader hat \(V_1=8\cdot8\cdot5=320\) m³, die Pyramide \(V_2=\frac13\cdot64\cdot3=64\) m³. Insgesamt sind es 384 m³. Die Seitenhöhe der Pyramide ist \(h_s=\sqrt{3^2+4^2}=5\) m. Jedes der vier Dreiecke hat die Fläche \(\frac12\cdot8\cdot5=20\) m², die Dachfläche beträgt also 80 m².

Beispiel 11: Hohlkugel

Eine Kugelschale aus Metall hat den Außenradius 6 cm und den Innenradius 5 cm. Wie viel Metall steckt darin, und wie schwer ist sie bei der Dichte 7,85 g/cm³?

Das Metallvolumen ist die Differenz der Kugelvolumina: \(V=\frac43\pi(6^3-5^3)=\frac43\pi\cdot91\approx381{,}2\) cm³. Die Masse beträgt \(381{,}2\cdot7{,}85\approx2992\) g, also etwa 3 kg. Die Rechnung \(\frac43\pi\,(6-5)^3\) wäre falsch, denn Kugelvolumina wachsen mit der dritten Potenz des Radius und lassen sich nicht über die Differenz der Radien berechnen.

Beispiel 12: Blumentopf als Kegelstumpf

Ein Blumentopf hat oben den Radius 10 cm, unten den Radius 6 cm und die Höhe 16 cm. Berechne sein Volumen.

Der Topf ist ein Kegelstumpf. Du ergänzt ihn gedanklich zu einem vollständigen Kegel und subtrahierst den fehlenden kleinen Kegel. Mit dem Strahlensatz verhalten sich die Höhen wie die Radien: Die Ergänzung hat die Höhe \(x\) mit \(\frac{x}{x+16}=\frac6{10}\). Daraus folgt \(10x=6x+96\), also \(x=24\) cm. Der große Kegel hat die Höhe 40 cm, der kleine 24 cm. Das Volumen des Topfs ist \(V=\frac13\pi\cdot10^2\cdot40-\frac13\pi\cdot6^2\cdot24=\frac13\pi(4000-864)\approx3284\) cm³, das sind etwa 3,3 Liter Erde.

Beispiel 6: Eistüte

Eine Eiswaffel ist ein Kegel mit \(r=3\) cm und \(h=10\) cm, darauf liegt eine Halbkugel mit \(r=3\) cm. Wie viel Eis passt hinein (Volumen)?

Kegel: \(V_K=\frac13\pi\cdot9\cdot10=30\pi\). Halbkugel: \(V_H=\frac12\cdot\frac43\pi\cdot27=18\pi\).

Zusammen \(V=48\pi\approx150{,}8\ \text{cm}^3\), also etwa 151 ml.

Beispiel 7: Prisma als Dach

Ein Zelt hat die Form eines dreieckigen Prismas: Grundseite 2 m, Dreieckshöhe 1,5 m, Länge 3 m. Wie groß ist das Volumen?

\(V=G\cdot h=\frac12\cdot2\cdot1{,}5\cdot3=4{,}5\ \text{m}^3\).