Ganzrationale Funktionen – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Man berechnet \(f(-x)=-(-x)^3+4(-x)=x^3-4x=-(-x^3+4x)=-f(x)\). Damit ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung (1 P.). Erkennungszeichen: Im Term kommen nur ungerade Exponenten vor.
   b) \(f(x)=0\): Ausklammern \(-x(x^2-4)=0\) und dritte binomische Formel \(-x(x-2)(x+2)=0\). Nullprodukt: \(x_1=0\), \(x_2=2\), \(x_3=-2\) (2 P.). Die Nullstellen liegen symmetrisch, passend zu a).
   c) Das Verhalten im Unendlichen bestimmt der Summand mit dem höchsten Exponenten, hier \(-x^3\). Grad \(3\) ist ungerade, der Leitkoeffizient \(-1\) negativ: Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to+\infty\) (1 P.). Der Graph verläuft also von links oben nach rechts unten.

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Die Gleichung \(x^4-10x^2+9=0\) enthält nur \(x^4\) und \(x^2\); sie ist biquadratisch. Mit \(z=x^2\) (also \(x^4=z^2\)) entsteht \(z^2-10z+9=0\) (1 P.). pq-Formel mit \(p=-10\), \(q=9\): \(z=5\pm\sqrt{25-9}=5\pm4\), also \(z_1=1\) und \(z_2=9\) (1 P.).
   b) Rücksubstitution: \(x^2=1\) ergibt \(x=\pm1\), \(x^2=9\) ergibt \(x=\pm3\) (2 P.). Da beide \(z\)-Werte positiv sind, liefert jeder zwei Lösungen. Wäre ein \(z\) negativ, gäbe es dafür keine reelle Lösung. Probe mit \(x=3\): \(81-90+9=0\). Antwort: \(L=\{-3;-1;1;3\}\), die Funktion hat vier Nullstellen.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Einsetzen von \(x=2\): \(f(2)=2^3-3\cdot2^2-4\cdot2+12=8-12-8+12=0\). Also ist \(2\) eine Nullstelle, und \((x-2)\) ist ein Linearfaktor (1 P.).
   b) Polynomdivision: \(x^3:x=x^2\); \(x^2(x-2)=x^3-2x^2\) abziehen, Rest \(-x^2-4x\). Dann \(-x^2:x=-x\); \(-x(x-2)=-x^2+2x\) abziehen, Rest \(-6x+12\). Schließlich \(-6x:x=-6\); \(-6(x-2)=-6x+12\), Rest \(0\). Ergebnis \(x^2-x-6\) (2 P.).
   c) Nullstellen des Quotienten mit der pq-Formel: \(x=0{,}5\pm\sqrt{0{,}25+6}=0{,}5\pm2{,}5\), also \(3\) und \(-2\). Damit \(f(x)=(x-2)(x-3)(x+2)\) (1 P.). Probe durch Ausmultiplizieren: \((x-2)(x^2-x-6)=x^3-3x^2-4x+12\), das ist wieder der Ausgangsterm. Antwort: Nullstellen \(-2\), \(2\), \(3\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor, eine doppelte Nullstelle einen quadrierten Faktor. Grad \(3\) ergibt sich aus \(1+2\): \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\) (1 P.).
   b) Der \(y\)-Achsenabschnitt ist \(f(0)=a\cdot(0+1)\cdot(0-2)^2=4a\). Aus \(4a=8\) folgt \(a=2\) (1 P.).
   c) \(f(3)=2\cdot(3+1)\cdot(3-2)^2=2\cdot4\cdot1=8\) (1 P.).
   d) Ausmultipliziert beginnt der Term mit \(2x^3\): Grad \(3\) ungerade, Leitkoeffizient positiv. Für \(x\to\infty\) gilt \(f(x)\to\infty\), für \(x\to-\infty\) gilt \(f(x)\to-\infty\) (1 P.). Bei \(x=2\) berührt der Graph die \(x\)-Achse nur, ohne sie zu schneiden, weil die Nullstelle doppelt ist. Antwort: \(f(x)=2(x+1)(x-2)^2\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Nach dem Ausschneiden der Eckquadrate werden die Ränder hochgeklappt. Die Länge der Grundfläche verringert sich auf beiden Seiten um \(x\), also \(30-2x\); ebenso die Breite \(20-2x\). Die Höhe ist \(x\). Volumen gleich Länge mal Breite mal Höhe: \(V(x)=x(30-2x)(20-2x)\) (1 P.).
   b) \(V(2)=2\cdot26\cdot16=832\), \(V(3)=3\cdot24\cdot14=1008\), \(V(4)=4\cdot22\cdot12=1056\), \(V(5)=5\cdot20\cdot10=1000\), jeweils in \(\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   c) Die Werte steigen bis \(x=4\) und fallen danach wieder; unter den ganzzahligen Höhen liefert \(x=4\) cm das größte Volumen von \(1056\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   d) Alle Kantenlängen müssen positiv sein: \(x\gt0\) und \(20-2x\gt0\), also \(x\lt10\). \(D=\,]0;10[\) (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte