Zusammengesetzte Körper – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   a) Zylinder: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot16\cdot10=160\pi\approx502{,}7\,\mathrm{cm}^3\). Die Oberfläche setzt sich aus zwei Kreisen und dem Mantel zusammen: \(O=2\pi r^2+2\pi rh=32\pi+80\pi=112\pi\approx351{,}9\,\mathrm{cm}^2\) (2 P.).
   b) Beim Kegel bilden Radius \(4\) cm, Höhe \(3\) cm und Mantellinie ein rechtwinkliges Dreieck mit \(s\) als Hypotenuse: \(s=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\) cm (1 P.).
   c) Volumen: \(V=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot16\cdot3=16\pi\approx50{,}3\,\mathrm{cm}^3\). Mantel: \(M=\pi rs=\pi\cdot4\cdot5=20\pi\approx62{,}8\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Würde man den Kegel auf den Zylinder setzen, käme ein Körper mit \(176\pi\approx552{,}9\,\mathrm{cm}^3\) heraus. Antwort: Zylinder \(502{,}7\,\mathrm{cm}^3\) und \(351{,}9\,\mathrm{cm}^2\); \(s=5\) cm; Kegel \(50{,}3\,\mathrm{cm}^3\) und \(62{,}8\,\mathrm{cm}^2\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   a) Der Wohnteil ist ein Quader: \(V_1=6\cdot6\cdot3=108\,\mathrm{m}^3\) (1 P.).
   b) Das Dach ist eine quadratische Pyramide mit \(G=36\,\mathrm{m}^2\) und \(h=2\) m: \(V_2=\frac13\cdot36\cdot2=24\,\mathrm{m}^3\). Zusammen umbaut das Haus \(108+24=132\,\mathrm{m}^3\) (1 P.).
   c) Die Seitenhöhe \(h_s\) führt von der Mitte einer Dachkante zur Spitze. Sie ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der halben Grundkante \(3\) m und der Dachhöhe \(2\) m: \(h_s=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx3{,}61\) m (1 P.). Die Dachfläche besteht aus vier Dreiecken mit Grundseite \(6\) m: \(4\cdot\frac12\cdot6\cdot3{,}61\approx43{,}3\,\mathrm{m}^2\) (1 P.). Häufiger Fehler: die Dachhöhe \(2\) m als Dreieckshöhe verwenden. Antwort: \(108\,\mathrm{m}^3\), \(24\,\mathrm{m}^3\), \(h_s\approx3{,}61\) m, rund \(43{,}3\,\mathrm{m}^2\) Dachfläche.

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) \(V_Q=12\cdot8\cdot5=480\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   b) Die Bohrung steht senkrecht auf der \(12\times8\)-Fläche und geht durch die ganze Höhe \(5\) cm. Sie ist also ein Zylinder mit Radius \(r=1\) cm und Höhe \(5\) cm: \(V_B=\pi\cdot1^2\cdot5=5\pi\approx15{,}7\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   c) Restkörper: \(480-15{,}7\approx464{,}3\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.). Die Bohrung nimmt nur gut \(3\,\%\) des Volumens weg.
   d) Masse gleich Volumen mal Dichte: \(m=464{,}3\cdot2{,}7\approx1253{,}6\) g, also etwa \(1{,}25\) kg (1 P.). Mit der ungerundeten Zwischenrechnung erhält man dasselbe, weil \(5\pi\) erst am Ende gerundet wird. Antwort: \(480\,\mathrm{cm}^3\); \(15{,}7\,\mathrm{cm}^3\); \(464{,}3\,\mathrm{cm}^3\); rund \(1254\) g.

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Volumen des Zylinders: \(V=\pi r^2h=\pi\cdot0{,}5^2\cdot1{,}2=0{,}3\pi\approx0{,}942\,\mathrm{m}^3\) (1 P.). Umrechnung: \(1\,\mathrm{m}^3=1000\,\mathrm{dm}^3=1000\) l, also etwa \(942\) l (1 P.).
   b) Füllzeit gleich Volumen durch Zulauf: \(\frac{942}{15}\approx62{,}8\) min, also gut eine Stunde (1 P.).
   c) Der leere obere Teil ist selbst ein Zylinder mit demselben Radius und der Höhe \(20\) cm \(=0{,}2\) m: \(\pi\cdot0{,}25\cdot0{,}2=0{,}05\pi\approx0{,}157\,\mathrm{m}^3\approx157\) l (1 P.). Kontrolle über Anteile: \(0{,}2\) m sind ein Sechstel von \(1{,}2\) m, und \(942:6=157\). Antwort: \(942\) l Fassungsvermögen, etwa \(63\) Minuten Füllzeit, \(157\) l fehlen.

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Kegel: \(V_K=\frac13\pi r^2h=\frac13\pi\cdot2{,}5^2\cdot9=\frac13\pi\cdot6{,}25\cdot9=18{,}75\pi\approx58{,}9\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   b) Halbkugel: \(V_H=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi\cdot15{,}625\approx32{,}7\,\mathrm{cm}^3\). Zusammen enthält die Tüte mit Eiskugel etwa \(58{,}9+32{,}7=91{,}6\,\mathrm{cm}^3\) (1 P.).
   c) Mantellinie mit Pythagoras aus Radius und Höhe: \(s=\sqrt{2{,}5^2+9^2}=\sqrt{87{,}25}\approx9{,}34\) cm (1 P.). Die Waffel ist der Kegelmantel: \(M=\pi rs=\pi\cdot2{,}5\cdot9{,}34\approx73{,}4\,\mathrm{cm}^2\) (1 P.). Die Mantellinie ist nur wenig länger als die Höhe, weil der Kegel sehr schlank ist. Antwort: \(58{,}9\,\mathrm{cm}^3\); \(32{,}7\,\mathrm{cm}^3\) bzw. \(91{,}6\,\mathrm{cm}^3\) insgesamt; \(s\approx9{,}34\) cm und \(M\approx73{,}4\,\mathrm{cm}^2\).

Gesamt : 20 Punkte