Sinus- und Kosinusfunktion – Mathe Klasse 10 Lösungen zur Klassenarbeit zum Herunterladen als PDF

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1. Lösung zu Aufgabe 1 (4 BE/Punkte)

   Grundlage ist \(180^\circ=\pi\).
   a) Gradmaß ins Bogenmaß: mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\) multiplizieren. \(150^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{150}{180}\pi=\frac{5\pi}{6}\) (1 P.).
   b) Bogenmaß ins Gradmaß: mit \(\frac{180^\circ}{\pi}\) multiplizieren. \(\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=\frac{3\cdot180^\circ}{4}=135^\circ\) (1 P.).
   c) \(\frac\pi6\) entspricht \(30^\circ\). Im Einheitskreis gehört dazu der Punkt mit der \(y\)-Koordinate \(\frac12\), also \(\sin\frac\pi6=\frac12\) (1 P.). Begründung: Das halbe gleichseitige Dreieck mit Hypotenuse \(1\) hat die kurze Kathete \(\frac12\).
   d) \(\pi\) entspricht \(180^\circ\), also dem Punkt \((-1|0)\) ganz links auf dem Einheitskreis. Seine \(x\)-Koordinate ist \(\cos\pi=-1\) (1 P.). Antwort: \(\frac{5\pi}6\); \(135^\circ\); \(\frac12\); \(-1\).

2. Lösung zu Aufgabe 2 (4 BE/Punkte)

   Allgemein hat \(f(x)=a\sin(bx)+d\) die Amplitude \(|a|\), die Periode \(\frac{2\pi}{b}\) und die Mittellinie \(y=d\).
   a) Hier ist \(a=3\): Die Amplitude beträgt \(3\). Der Graph schwankt also um \(3\) Einheiten nach oben und unten (1 P.).
   b) Mit \(b=2\) ergibt sich die Periode \(p=\frac{2\pi}{2}=\pi\) (1 P.). Der Graph ist gegenüber \(\sin x\) in \(x\)-Richtung auf die Hälfte gestaucht, eine volle Schwingung dauert nur \(\pi\approx3{,}14\).
   c) Die Verschiebung \(d=1\) liefert die Mittellinie \(y=1\). Maximum: \(1+3=4\); Minimum: \(1-3=-2\) (2 P.). Das Maximum wird zum Beispiel bei \(x=\frac\pi4\) erreicht, denn dort ist \(\sin(2x)=\sin\frac\pi2=1\) und \(f(\frac\pi4)=3+1=4\). Antwort: Amplitude \(3\), Periode \(\pi\), Mittellinie \(y=1\), Wertebereich von \(-2\) bis \(4\).

3. Lösung zu Aufgabe 3 (4 BE/Punkte)

   a) Der Grundwinkel mit \(\sin x=0{,}5\) ist \(\frac\pi6\). Ein negativer Sinuswert gehört zu Punkten unterhalb der \(x\)-Achse, also zum dritten und vierten Quadranten (1 P.). Dritter Quadrant: \(x=\pi+\frac\pi6=\frac{7\pi}6\). Vierter Quadrant: \(x=2\pi-\frac\pi6=\frac{11\pi}6\) (1 P.). Probe: \(\sin210^\circ=-0{,}5\) und \(\sin330^\circ=-0{,}5\).
   b) Für \(\cos x=0{,}5\) ist der Grundwinkel \(\frac\pi3\) (\(60^\circ\)). Positive Kosinuswerte liegen rechts der \(y\)-Achse, im ersten und vierten Quadranten (1 P.). Lösungen: \(x=\frac\pi3\) und \(x=2\pi-\frac\pi3=\frac{5\pi}3\) (1 P.). Der Taschenrechner liefert jeweils nur eine Lösung, die zweite findet man über die Symmetrie des Einheitskreises. Antwort: a) \(\{\frac{7\pi}6;\frac{11\pi}6\}\), b) \(\{\frac\pi3;\frac{5\pi}3\}\).

4. Lösung zu Aufgabe 4 (4 BE/Punkte)

   a) Es gilt \(b=\frac{2\pi}{8}=\frac\pi4\). Periode \(p=\frac{2\pi}{b}=\frac{2\pi}{\pi/4}=8\) min: Das Rad dreht sich in \(8\) Minuten einmal (1 P.).
   b) \(h(0)=20-15\cos0=20-15=5\) m (Einstieg unten). \(h(2)=20-15\cos\frac\pi2=20-0=20\) m (Höhe der Achse). \(h(4)=20-15\cos\pi=20+15=35\) m (höchster Punkt) (1 P.).
   c) \(20-15\cos(\frac\pi4t)=27{,}5\) ergibt \(-15\cos(\frac\pi4t)=7{,}5\), also \(\cos(\frac\pi4t)=-0{,}5\) (1 P.). Der kleinste positive Winkel mit Kosinus \(-0{,}5\) ist \(\frac{2\pi}3\). Aus \(\frac\pi4t=\frac{2\pi}3\) folgt \(t=\frac83\approx2{,}67\) min, also nach etwa \(2\) min \(40\) s (1 P.). Plausibel: zwischen \(h(2)=20\) und \(h(4)=35\).

5. Lösung zu Aufgabe 5 (4 BE/Punkte)

   a) Die Mittellinie liegt in der Mitte zwischen Minimum und Maximum: \(d=\frac{4+24}{2}=14\) °C. Die Amplitude ist die halbe Schwankung: \(a=\frac{24-4}{2}=10\) °C (1 P.).
   b) Die Periode ist ein Jahr, also \(12\) Monate, daher \(b=\frac{2\pi}{12}\). Die Sinusfunktion erreicht ihr Maximum eine Viertelperiode (\(3\) Monate) nach dem Nulldurchgang. Das Maximum soll bei \(t=7\) liegen, also \(c=7-3=4\): \(T(t)=14+10\sin(\frac{2\pi}{12}(t-4))\) (1 P.).
   c) \(T(5)=14+10\sin(\frac{2\pi}{12})=14+10\sin30^\circ=14+5=19\) °C (1 P.).
   d) \(T(t)\gt19\) heißt \(\sin(\frac{\pi}{6}(t-4))\gt0{,}5\), also \(\frac\pi6\lt\frac\pi6(t-4)\lt\frac{5\pi}6\) und \(5\lt t\lt9\). In den Monaten Juni, Juli und August liegt die Temperatur über \(19\) °C (1 P.).

Gesamt : 20 Punkte