Probabilidad y variables aleatorias – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora la tabla completa y la elección correcta del denominador en cada condicionada.

   1. Musculación: 45 nadan, 75 no. Sin musculación: 50 nadan, 30 no. Nadan 95 en total. Totales: 120 hacen musculación y 80 no; nadan 95 y no nadan \(75+30=105\); en total, 200.
   2. \(\frac{45}{120}=0{,}375\). El denominador son los 120 socios de musculación.
   3. \(\frac{45}{95}\approx0{,}474\). Ahora el denominador son los 95 que nadan. Las dos probabilidades son distintas: en general \(P(A\mid B)\neq P(B\mid A)\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el árbol, la probabilidad total y la aplicación de Bayes.

   1. \(0{,}6\cdot0{,}1+0{,}4\cdot0{,}25=0{,}16\). Árbol: A (0,6) con retraso 0,1 y B (0,4) con retraso 0,25. Por la probabilidad total, \(P(R)=P(A)P(R\mid A)+P(B)P(R\mid B)=0{,}06+0{,}10\). Un 16 % de los envíos llega tarde.
   2. \(\frac{0{,}1}{0{,}16}=0{,}625\). Bayes: \(P(B\mid R)=\frac{P(B)P(R\mid B)}{P(R)}=\frac{0{,}4\cdot0{,}25}{0{,}16}\). Aunque B lleva solo el 40 % de los envíos, causa el 62,5 % de los retrasos.

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora identificar la binomial y aplicar sus fórmulas.

   1. \(\binom{10}3\,0{,}3^3\,0{,}7^7\approx0{,}2668\). \(X\sim B(10;\,0{,}3)\), ya que hay 10 clientes independientes con la misma probabilidad. \(\binom{10}3=120\), \(0{,}3^3=0{,}027\) y \(0{,}7^7\approx0{,}0824\). Multiplicando, \(120\cdot0{,}027\cdot0{,}0824\approx0{,}267\): en algo más de una de cada cuatro tandas de 10 clientes, exactamente 3 compran.
   2. \(0{,}7^{10}+10\cdot0{,}3\cdot0{,}7^9\approx0{,}1493\). Es \(P(X=0)+P(X=1)\approx0{,}0282+0{,}1211\). La probabilidad de que compren como mucho uno es baja, de un 15 %, porque se esperan 3 compradores.
   3. \(\mu=3\), \(\sigma=\sqrt{2{,}1}\approx1{,}449\). Se usan \(\mu=np=10\cdot0{,}3\) y \(\sigma^2=np(1-p)=2{,}1\). Por término medio, 3 de cada 10 clientes compran un libro de bolsillo.

4. Solución del ejercicio 4 (5 puntos)

   Criterios. Se valora la tipificación, el uso de la tabla y el percentil.

   1. \(P(Z\gt 1{,}5)\approx0{,}0668\). Tipificamos: \(z=\frac{230-200}{20}=1{,}5\), y \(P(Z\gt 1{,}5)=1-0{,}9332\). Alrededor del 6,7 % de las naranjas son extra.
   2. \(P(-1\lt Z\lt 1)\approx0{,}6827\). Para 180 y 220 g, \(z=\pm1\): \(P=2\Phi(1)-1=2\cdot0{,}8413-1\approx0{,}683\).
   3. \(200+1{,}645\cdot20\approx232{,}9\) g. Buscamos \(z\) con \(P(Z\gt z)=0{,}05\), que es \(z=1{,}645\), y se destipifica con \(x=\mu+z\sigma\). Las naranjas que superan unos 233 g son el 5 % más pesado.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo de la esperanza y su interpretación.

   1. \(40-(300\cdot0{,}05+100\cdot0{,}1)=40-25=15\) €. Es el ingreso seguro de 40 € menos el pago esperado, \(300\cdot0{,}05+100\cdot0{,}1+0\cdot0{,}85=25\) €. Con probabilidad \(1-0{,}05-0{,}1=0{,}85\) no paga nada.
   2. A largo plazo la compañía gana unos 15 € por póliza, que cubren sus gastos y su beneficio. En una póliza concreta puede perder hasta 260 €, pero el promedio es positivo.

Total : 20 puntos