Probabilidad y variables aleatorias – matemáticas 1º Grado (Universidad): apuntes y teoría para descargar en PDF

Definición: probabilidad y sucesos

Un experimento aleatorio tiene un espacio muestral \(\Omega\) de resultados posibles; un suceso es un subconjunto de \(\Omega\). La probabilidad cumple los axiomas de Kolmogorov: \(P(A)\ge0\), \(P(\Omega)=1\) y aditividad para sucesos incompatibles. De ahí se deduce \(P(A^c)=1-P(A)\) y \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\). Con casos equiprobables, \(P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\), y se cuenta con combinatoria: \(\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Definición: probabilidad condicionada e independencia

La probabilidad condicionada es \(P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (con \(P(B)>0\)). Dos sucesos son independientes si \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\), equivalentemente \(P(A\mid B)=P(A)\). Teorema de la probabilidad total: si \(A_1,\dots,A_n\) es una partición de \(\Omega\), \(P(B)=\sum P(A_i)P(B\mid A_i)\). Teorema de Bayes: \(P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{P(B)}\).

Definición: modelos discretos

Una variable binomial \(B(n,p)\) cuenta los éxitos en \(n\) pruebas independientes con probabilidad de éxito \(p\): \(P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}\), con media \(np\) y varianza \(np(1-p)\). Una variable de Poisson \(P(\lambda)\) cuenta sucesos raros que ocurren al azar en un intervalo con media \(\lambda\): \(P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\), con media y varianza iguales a \(\lambda\). La hipergeométrica sustituye a la binomial cuando se extrae sin reemplazamiento de una población pequeña.

Definición: modelos continuos

La distribución exponencial de parámetro \(\lambda\), con densidad \(\lambda e^{-\lambda t}\), describe tiempos de espera sin memoria y tiene media \(\frac1\lambda\). La normal \(N(\mu,\sigma)\) tiene forma de campana simétrica; se calcula tipificando, \(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\), y usando la tabla de \(N(0,1)\). Entre \(\mu\pm\sigma\) hay un 68 % de la probabilidad, entre \(\mu\pm2\sigma\) un 95 % y entre \(\mu\pm3\sigma\) un 99,7 %.

Definición: función de distribución

Para cualquier variable aleatoria \(X\), la función de distribución es \(F(x)=P(X\le x)\). Es creciente, vale 0 en \(-\infty\) y 1 en \(+\infty\), y permite calcular la probabilidad de cualquier intervalo: \(P(a\lt X\le b)=F(b)-F(a)\). En una variable discreta tiene forma de escalera, con saltos en los valores posibles cuya altura es la probabilidad de cada valor. En una variable continua es una función continua cuya derivada es la densidad, de modo que \(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)\,dt\). Las tablas de la normal que se usan en los exámenes son precisamente valores de la función de distribución de \(N(0,1)\), y los percentiles se obtienen resolviendo \(F(x)=p\).