Estadística descriptiva – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo de las medidas de posición y dispersión y la aplicación del criterio de Tukey.

   1. \(\bar x=5\), \(Me=5\), moda 5. La suma es 50, así que \(\bar x=\frac{50}{10}=5\). La mediana es la media de los datos 5.º y 6.º, \(\frac{5+5}{2}\). El 5 aparece tres veces.
   2. \(\sigma^2=\frac{298}{10}-25=4{,}80\), \(\sigma\approx2{,}19\). Se usa \(\sum x_i^2=4+9+9+16+25+25+25+36+49+100=298\).
   3. \(IQR=3\), límite superior \(6+4{,}5=10{,}5\): el 10 no es atípico. Las vallas de Tukey son \(Q_1-1{,}5\cdot IQR=-1{,}5\) y \(Q_3+1{,}5\cdot IQR=10{,}5\). Como \(10\le10{,}5\), el dato no es atípico, aunque está cerca del límite.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora usar las marcas de clase y la interpolación correcta para la mediana.

   1. \(\bar x=\frac{1100}{50}=22{,}00\) años; \(\sigma\approx9{,}00\) años. Marcas de clase: 5, 15, 25 y 35. \(\sum m_if_i=25+225+500+350=1100\) y \(\sum m_i^2f_i=125+3375+12500+12250=28250\), luego \(\sigma^2=\frac{28250}{50}-22^2=565-484=81\) y \(\sigma=9\).
   2. 25 datos: intervalo \([20,30)\); \(Me=20+\frac{25-20}{20}\cdot10=22{,}5\) años. Las frecuencias acumuladas son 5, 20, 40 y 50; la clase mediana es la primera que supera 25. Dentro de ella faltan 5 de sus 20 datos, es decir, un cuarto de la amplitud de 10 años.

3. Solución del ejercicio 3 (5 puntos)

   Criterios. Se valora la covarianza, la correlación, la recta y la predicción con unidades.

   1. \(\bar x=3\), \(\bar y=41{,}00\), \(\sigma_{xy}=-9{,}00\), \(r\approx-0{,}996\): relación lineal negativa muy fuerte. Se usa \(\sum xy=50+90+126+144+160=570\), así que \(\sigma_{xy}=\frac{570}{5}-3\cdot41=-9\). Además \(\sigma_x=\sqrt2\) y \(\sigma_y=\sqrt{40{,}8}\approx6{,}39\).
   2. Pendiente \(-4{,}50\): \(y=54{,}50-4{,}50x\). La pendiente es \(\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}=\frac{-9}{2}\) y la recta pasa por \((3,41)\): \(y-41=-4{,}5(x-3)\). Cada año el coche pierde unos 450 €.
   3. \(y(6)\approx27{,}50\), unos 2750 €. Es una ligera extrapolación (los datos llegan a 5 años), aceptable porque \(|r|\) es casi 1.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el cálculo de los cuartiles y de las vallas de Tukey.

   1. \(Q_1=6\), \(Me=7{,}5\), \(Q_3=10\). Con 10 datos, la mediana es la media del 5.º y el 6.º, \(\frac{7+8}{2}\). La mitad inferior es 3, 5, 6, 6, 7, con mediana 6; la superior, 8, 9, 10, 11, 25, con mediana 10.
   2. \(IQR=4\); límites \(0\) y \(16\): el 25 es atípico. Las vallas son \(6-1{,}5\cdot4=0\) y \(10+1{,}5\cdot4=16\). Solo el 25 queda fuera; en el diagrama de caja se marca aparte y el bigote superior llega hasta 11.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora el coeficiente de variación y la conclusión razonada.

   1. \(CV_A=\frac{300}{1800}\approx0{,}167\) y \(CV_B=\frac{375}{2500}=0{,}15\). El CV es el cociente entre la desviación típica y la media, y no tiene unidades. En porcentaje: 16,7 % y 15 %.
   2. La B, porque su dispersión relativa es menor. Aunque B tiene mayor desviación típica en euros, en relación con su media sus salarios están menos dispersos. Por eso se compara el CV y no \(\sigma\).

Total : 20 puntos