Inferencia estadística – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el error estándar, el valor crítico y una interpretación correcta del intervalo.

   1. \(48\pm1{,}96\cdot\frac{20}{10}=48\pm3{,}92=[44{,}08;\ 51{,}92]\) €. El error estándar es \(\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{20}{10}=2\) y el valor crítico, \(z_{0{,}025}=1{,}96\). El margen de error es de 3,92 €.
   2. Con un procedimiento que acierta en el 95 % de las muestras, el gasto medio de todos los clientes está entre 44,08 y 51,92 €. No significa que el 95 % de los clientes gaste esa cantidad.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora el intervalo para la proporción y el redondeo hacia arriba del tamaño.

   1. \(0{,}25\pm1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25\cdot0{,}75}{400}}=0{,}25\pm0{,}042\). La proporción muestral es \(\hat p=\frac{100}{400}=0{,}25\) y su error estándar, \(\sqrt{\frac{0{,}1875}{400}}\approx0{,}0217\). El intervalo es \([0{,}208;\ 0{,}292]\): entre el 20,8 % y el 29,2 % de la población usa el transporte a diario.
   2. \(n=\frac{1{,}96^2\cdot0{,}1875}{0{,}0009}\approx800{,}3\): 801 personas. Se despeja \(n\) de \(E=z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\): \(n=\frac{z^2p(1-p)}{E^2}\). Se redondea siempre hacia arriba para que el error no supere 0,03.

3. Solución del ejercicio 3 (5 puntos)

   Criterios. Se valora la secuencia completa del contraste: hipótesis, estadístico, p-valor y conclusión.

   1. \(H_0:\mu=30\) frente a \(H_1:\mu\lt 30\). Es un contraste unilateral a la izquierda, porque se quiere probar que el tiempo medio es menor.
   2. \(z=\frac{29-30}{3/6}=-2\); p-valor \(=P(Z\lt -2)\approx0{,}0228\). El error estándar es \(\frac{3}{\sqrt{36}}=0{,}5\); con \(n=36\) se puede usar la normal.
   3. Se rechaza \(H_0\): hay evidencia de que el montaje medio es menor de 30 minutos. Como el p-valor \(0{,}0228\lt 0{,}05\), se rechaza \(H_0\); equivalentemente, \(z=-2\lt -1{,}645\), el valor crítico al 5 %.

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   Criterios. Se valora usar el error estándar \(\frac{\sigma}{\sqrt n}\) en la tipificación.

   1. \(N\left(25,\frac44\right)=N(25,1)\). La media muestral de una normal es normal, con la misma media y desviación típica \(\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{4}{\sqrt{16}}=1\) minuto. La media de 16 viajes varía mucho menos que un viaje suelto.
   2. \(P(Z\gt 2)\approx0{,}0228\). Tipificamos: \(z=\frac{27-25}{1}=2\), y \(P(Z\gt 2)=1-0{,}9772\). Solo en un 2,28 % de las muestras de 16 viajes la media supera los 27 minutos.

5. Solución del ejercicio 5 (3 puntos)

   Criterios. Se valora relacionar los errores con el contexto y con la elección de \(\alpha\).

   1. Tipo I: sancionar a un deportista limpio. Tipo II: no detectar a uno dopado. La probabilidad del error de tipo I es \(\alpha\).
   2. Socialmente se considera más grave el tipo I (castigar a un inocente), por eso se elige un \(\alpha\) muy pequeño, aceptando un \(\beta\) mayor. Con un tamaño de muestra fijo, disminuir \(\alpha\) aumenta \(\beta\).

Total : 20 puntos