Lógica, conjuntos y demostraciones – matemáticas 1º Grado (Universidad): soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   Criterios. Se valora la tabla de verdad completa, el nombre de la regla y la negación correcta de la implicación.

   1. La única fila en que \(q\) es F y \(p\wedge(p\to q)\) podría ser V exigiría \(p\) V y \(p\to q\) V con \(q\) F, lo que es imposible. Las cuatro filas valen V.
   2. Modus ponens. Si \(p\) y \(p\to q\) son verdaderas, se deduce \(q\).
   3. \(p\wedge\neg q\wedge\neg r\). Se usa \(\neg(p\to s)\equiv p\wedge\neg s\) y De Morgan: \(\neg(q\vee r)\equiv\neg q\wedge\neg r\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   Criterios. Se valora decidir la verdad de cada frase y negar con cuidado los cuantificadores.

   1. La primera es verdadera (\(y=-x\)); la segunda falsa: un único \(y\) no sirve para todos los \(x\). Para la primera, dado \(x\) basta tomar \(y=-x\). La segunda exigiría un \(y\) válido para todo \(x\); con \(x=0\) y \(x=1\) se obtendría a la vez \(y=0\) e \(y=-1\).
   2. \(\forall M\gt 0\ \exists x:\ |f(x)|\gt M\). Se cambia cada \(\exists\) por \(\forall\) y viceversa, y se niega la condición final: «\(f\) no está acotada».

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   Criterios. Se valora usar la inclusión-exclusión y el diagrama de Venn de forma coherente.

   1. \(45+38-20=63\). Por inclusión-exclusión, \(|P\cup B|=|P|+|B|-|P\cap B|\): al sumar 45 y 38 se cuentan dos veces los 20 que juegan a ambos.
   2. \(80-63=17\). Es el complementario de la unión respecto del total de 80 estudiantes.
   3. \(45-20=25\). Del pádel se restan los que también juegan al baloncesto. Igualmente, solo baloncesto son \(38-20=18\). Comprobación: \(25+20+18+17=80\).

4. Solución del ejercicio 4 (6 puntos)

   Criterios. Se valora la estructura completa de la inducción: caso base, hipótesis y paso inductivo.

   1. Base: \(2=\frac{1\cdot2\cdot3}3\). Paso: \(\frac{n(n+1)(n+2)}3+(n+1)(n+2)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}3\). Hipótesis de inducción: la fórmula vale para \(n\). Para \(n+1\) se suma el término \((n+1)(n+2)\) y se saca factor común: \((n+1)(n+2)\left(\frac n3+1\right)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3}\), que es la fórmula para \(n+1\).
   2. Base: \(0\). Paso: \((n+1)^3-(n+1)=(n^3-n)+3n(n+1)\), y \(n(n+1)\) es par, luego \(3n(n+1)\) es múltiplo de 6. Para \(n=1\): \(1-1=0\), múltiplo de 6. El desarrollo es \(n^3+3n^2+3n+1-n-1=(n^3-n)+3n^2+3n\). El primer sumando es múltiplo de 6 por hipótesis, y la suma de dos múltiplos de 6 también lo es.

5. Solución del ejercicio 5 (2 puntos)

   Criterios. Se valora la estructura de la reducción al absurdo y la justificación de la divisibilidad.

   1. Si \(\sqrt3=\frac pq\) irreducible, \(p^2=3q^2\), luego \(3\mid p\), \(p=3r\), \(9r^2=3q^2\), \(q^2=3r^2\) y \(3\mid q\): contradicción. Suponemos lo contrario: \(\sqrt3=\frac pq\) con \(p,q\) enteros, \(q\neq0\), y la fracción irreducible. Elevando al cuadrado, \(p^2=3q^2\), así que \(3\mid p^2\) y, por el enunciado, \(3\mid p\). Entonces 3 divide a \(p\) y a \(q\), lo que contradice la irreducibilidad. Por tanto, \(\sqrt3\) es irracional.

Total : 20 puntos