Matrices y sistemas lineales – matemáticas 1º Grado (Universidad): examen para descargar en PDF

Sea \(A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\).

1. (1 pt) Calcula \(\det A\) y \(A^{-1}\).
2. (1 pt) Comprueba que \(AA^{-1}=I\).
3. (2 pt) Resuelve la ecuación \(AX=B\) con \(B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}\).

Considera \(\begin{cases}x+y+z=3\\x+2y+3z=6\\x+3y+kz=m\end{cases}\).

1. (2 pt) Calcula el determinante de la matriz de coeficientes.
2. (2 pt) Discute el sistema según \(k\) y \(m\).
3. (1 pt) Resuélvelo para \(k=5\), \(m=9\).

Sea \(A\) una matriz \(3\times3\) con \(\det A=-2\).

1. (1 pt) Calcula \(\det(3A)\) y \(\det(A^{-1})\).
2. (1 pt) Calcula \(\det(A^TA)\).
3. (1 pt) Si \(B\) se obtiene de \(A\) intercambiando dos filas y sumando a otra el doble de una, calcula \(\det B\).

Una tienda de Pamplona vendió en un mes 30 bicicletas de tres tipos: de paseo (200 €), de montaña (400 €) y eléctricas (700 €), con una facturación de 11 400 €. Se vendieron el doble de bicicletas de paseo que de eléctricas.

1. (2 pt) Plantea el sistema.
2. (2 pt) Resuélvelo.
3. (1 pt) ¿Qué porcentaje de la facturación corresponde a las eléctricas?

Sea \(N=\begin{pmatrix}0&1&2\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}\).

1. (1 pt) Calcula \(N^2\) y \(N^3\).
2. (2 pt) Comprueba que \((I+N)^{-1}=I-N+N^2\).