Estos apuntes de cuerpos geométricos de 5º Primaria están pensados para alumnos de 10-11 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Prismas, pirámides y cuerpos redondos; desarrollos. Antes de empezar, conviene repasar áreas y perímetros de polígonos y circunferencia y círculo, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de cuerpos geométricos 5º Primaria: lo que vas a aprender
Una caja de zapatos, una pelota o un cucurucho son cuerpos geométricos: ocupan espacio y tienen largo, ancho y alto.
Actividad de introducción: la caja misteriosa
Lucía recibe una caja envuelta y, sin abrirla, quiere adivinar qué hay dentro por su forma. Es cúbica, tiene 6 caras iguales, 12 aristas y 8 vértices. Su hermano guarda otra caja con una forma distinta: tiene dos bases triangulares y tres caras rectangulares. Los cuerpos geométricos están a nuestro alrededor: en los dados, las latas, las pirámides y las pelotas. En este capítulo aprenderás a reconocerlos, a nombrar sus elementos, a dibujar sus desarrollos y a calcular su área.
Poliedros y cuerpos redondos
Definición: poliedro
Un poliedro es un cuerpo geométrico con todas sus caras planas. Tiene caras (polígonos), aristas (donde se unen dos caras) y vértices (donde se juntan varias aristas).
Definición: cuerpo redondo
Un cuerpo redondo tiene alguna superficie curva: cilindro, cono y esfera.
Ejemplo 1
¿Cuántas caras, aristas y vértices tiene un cubo?
Tiene 6 caras (cuadrados), 12 aristas y 8 vértices.
Prismas
Definición: prisma
Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, y las caras laterales son paralelogramos. Se nombra por la base: triangular, cuadrangular, pentagonal…
Propiedad: elementos del prisma
Si la base tiene n lados, el prisma tiene n + 2 caras, 3 × n aristas y 2 × n vértices.
Ejemplo 2
Un prisma pentagonal, ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene?
n = 5. Caras: 5 + 2 = 7. Aristas: 3 × 5 = 15. Vértices: 2 × 5 = 10.
Pirámides
Definición: pirámide
Una pirámide tiene una base y caras laterales triangulares que se juntan en un vértice llamado cúspide.
Propiedad: elementos de la pirámide
Si la base tiene n lados, la pirámide tiene n + 1 caras, 2 × n aristas y n + 1 vértices.
Ejemplo 3
Una pirámide hexagonal, ¿cuántas caras, aristas y vértices tiene?
n = 6. Caras: 7. Aristas: 2 × 6 = 12. Vértices: 7.
Cuerpos redondos
Regla: cuerpos redondos
El cilindro tiene dos bases circulares y una superficie curva. El cono tiene una base circular y un vértice. La esfera es toda curva.
Desarrollos y relación de Euler
Definición: desarrollo
El desarrollo de un cuerpo es el cuerpo abierto y extendido sobre el plano. El del cilindro son dos círculos y un rectángulo.
Teorema: Euler
En todo poliedro convexo: caras + vértices = aristas + 2.
Ejemplo 4
Comprueba la relación de Euler con el cubo.
6 + 8 = 14 y 12 + 2 = 14. Se cumple.
¡Atención!
El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros porque tienen superficies curvas. Y una pirámide solo tiene una base.
Área total a partir del desarrollo
Método: calcular el área total de un poliedro
- Dibuja o imagina el desarrollo del cuerpo.
- Identifica las figuras planas que lo forman (cuadrados, rectángulos, triángulos…).
- Calcula el área de cada tipo de figura y multiplica por cuántas hay.
- Suma todas las áreas. El resultado se expresa en unidades cuadradas.
Ejemplo 5
Calcula el área total de un prisma rectangular de 5 cm por 3 cm por 2 cm.
Hay tres parejas de caras iguales: 5 · 3 = 15 cm² (dos veces), 5 · 2 = 10 cm² (dos veces) y 3 · 2 = 6 cm² (dos veces). Área total: 2 · (15 + 10 + 6) = 62 cm².
Ejemplo 6
Calcula el área total de una pirámide de base cuadrada de 4 cm de lado y caras triangulares de 4 cm de base y 6 cm de altura.
Base: 4 · 4 = 16 cm². Cada triángulo: 4 · 6 : 2 = 12 cm²; cuatro triángulos: 48 cm². Total: 16 + 48 = 64 cm².
La relación de Euler y los cuerpos en la vida diaria
Regla: relación de Euler
En todo poliedro convexo el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2: C + V = A + 2. Sirve para comprobar si hemos contado bien los elementos de un poliedro o para hallar uno que falte.
Ejemplo 7
Un poliedro tiene 6 caras y 8 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?
C + V = A + 2: 6 + 8 = A + 2, luego A = 14 − 2 = 12 aristas (podría ser un cubo).
Propiedad: prismas y pirámides
Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas y tantas caras laterales como lados tiene la base. Una pirámide tiene una sola base y tantas caras laterales triangulares como lados tiene la base. Los cuerpos redondos son el cilindro (dos bases circulares), el cono (una base circular y un vértice) y la esfera.
Ejemplo 8
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene un prisma de base heptagonal (7 lados)?
Caras: 7 + 2 = 9. Vértices: 2 · 7 = 14. Aristas: 3 · 7 = 21. Euler: 9 + 14 = 23 = 21 + 2.
¡Atención!
Errores frecuentes:
- Contar solo las caras laterales y olvidar las bases al calcular el área total o el número de caras.
- Confundir el prisma con la pirámide: el prisma tiene dos bases y la pirámide una sola.
- Decir que el cilindro o el cono son poliedros: tienen superficies curvas.
- Calcular el área con las aristas en lugar de con las caras.
¿Sabías que…?
Solo existen cinco poliedros regulares, llamados sólidos platónicos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Los antiguos griegos, y en particular Platón, ya los estudiaron. Todos cumplen la relación que descubrió siglos después el matemático suizo Leonhard Euler.
El consejo de Otto
Cuenta las caras y los vértices, suma y comprueba que es igual a las aristas más 2. ¡Así sabes si te has dejado alguno!
Cómo usar los apuntes de cuerpos geométricos de 5º Primaria
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de cuerpos geométricos y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de cuerpos geométricos y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de cuerpos geométricos de 5º Primaria reúnen todo lo necesario para el tema.
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