Estos apuntes de proporcionalidad de 5º Primaria están pensados para alumnos de 10-11 años y siguen el currículo oficial. En resumen, trabajan lo siguiente: Igualdad entre razones, reducción a la unidad y coeficiente de proporcionalidad. Antes de empezar, conviene repasar números decimales y sus operaciones y porcentajes, porque estos apuntes se apoyan en ese tema.
Apuntes de proporcionalidad 5º Primaria: lo que vas a aprender
Si 1 kilo de manzanas cuesta 2 euros, 2 kilos cuestan 4. Esa relación constante es la proporcionalidad.
Actividad de introducción: la receta de los crepes
Una receta de crepes para 4 personas lleva 2 huevos y 200 g de harina. Hoy vienen 8 personas. ¿Cuántos huevos y cuánta harina hacen falta? Si el número de personas se dobla, los ingredientes también se doblan: 4 huevos y 400 g de harina. Cuando dos cantidades varían de modo que al multiplicar una por un número la otra queda multiplicada por el mismo número, decimos que son directamente proporcionales. En este capítulo aprenderás a reconocer estas situaciones y a resolverlas con razones, proporciones y la reducción a la unidad.
Razón y proporción
Definición: razón
Una razón compara dos cantidades dividiendo la primera entre la segunda. La razón entre 6 y 3 es 6 : 3 = 2.
Definición: proporción
Una proporción es la igualdad de dos razones: \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{6}\).
Propiedad: productos cruzados
En una proporción, los productos cruzados son iguales: 2 × 6 = 3 × 4.
Ejemplo 1
¿Forman proporción \(\frac{3}{5}\) y \(\frac{9}{15}\)?
3 × 15 = 45 y 5 × 9 = 45. Son iguales: sí forman proporción.
Magnitudes directamente proporcionales
Definición: magnitudes proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar una por un número, la otra también se multiplica por ese número. Su cociente es siempre el mismo: la constante de proporcionalidad.
| Kilos de manzanas | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Precio (euros) | 2 | 4 | 6 | 10 |
Ejemplo 2
En la tabla, ¿cuál es la constante?
4 : 2 = 6 : 3 = 10 : 5 = 2 euros por kilo.
Reducción a la unidad
Método: reducción a la unidad
- Calcula el valor de una unidad dividiendo.
- Multiplica por la cantidad que te piden.
Ejemplo 3
4 cuadernos cuestan 12 euros. ¿Cuánto cuestan 7?
1 cuaderno: 12 : 4 = 3 euros. 7 cuadernos: 7 × 3 = 21 euros.
Ejemplo 4
Un coche gasta 6 litros cada 100 km. ¿Cuántos litros gasta en 250 km?
En 50 km, gasta 3 litros. En 250 km: 6 × 2 + 3 = 15 litros.
No todo es proporcional
¡Atención!
No toda relación entre magnitudes es proporcional. Si un niño de 10 años mide 140 cm, a los 20 años no mide 280 cm.
Observación
Si al duplicar una magnitud la otra no se duplica, no hay proporcionalidad directa.
Más ejemplos
Ejemplo 5
Si 3 bocadillos cuestan 9 euros, ¿cuántos bocadillos compro con 21 euros?
Un bocadillo cuesta 9 : 3 = 3 euros. 21 : 3 = 7 bocadillos.
Ejemplo 6
¿Es proporcional la relación entre el número de hermanos y la edad de una persona?
No. Las dos magnitudes no cambian de forma regular.
El producto cruzado y las tablas
Regla: productos cruzados
Dos razones forman una proporción cuando sus productos cruzados son iguales: si \(\dfrac{2}{3}\) = \(\dfrac{8}{12}\), entonces 2 · 12 = 3 · 8 = 24. Para hallar un término desconocido se multiplican los dos términos conocidos que se cruzan y se divide entre el tercero.
Ejemplo 7
Halla x para que \(\dfrac{3}{5}\) = \(\dfrac{x}{30}\).
Productos cruzados: 5 · x = 3 · 30 = 90. Entonces x = 90 : 5 = 18. Comprobación: \(\dfrac{3}{5}\) = \(\dfrac{18}{30}\).
Método: resolver un problema de proporcionalidad directa
- Comprueba que las dos magnitudes son proporcionales: si una se dobla, la otra también.
- Escribe los datos en una tabla de dos filas.
- Reduce a la unidad: calcula cuánto corresponde a 1 (dividiendo).
- Multiplica por la cantidad pedida.
- Comprueba que el resultado es razonable.
Ejemplo 8
Un grifo llena 9 litros en 3 minutos. ¿Cuántos litros llena en 10 minutos?
Reducción a la unidad: 9 : 3 = 3 litros por minuto. En 10 minutos: 10 · 3 = 30 litros.
Magnitudes que no son proporcionales
Propiedad: cuándo hay proporcionalidad
Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente entre sus valores es siempre el mismo (la constante de proporcionalidad). Si el cociente cambia, no son proporcionales: la edad y la altura de una persona, el número de hermanos y la nota de un examen o el lado de un cuadrado y su área no lo son.
Ejemplo 9
En una tienda, 3 cuadernos cuestan 4,50 € y 5 cuadernos cuestan 7,50 €. ¿Son proporcionales?
4,50 : 3 = 1,50 y 7,50 : 5 = 1,50. El cociente es el mismo, luego sí son proporcionales y la constante es 1,50 euros por cuaderno.
Ejemplo 10
Una piscina tarda 6 horas en llenarse con un grifo. ¿Tardará 12 horas con dos grifos? ¿Es proporcional?
No: con más grifos tarda menos tiempo, no más. Aquí, al aumentar los grifos disminuye el tiempo, así que esta relación no es de proporcionalidad directa.
¡Atención!
Errores frecuentes:
- Pensar que toda relación en la que aumentan las dos magnitudes es proporcional: una persona de 10 años no mide el doble que una de 5.
- Olvidar comprobar que el cociente es constante antes de aplicar la reducción a la unidad.
- Invertir la razón: «niñas a niños» no es lo mismo que «niños a niñas».
- Mezclar unidades distintas al escribir una razón (minutos con horas).
¿Sabías que…?
Los mapas usan la proporcionalidad: en un mapa a escala 1 : 50.000, 1 cm del mapa representa 50.000 cm reales, es decir, 500 m. Por eso un camino de 4 cm en el mapa mide 2 km en la realidad. Los arquitectos y los ingenieros también dibujan planos a escala antes de construir edificios y puentes.
El consejo de Otto
Haz una tabla y mira si el cociente siempre es el mismo. Si lo es, ¡es proporcional y puedes usar la reducción a la unidad!
Cómo usar los apuntes de proporcionalidad de 5º Primaria
Primero, lee lo esencial para saber de qué trata el tema. Después, trabaja cada definición y cada ejemplo, y tapa la solución antes de leerla. A continuación, practica con los ejercicios de proporcionalidad y comprueba cada uno con las soluciones. Cuando te sientas preparado, ponte a prueba con el test o el quiz. Finalmente, haz el examen de proporcionalidad y corrígelo con las soluciones del examen.
Además, el cálculo mental sirve como calentamiento, así que repasas lo esencial cada día. Además, todas las páginas de este tema están conectadas, así que puedes pasar de una a otra cuando quieras. Por ejemplo, muchos alumnos leen los apuntes el lunes, practican el miércoles y se ponen a prueba el viernes. En definitiva, estos apuntes de proporcionalidad de 5º Primaria reúnen todo lo necesario para el tema.
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