Congruencia, semejanza y Pitágoras – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(x=\dfrac{9\cdot8}{6}=12\). Multiplicamos en cruz: \(6x=72\). Comprobación: \(\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{9}\). Respuesta: \(x=12\).
   2. \(\dfrac{1{,}5}{2}=\dfrac{h}{12}\), \(h=\dfrac{1{,}5\cdot12}{2}=9\) m. Los rayos del sol son paralelos, así que el poste y su sombra forman un triángulo semejante al del árbol y su sombra. Respuesta: el árbol mide 9 m.

   Criterios de corrección: cada apartado vale 2 puntos. En a) 1 punto por la proporción y 1 por \(x=12\). En b) 1 punto por justificar la semejanza con los rayos paralelos y 1 punto por la altura de 9 m; se comprueba que \(\dfrac{1{,}5}{2}=\dfrac{9}{12}=0{,}75\).

2. Solución del ejercicio 2 (3 puntos)

   1. \(4\cdot1{,}5=6\); \(6\cdot1{,}5=9\); \(8\cdot1{,}5=12\) cm. Multiplicamos cada lado por la razón de semejanza.
   2. Primero: \(18\) cm. Segundo: \(27\) cm (\(18\cdot1{,}5=27\)). El perímetro del segundo es el del primero multiplicado por 1,5.
   3. \(k^2=1{,}5^2=2{,}25\). Respuesta: el área del segundo triángulo es 2,25 veces la del primero.

   Criterios de corrección: los lados 6, 9 y 12 cm valen 1,5 puntos (0,5 cada uno). Los perímetros de 18 y 27 cm valen 0,75 puntos. La razón de áreas 2,25 vale 0,75 puntos; si se responde 1,5 se considera error grave, porque las áreas van con \(k^2\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. \(\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\). Sumamos los cuadrados de los catetos. Respuesta: la hipotenusa mide 15.
   2. \(\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15\). Restamos al cuadrado de la hipotenusa el del cateto conocido. Respuesta: el otro cateto mide 15.
   3. \(7^2+24^2=625=25^2\): sí. \(6^2+7^2=85\neq81=9^2\): no. Aplicamos el recíproco del teorema de Pitágoras con el lado mayor. Respuesta: el primero es rectángulo y el segundo no.

   Criterios de corrección: a) 1 punto; b) 1,5 puntos (1 por restar cuadrados \(289-64\)); c) 1,5 puntos, 0,75 por cada triángulo, citando el lado mayor.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(8\cdot25\,000=200\,000\) cm \(=2\) km. Multiplicamos por la escala y dividimos entre 100 000 para pasar a kilómetros.
   2. \(6\) km \(=600\,000\) cm; \(\dfrac{600\,000}{25\,000}=24\) cm. Pasamos los kilómetros a centímetros y dividimos entre la escala.
   3. Dimensiones reales: 6 m y 4,5 m. Área \(=27\) m\(^2\). Con escala \(1:100\), cada centímetro del plano es un metro real.

   Criterios de corrección: un punto por cada escala: mapa, distancia en el mapa y plano del salón. En a) se exige pasar 200 000 cm a 2 km; en b) pasar 6 km a 600 000 cm antes de dividir; en c) multiplicar 6 m por 4,5 m.

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(h=\sqrt{6{,}5^2-2{,}5^2}=\sqrt{42{,}25-6{,}25}=\sqrt{36}=6\) m. La escalera es la hipotenusa. Respuesta: llega a 6 m de altura.
   2. \(d=\sqrt{6{,}5^2-5^2}=\sqrt{17{,}25}\approx4{,}15\) m. Ahora conocemos la hipotenusa y el cateto vertical. Respuesta: el pie queda a unos 4,15 m.
   3. \(\dfrac{1{,}5}{2{,}5}=\dfrac{H}{40}\), \(H=\dfrac{1{,}5\cdot40}{2{,}5}=24\) m. Usamos la semejanza de los triángulos de las sombras. Respuesta: el edificio mide 24 m.
   4. \(\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26\) m. La diagonal es la hipotenusa del triángulo de catetos 24 m y 10 m. Respuesta: 26 m.

Total : 20 puntos