Geometría en el espacio – matemáticas 3º ESO: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(V=6\cdot4\cdot5=120\) cm\(^3\). Multiplicamos las tres dimensiones. Respuesta: 120 cm\(^3\).
   2. \(A=2(6\cdot4+6\cdot5+4\cdot5)=2(24+30+20)=148\) cm\(^2\). Sumamos las áreas de las tres caras distintas y multiplicamos por 2, porque cada cara aparece dos veces. Respuesta: 148 cm\(^2\).
   3. \(D=\sqrt{36+16+25}=\sqrt{77}\approx8{,}77\) cm. Aplicamos \(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\), que es el teorema de Pitágoras en el espacio. Respuesta: unos 8,77 cm.

   Criterios de corrección: el volumen vale 1 punto con unidades cúbicas. El área vale 1,5 puntos: 0,5 por cada pareja de caras de 24, 30 y 20 cm\(^2\). La diagonal vale 1,5 puntos si se escribe \(\sqrt{77}\) y se aproxima a 8,77 cm.

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(V=\pi\cdot16\cdot9=144\pi\approx452{,}39\) cm\(^3\). Área de la base, \(\pi\cdot4^2=16\pi\) cm\(^2\), por la altura de 9 cm. Respuesta: unos 452,39 cm\(^3\).
   2. \(A_T=2\pi\cdot4\cdot(4+9)=104\pi\approx326{,}73\) cm\(^2\). Sumamos el área lateral, \(2\pi\cdot4\cdot9=72\pi\), y las dos bases, \(2\cdot16\pi=32\pi\). Respuesta: \(104\pi\approx326{,}73\) cm\(^2\).

   Criterios de corrección: el volumen vale 2 puntos (1 por el área de la base \(16\pi\) y 1 por multiplicar por 9 cm). El área total vale 2 puntos: 1 por el área lateral \(72\pi\) y 1 por las dos bases \(32\pi\); comprobación: \(72\pi+32\pi=104\pi\). Se acepta dar el resultado exacto con \(\pi\) o aproximado.

3. Solución del ejercicio 3 (3 puntos)

   1. \(g=\sqrt{36+64}=10\) cm. El radio, la altura y la generatriz forman un triángulo rectángulo. Respuesta: la generatriz mide 10 cm.
   2. \(V=\dfrac{1}{3}\pi\cdot36\cdot8=96\pi\approx301{,}59\) cm\(^3\). Un tercio del área de la base, \(36\pi\), por la altura, 8 cm. Respuesta: unos 301,59 cm\(^3\).
   3. \(A_L=\pi\cdot6\cdot10=60\pi\approx188{,}50\) cm\(^2\). En el área lateral se usa la generatriz. Respuesta: unos 188,50 cm\(^2\).

   Criterios de corrección: la generatriz vale 1 punto, con la terna 6, 8, 10. El volumen vale 1 punto y exige el factor \(\dfrac{1}{3}\). El área lateral vale 1 punto si usa la generatriz 10 y no la altura 8.

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. \(V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot125=\dfrac{500\pi}{3}\approx523{,}60\) cm\(^3\). Calculamos \(5^3=125\) y multiplicamos por \(\dfrac{4}{3}\pi\). Respuesta: unos 523,60 cm\(^3\).
   2. \(A=4\pi\cdot25=100\pi\approx314{,}16\) cm\(^2\). Calculamos \(5^2=25\) y multiplicamos por \(4\pi\). Respuesta: unos 314,16 cm\(^2\).

   Criterios de corrección: cada apartado vale 1,5 puntos. En el volumen se dan 0,5 puntos por \(5^3=125\), 0,5 por el factor \(\dfrac{4}{3}\pi\) y 0,5 por el resultado \(\dfrac{500\pi}{3}\) cm\(^3\). En la superficie, 0,5 por \(5^2=25\), 0,5 por multiplicar por \(4\pi\) y 0,5 por las unidades cuadradas. Comprobación: la superficie de una esfera es igual al área lateral del cilindro que la envuelve, \(2\pi\cdot5\cdot10=100\pi\).

5. Solución del ejercicio 5 (6 puntos)

   1. \(V=\pi\cdot2{,}25\cdot4=9\pi\approx28{,}27\) m\(^3\). Con \(r^2=2{,}25\) y \(h=4\).
   2. \(V=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\pi\cdot3{,}375=2{,}25\pi\approx7{,}07\) m\(^3\). Con \(r^3=3{,}375\) y la mitad de la esfera.
   3. Total: \(11{,}25\pi\approx35{,}34\) m\(^3\approx35\,343\) L. Sumamos los dos volúmenes y pasamos a litros.
   4. Lateral: \(2\pi\cdot1{,}5\cdot4=12\pi\). Semiesfera: \(2\pi\cdot2{,}25=4{,}5\pi\). Total \(16{,}5\pi\approx51{,}84\) m\(^2\). La base del cilindro no se pinta.
   5. \(\dfrac{51{,}84}{8}\approx6{,}48\): hay que comprar 7 litros. Redondeamos siempre hacia arriba, porque 6 litros no bastan.

   Criterios de corrección: la capacidad en litros se obtiene multiplicando 35,34 m\(^3\) por 1 000; en el último apartado se pierde la puntuación si se compran 6 litros.

Total : 20 puntos