Geometría en el espacio – matemáticas 3º ESO: apuntes y teoría para descargar en PDF

Actividad de introducción: ¿cuánta agua cabe?

En un instituto de Tenerife se quiere llenar una piscina pequeña de 4 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua hacen falta? Se calcula el volumen del prisma: \(4\cdot2\cdot1=8\) m\(^3\), que son 8 000 litros. Pero también hay que saber cuántos azulejos cubren las paredes, es decir, el área, y si en la piscina cabe un flotador esférico, es decir, comparar volúmenes. Los cuerpos geométricos aparecen en edificios, envases, depósitos, balones y juguetes. En este tema aprenderás a reconocer prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas, a dibujar sus desarrollos planos y a calcular sus áreas y volúmenes con las fórmulas adecuadas y las unidades correctas.

Observación

Con radio \(r\) y altura \(h\): \(A_L=2\pi rh\), \(A_T=2\pi r(r+h)\) y \(V=\pi r^2h\). El desarrollo del cilindro es un rectángulo de base \(2\pi r\) y altura \(h\) más dos círculos.

Observación

Con radio \(r\), altura \(h\) y generatriz \(g=\sqrt{r^2+h^2}\): \(A_L=\pi rg\), \(A_T=\pi r(r+g)\) y \(V=\frac{\pi r^2h}{3}\). Cono de \(r=3\), \(h=4\): \(g=5\), \(A_L=15\pi\approx47{,}12\), \(A_T=24\pi\approx75{,}40\), \(V=12\pi\approx37{,}70\).

Observación

Identifica el cuerpo y qué te piden (área o volumen) y dibuja un esquema con los datos. Si te falta una longitud, como la apotema de una pirámide o la generatriz de un cono, búscala con el teorema de Pitágoras. Decide si debes dar el resultado exacto con \(\pi\) o aproximado con dos decimales, y expresa siempre las unidades. Para problemas de capacidad, convierte los volúmenes a litros. Si un cuerpo se ve afectado por una razón de semejanza \(k\), las áreas cambian por \(k^2\) y los volúmenes por \(k^3\).

¿Sabías que?

Arquímedes, matemático griego del siglo III antes de Cristo, descubrió que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la rodea. Estaba tan orgulloso de ese resultado que pidió que lo grabaran en su tumba. Hoy esas fórmulas permiten calcular desde la capacidad de una lata hasta el tamaño de los planetas.