Movimientos en el plano – matemáticas 2º ESO: ejercicios para descargar en PDF

Un triángulo tiene vértices \(A(2,3)\), \(B(-1,4)\) y \(C(0,-2)\). Se traslada con el vector \(\vec{v}=(3,-2)\).

1. Calcula las coordenadas de \(A'\), \(B'\) y \(C'\).
2. Escribe el vector que devuelve el triángulo a su posición inicial.
3. Calcula la longitud del vector \(\vec{v}\).
4. ¿Cambian el perímetro y el área del triángulo con la traslación? Razona.

Una traslación lleva el punto \(A(1,2)\) al punto \(A'(6,-1)\).

1. Calcula el vector de la traslación.
2. ¿A qué punto lleva \(B(-2,4)\)?
3. ¿Qué punto se traslada al \((0,0)\)?
4. Calcula la distancia entre \(A\) y \(A'\).

Las coordenadas de un punto simétrico respecto al eje \(X\) son \((x,-y)\) y respecto al eje \(Y\) son \((-x,y)\).

1. Calcula los simétricos de \(P(3,4)\) respecto a cada eje.
2. Calcula los simétricos de \(Q(-2,-5)\) respecto a cada eje.
3. Calcula el simétrico de \(R(4,1)\) respecto de la recta \(x=1\).
4. ¿Qué punto es su propio simétrico respecto al eje \(X\)?

La simetría central de centro \(M\) lleva el punto \(P\) al punto \(P'\) tal que \(M\) es el punto medio de \(PP'\). Respecto al origen, \((x,y)\to(-x,-y)\).

1. Simétrico de \(A(2,5)\) respecto al origen.
2. Simétrico de \(B(-3,1)\) respecto al origen.
3. Simétrico de \(P(4,3)\) respecto al punto \(M(1,1)\).
4. Comprueba que \(M\) es el punto medio de \(PP'\).

Un giro de \(90^\circ\) en sentido contrario a las agujas del reloj con centro el origen transforma \((x,y)\) en \((-y,x)\). Uno de \(180^\circ\) transforma \((x,y)\) en \((-x,-y)\).

1. Gira \(90^\circ\) el punto \(A(2,1)\).
2. Gira \(90^\circ\) el punto \(B(-3,2)\).
3. Gira \(180^\circ\) el punto \(A(2,1)\).
4. Gira \(90^\circ\) en sentido horario \((x,y)\to(y,-x)\) el punto \(C(4,-1)\).

Cuenta los ejes de simetría de cada figura y razona.

1. Triángulo equilátero.
2. Cuadrado.
3. Rectángulo no cuadrado.
4. Rombo no cuadrado.
5. Pentágono regular.
6. Circunferencia.

Una figura tiene simetría central si coincide consigo misma tras un giro de \(180^\circ\) alrededor de un punto. El orden de giro es el número de veces que coincide consigo misma en una vuelta completa.

1. ¿Tiene simetría central un paralelogramo? ¿Y un trapecio isósceles?
2. ¿Tiene simetría central un hexágono regular? ¿Y un triángulo equilátero?
3. Calcula el ángulo mínimo de giro de un cuadrado y de un hexágono regular.
4. ¿Cuál es el orden de giro de un octógono regular y cuál es su ángulo mínimo?

Indica si el paso de la figura F a la figura F\('\) es una traslación, un giro o una simetría axial, y justifica.

1. F\('\) es F desplazada 5 cuadros a la derecha, con la misma orientación.
2. F\('\) es F vista en un espejo vertical: la izquierda de F es la derecha de F\('\).
3. F\('\) es F girada como las agujas del reloj alrededor de un vértice, un cuarto de vuelta.
4. F\('\) es F con la parte de arriba hacia abajo y la derecha hacia la izquierda, respecto a un punto central.

El triángulo \(ABC\) tiene vértices \(A(1,1)\), \(B(4,1)\) y \(C(1,3)\). Se traslada con \(\vec{v}=(-2,3)\).

1. Calcula los vértices del triángulo trasladado.
2. Calcula la longitud de \(AB\) y de \(A'B'\).
3. Calcula el área de \(ABC\) y la de \(A'B'C'\).
4. Calcula la hipotenusa \(BC\) y verifica que \(B'C'\) mide lo mismo.

Se aplican dos movimientos seguidos al punto \(P(3,1)\): una simetría respecto al eje \(Y\) y una traslación de vector \((2,0)\).

1. Calcula la imagen final aplicando primero la simetría y luego la traslación.
2. Calcula la imagen final aplicando primero la traslación y luego la simetría.
3. ¿Importa el orden?
4. Calcula la imagen de \(P\) tras dos simetrías consecutivas respecto al mismo eje \(Y\).

En los mosaicos de la Alhambra de Granada se cubre el plano con figuras que encajan sin dejar huecos. Para que un polígono regular teselle el plano, la suma de los ángulos que se juntan en cada vértice debe ser \(360^\circ\).

1. El triángulo equilátero tiene ángulos de \(60^\circ\). ¿Cuántos se juntan en cada vértice?
2. ¿Y con cuadrados (\(90^\circ\)) y con hexágonos regulares (\(120^\circ\))?
3. El pentágono regular tiene ángulos de \(108^\circ\). ¿Puede teselar el plano él solo? Razónalo.
4. Un octógono regular tiene ángulos de \(135^\circ\). Comprueba que dos octógonos y un cuadrado encajan en un vértice.

Un rosetón de una catedral gótica de Burgos tiene 8 pétalos iguales distribuidos alrededor de un centro.

1. ¿Cuántos grados hay entre dos pétalos consecutivos?
2. ¿Qué ángulos de giro dejan el rosetón igual?
3. ¿Tiene simetría central? ¿Cuántos ejes de simetría tiene si los pétalos son simétricos?
4. Si se gira \(135^\circ\), ¿cuántos pétalos avanza cada uno?

Una niña está a 2 m de un espejo plano vertical en la tienda de ropa. Una imagen en un espejo es la simétrica del objeto respecto al plano del espejo.

1. ¿A qué distancia del espejo está su imagen y detrás de él?
2. ¿Qué distancia hay entre la niña y su imagen?
3. Si se acerca 0,5 m al espejo, ¿cuál es la nueva distancia entre ella y su imagen?
4. En un plano con el espejo en \(x=5\) y la niña en \((3,2)\), ¿cuál es la posición de la imagen?

En el plano de una ciudad (en cuadrículas de 100 m) el metro está en \(M(2,3)\) y la biblioteca en \(B(5,1)\). El ayuntamiento publica una versión del plano desplazada con el vector \(\vec{v}=(-2,4)\).

1. Calcula las posiciones de metro y biblioteca en el nuevo plano.
2. Calcula la distancia real entre ambos lugares en el plano original, en cuadrículas y en metros.
3. Calcula la distancia entre ellos en el plano nuevo y compara.
4. ¿Qué propiedad de la traslación explica el resultado?

En el plano de un parque de Vitoria, con la fuente en el origen, hay dos bancos en \(A(-4,1)\) y \(B(-2,3)\). Se quieren colocar otros dos bancos simétricos respecto al camino vertical que pasa por la fuente (el eje \(Y\)).

1. Calcula las posiciones \(A'\) y \(B'\) de los nuevos bancos.
2. Calcula la distancia entre \(A\) y \(B\) y entre \(A'\) y \(B'\).
3. ¿Qué figura forman los cuatro bancos? Razona.
4. Calcula su perímetro y su área.

Se va a embaldosar el suelo de una terraza rectangular de 5 m por 3 m con baldosas cuadradas de 50 cm de lado, colocadas sin huecos formando una teselación por traslaciones. Cada baldosa cuesta 3,20 €.

1. ¿Cuántas baldosas caben a lo largo y cuántas a lo ancho?
2. ¿Cuántas baldosas se necesitan en total?
3. Calcula el coste de las baldosas.
4. Con baldosas triangulares equiláteras de lado 50 cm, ¿cuántas se juntarían en cada vértice interior? ¿Y con hexagonales?
5. ¿Qué movimiento permite pasar de una baldosa a la siguiente de la misma fila?

Una noria de una feria en Valencia tiene 12 cabinas igualmente espaciadas. La cabina 1 está en la posición más baja.

1. ¿Cuántos grados hay entre dos cabinas consecutivas?
2. Si la noria gira \(150^\circ\), ¿cuántas posiciones avanza cada cabina?
3. ¿Qué giro hay que dar para que la cabina 1 quede en la posición opuesta (arriba)?
4. ¿Cuántos giros de \(90^\circ\) seguidos devuelven la noria a su posición inicial?

Un triángulo tiene vértices \(A(1,0)\), \(B(3,0)\) y \(C(1,2)\). Se gira \(90^\circ\) en sentido antihorario alrededor del origen.

1. Calcula las imágenes \(A'\), \(B'\) y \(C'\).
2. Comprueba que \(AB\) y \(A'B'\) miden lo mismo.
3. Calcula el área antes y después del giro.
4. Calcula la imagen de \(C\) tras un giro de \(180^\circ\).

El cuadrilátero \(ABCD\) tiene vértices \(A(0,0)\), \(B(4,1)\), \(C(5,4)\) y \(D(1,3)\).

1. Calcula el punto medio \(M\) de la diagonal \(AC\) y el de la diagonal \(BD\).
2. ¿Qué indica que coincidan? ¿Qué tipo de cuadrilátero es?
3. ¿En qué punto se transforma \(A\) mediante la simetría central de centro \(M\)? ¿Y \(B\)?
4. Calcula el área, sabiendo que es el doble del área del triángulo \(ABD\) (\(A(0,0)\), \(B(4,1)\), \(D(1,3)\)).

Se aplican consecutivamente dos simetrías axiales respecto a dos rectas verticales paralelas, \(x=1\) y \(x=4\), al punto \(P(0,2)\).

1. Calcula el simétrico \(P_1\) de \(P\) respecto a \(x=1\).
2. Calcula el simétrico \(P_2\) de \(P_1\) respecto a \(x=4\).
3. ¿Qué movimiento equivale a esta composición? ¿Cuál es su vector?
4. Si las rectas se cortaran en un punto con un ángulo de \(30^\circ\), ¿qué movimiento resultaría y de qué ángulo?