Muestreo e intervalos de confianza – matemáticas 2º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. Como la población es normal, la media muestral también lo es, con la misma media y desviación \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\): \(\bar X\sim N\left(6{,}5;\ \dfrac{1{,}6}{\sqrt{16}}\right)=N(6{,}5;\ 0{,}4)\). (1 punto)
   2. Tipificamos con la desviación de \(\bar X\): \(z=\dfrac{6{,}8-6{,}5}{0{,}4}=0{,}75\). \(P(\bar X>6{,}8)=1-\Phi(0{,}75)=1-0{,}7734=0{,}2266\). (1,5 puntos)
   3. Los extremos están a \(0{,}4\) kg de la media, es decir, \(z=\pm1\): \(P(-1<Z<1)=2\Phi(1)-1=2\cdot0{,}8413-1=0{,}6826\). En el 68 % de las muestras el peso medio estará entre 6,1 y 6,9 kg. (1,5 puntos)

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. Al 95 %, \(z_{\alpha/2}=1{,}96\) y \(\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{12}{\sqrt{144}}=1\). El error máximo es \(E=1{,}96\cdot1=1{,}96\) litros y el intervalo, \((56-1{,}96;\ 56+1{,}96)=(54{,}04;\ 57{,}96)\) litros. (1,5 puntos)
   2. Al 99 %, \(z_{\alpha/2}=2{,}575\) y \(E=2{,}575\cdot1=2{,}575\) litros. El intervalo es \((53{,}425;\ 58{,}575)\) litros. (1,5 puntos)
   3. Para tener más seguridad de capturar la media real hay que ampliar el intervalo: con la misma muestra, el valor crítico pasa de 1,96 a 2,575 y el error crece en la misma proporción. (1 punto)

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. La proporción muestral es el número de respuestas favorables entre el tamaño de la muestra: \(\hat p=\dfrac{390}{600}=0{,}65\), y \(\hat q=0{,}35\). (0,5 puntos)
   2. Al 95 %, \(z_{\alpha/2}=1{,}96\). El error máximo es \(E=1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}65\cdot0{,}35}{600}}=1{,}96\cdot0{,}01947\approx0{,}0382\). El intervalo es \((0{,}65-0{,}0382;\ 0{,}65+0{,}0382)=(0{,}6118;\ 0{,}6882)\), entre el 61,2 % y el 68,8 %. (2,5 puntos)
   3. Sí: todo el intervalo está por encima de 0,60, ya que su extremo inferior es 0,6118. Con un 95 % de confianza, más del 60 % de los vecinos está a favor. (1 punto)

4. Solución del ejercicio 4 (3 puntos)

   1. Despejando \(n\) de \(E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) se obtiene \(n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2\). Al 99 %, \(z_{\alpha/2}=2{,}575\): \(n\ge\left(\dfrac{2{,}575\cdot25}{5}\right)^2=12{,}875^2\approx165{,}77\). Redondeando hacia arriba, hacen falta al menos 166 individuos. Siempre se redondea por exceso: con 165 individuos el error superaría ligeramente 5. (1,5 puntos)
   2. Sin información previa se toma el caso más desfavorable, \(\hat p=\hat q=0{,}5\): \(n\ge\dfrac{1{,}96^2\cdot0{,}25}{0{,}04^2}=\dfrac{0{,}9604}{0{,}0016}=600{,}25\). Hacen falta al menos 601 individuos. Con \(n=600\) el error sería algo mayor que 0,04; por eso se toma 601. (1,5 puntos)

   Observa que exigir más confianza o un error menor obliga a tomar muestras más grandes.

5. Solución del ejercicio 5 (5 puntos)

   1. \(E=1{,}645\cdot\dfrac{30}{\sqrt{100}}=1{,}645\cdot3=4{,}935\) euros. Intervalo: \((140{,}065;\ 149{,}935)\) euros. Se usa \(z_{\alpha/2}=1{,}645\), el valor que deja un 5 % en cada cola de la normal. (2 puntos)
   2. No: 150 queda justo fuera del intervalo, por encima del extremo superior; al 90 % los datos indican un gasto medio menor. (1 punto)
   3. \(n\ge\left(\dfrac{1{,}645\cdot30}{3}\right)^2=16{,}45^2=270{,}6\): al menos 271 familias. (1,5 puntos)
   4. Si se repitiera el estudio con muchas muestras de 100 familias, el 90 % de los intervalos así construidos contendría el gasto medio real. (0,5 puntos)

Total : 20 puntos