Funciones definidas a trozos – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones del examen para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1 (4 puntos)

   1. \(f(-3)=1\); \(f(-1)=3\); \(f(2)=3\); \(f(4)=15\). Cada valor se calcula con el trozo al que pertenece \(x\): \(-3\lt -1\) usa \(x+4\); \(-1\) y \(2\) usan el trozo constante; \(4\gt 2\) usa \(x^2-1\).
   2. Por la izquierda: \(-1+4=3\). Por la derecha: \(3\). Y \(f(-1)=3\). Es continua en \(x=-1\).
   3. Por la izquierda: \(3\). Por la derecha: \(2^2-1=3\). Y \(f(2)=3\). También es continua en \(x=2\).
   4. Primer trozo (\(x\lt -1\)): \(f\lt 3\), recorrido \((-\infty,3)\). Segundo: \(\{3\}\). Tercero (\(x\gt 2\)): \(x^2-1\gt 3\), recorrido \((3,+\infty)\). Al unir los tres trozos, el recorrido de \(f\) es todo \(\mathbb{R}\).

2. Solución del ejercicio 2 (4 puntos)

   1. \(\lim_{x\to3^-}g(x)=9-6+a=3+a\). Para \(x\lt 3\) se usa el primer trozo, que es un polinomio, así que basta sustituir: \(3^2-2\cdot3+a\).
   2. \(\lim_{x\to3^+}g(x)=12-5=7\). Para \(x\gt 3\) se usa el segundo trozo y se sustituye: \(4\cdot3-5\).
   3. Continuidad: \(3+a=7\), luego \(a=4\). Además \(g(3)=3+a\), que con \(a=4\) vale 7, igual que los dos límites laterales. Con cualquier otro valor de \(a\) habría un salto finito en \(x=3\).
   4. \(g(0)=0-0+4=4\) y \(g(5)=20-5=15\). Para \(g(0)\) se usa el primer trozo porque \(0\le3\), y para \(g(5)\) el segundo porque \(5\gt 3\). Respuesta: \(a=4\), \(g(0)=4\) y \(g(5)=15\).

3. Solución del ejercicio 3 (4 puntos)

   1. Si \(2x-4\ge0\) (es decir, \(x\ge2\)): \(h=2x-4\). Si \(x\lt 2\): \(h=-(2x-4)=4-2x\). El punto de cambio es la raíz de \(2x-4\), es decir, \(x=2\).
   2. \(2x-4=6\) implica \(x=5\); \(2x-4=-6\) implica \(x=-1\). Soluciones \(x=5\) y \(x=-1\). Comprobación: \(|10-4|=6\) y \(|-2-4|=6\).
   3. \(|x+1|\le3\) equivale a \(-3\le x+1\le3\), es decir, \(-4\le x\le2\). Solución: \([-4,2]\). Comprobación con un valor interior: \(x=0\) da \(|1|=1\le3\).
   4. El mínimo es 0 y se alcanza en \(x=2\) (el vértice de la «V»). Como un valor absoluto nunca es negativo, \(h(x)\ge0\) y \(h(2)=0\).

4. Solución del ejercicio 4 (4 puntos)

   1. \(F(x)=5+0{,}15x\) si \(0\le x\le100\); \(F(x)=5+15+0{,}12(x-100)=0{,}12x+8\) si \(100\lt x\le300\); \(F(x)=5+15+24+0{,}10(x-300)=0{,}10x+14\) si \(x\gt 300\). Los 100 primeros kWh cuestan \(100\cdot0{,}15=15\) € y los 200 del segundo tramo \(200\cdot0{,}12=24\) €; por eso aparecen esas cantidades acumuladas.
   2. \(F(80)=5+12=17\) €. \(F(250)=0{,}12\cdot250+8=38\) €. \(F(400)=0{,}10\cdot400+14=54\) €. Por ejemplo, para 250 kWh: \(5+15+150\cdot0{,}12=5+15+18=38\) €, que coincide con la fórmula.
   3. En \(x=100\): \(5+15=20\) y \(0{,}12\cdot100+8=20\). En \(x=300\): \(0{,}12\cdot300+8=44\) y \(0{,}10\cdot300+14=44\). Coinciden: es continua. Como cada tramo empieza donde acaba el anterior, la factura no da saltos: consumir un kWh más nunca dispara el importe.

5. Solución del ejercicio 5 (4 puntos)

   1. \(C(m)=10m\) si \(0\le m\le3\) (el primer tramo, \(30\) € a los 3 meses); \(C(m)=30+8(m-3)=8m+6\) si \(3\lt m\le12\); \(C(m)=30+72+5(m-12)=5m+42\) si \(m\gt 12\).
   2. \(C(6)=8\cdot6+6=54\) €. \(C(12)=8\cdot12+6=102\) €. \(C(24)=5\cdot24+42=162\) €.
   3. En \(m=3\): \(10\cdot3=30\) y \(8\cdot3+6=30\). En \(m=12\): \(8\cdot12+6=102\) y \(5\cdot12+42=102\). Es continua en ambos puntos.
   4. Otro gimnasio: \(9m\). Primero: \(8m+6\lt 9m\) implica \(m\gt 6\) para \(m\le12\). Entonces ya desde el mes 7 es más barato el bono (en \(m=6\) cuestan lo mismo, 54 €). Para \(m\gt 12\) también: \(5m+42\lt 9m\) implica \(m\gt 10{,}5\).

Total : 20 puntos