Funciones definidas a trozos – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: ejercicios para descargar en PDF

Sea la función \(f(x)=\begin{cases}x+2 & \text{si } x\lt 0\\ x^2 & \text{si } 0\le x\lt 3\\ 9 & \text{si } x\ge3\end{cases}\)

1. Calcula \(f(-3)\), \(f(0)\), \(f(2)\), \(f(3)\) y \(f(5)\) indicando qué trozo usas en cada caso.
2. Calcula el valor de la función cuando \(x\) se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha.
3. Calcula los valores de \(f\) cuando \(x\) se acerca a 3 por la izquierda y por la derecha.
4. ¿Es continua en \(x=0\) y en \(x=3\)?

Considera la función \(g(x)=\begin{cases}-x+1 & \text{si } x\lt 1\\ 2 & \text{si } 1\le x\le 3\\ x-1 & \text{si } x\gt 3\end{cases}\)

1. Completa una tabla de valores con \(x=-2,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4,\,6\).
2. Describe la gráfica: tipo de cada trozo y puntos llenos y vacíos en los extremos.
3. Indica el dominio y el recorrido.
4. Resuelve \(g(x)=2\).

Se considera \(h(x)=\begin{cases}2x+k & \text{si } x\lt 1\\ x^2+3 & \text{si } x\ge1\end{cases}\)

1. Calcula el límite lateral de \(h\) cuando \(x\to1^-\) en función de \(k\).
2. Calcula el límite por la derecha y \(h(1)\).
3. Halla el valor de \(k\) para que \(h\) sea continua en \(x=1\).
4. Con ese \(k\), calcula \(h(0)\) y \(h(2)\).

Sea \(f(x)=|x-2|\).

1. Escribe \(f\) como función definida a trozos.
2. Calcula \(f(-1)\), \(f(2)\) y \(f(5)\).
3. Describe la gráfica y su vértice.
4. Resuelve \(|x-2|=3\).

Resuelve las siguientes expresiones con valor absoluto.

1. \(|2x-1|=5\)
2. \(|x+3|\lt 4\)
3. \(|x-1|\ge2\)
4. \(|3x+2|=-4\)

En una escuela de música de Valencia se paga una cuota mensual que depende del número de horas \(x\) de clase: \(c(x)=\begin{cases}20x & \text{si } 0\le x\le 4\\ 15x+30 & \text{si } x\gt 4\end{cases}\) (en euros).

1. Calcula la cuota para 3 horas, para 4 horas y para 6 horas.
2. Calcula los límites laterales en \(x=4\).
3. ¿Es continua la función en \(x=4\)? Interprétalo.
4. Halla el valor del último término (en lugar de 30) para que la función sea continua.

En un municipio de Madrid, el recibo del agua tiene una cuota fija de 6 € al mes más un precio por tramos de consumo: los primeros 10 m³ cuestan 0,80 €/m³; de 10 a 25 m³ cada metro cúbico de ese tramo cuesta 1,20 €; y por encima de 25 m³, cada metro cúbico cuesta 2,00 €. Cada precio se aplica solo a los metros cúbicos de su tramo.

1. Escribe la función \(P(x)\) que da el importe mensual según los m³ consumidos \(x\).
2. Calcula el recibo de una familia que consume 8 m³ y de otra que consume 18 m³.
3. Calcula el recibo con 30 m³.
4. ¿Es continua la función? ¿Por qué?

Un sistema fiscal sencillo (inspirado en el IRPF) aplica estos tipos a la base imponible \(x\) de un contribuyente: el 19 % a los primeros 12 450 €; el 24 % a la parte entre 12 450 € y 20 200 €; el 30 % a la parte entre 20 200 € y 35 200 €; y el 37 % a lo que exceda de 35 200 €. Cada tipo afecta solo al tramo correspondiente.

1. Calcula el impuesto de una persona con una base de 10 000 €.
2. Calcula el impuesto con una base de 18 000 €.
3. Calcula el impuesto con una base de 30 000 €.
4. Calcula el tipo medio (impuesto entre base) en cada caso y comenta.

Un aparcamiento del centro de León cobra así: los primeros 15 minutos son gratis; después, 1,20 € por hora o fracción hasta 2 horas; y a partir de 2 horas, 1,80 € por hora o fracción adicional sobre los 2,40 € ya pagados por las dos primeras horas.

1. Calcula el precio por 10 minutos, por 40 minutos y por 2 horas.
2. Calcula el precio por 2 horas y 10 minutos y por 3 horas y media.
3. Describe la forma de la gráfica y explica qué es una función escalón.
4. ¿Es continua? Indica los puntos de discontinuidad hasta las 3 horas.

En una ciudad andaluza, la tarifa de un taxi es: bajada de bandera de 3,20 €, más 1,10 € por kilómetro durante los primeros 10 km y 1,50 € por cada kilómetro a partir del kilómetro 10.

1. Escribe la función del precio \(T(x)\) en función de los kilómetros \(x\).
2. Calcula el precio de un trayecto de 6 km y de otro de 18 km.
3. ¿Es continua en \(x=10\)?
4. Si un cliente paga 31,40 €, ¿cuántos kilómetros ha recorrido?

Una compañía telefónica ofrece una tarifa con 20 GB incluidos por 12 € al mes. Cada GB adicional por encima de 20 cuesta 0,50 €.

1. Escribe la función que da la factura según los GB consumidos.
2. Calcula la factura con 15 GB y con 32 GB.
3. ¿Cuántos GB ha consumido un cliente que paga 20 €?
4. Otra compañía cobra 18 € por 40 GB. ¿A partir de cuántos GB conviene la segunda?

Sea \(f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{si } x\le1\\ 3-x & \text{si } 1\lt x\le4\\ -1 & \text{si } x\gt 4\end{cases}\)

1. Calcula \(f(-2)\), \(f(1)\), \(f(3)\), \(f(4)\) y \(f(7)\).
2. Estudia la continuidad en \(x=1\) y en \(x=4\).
3. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
4. Halla el recorrido.

Sea \(f(x)=\begin{cases}2x+3 & \text{si } x\lt 2\\ x^2-1 & \text{si } x\ge2\end{cases}\)

1. Resuelve \(f(x)=5\).
2. Resuelve \(f(x)=8\).
3. Resuelve \(f(x)=0\).
4. ¿Cuántas soluciones tiene \(f(x)=7\)?

Una tienda de merchandising de un club de fútbol de Sevilla vende camisetas con descuento por cantidad: las 10 primeras cuestan 12 € cada una; de la 11 a la 30, 9 € cada una; y a partir de la 31, 7 € cada una.

1. Escribe la función del coste total \(C(n)\) según el número de camisetas \(n\).
2. Calcula el coste de 8, 25 y 40 camisetas.
3. Calcula el precio medio por camiseta en cada caso.
4. ¿Cuántas camisetas se pueden comprar con 400 €?

Dos empresas de alquiler de bicicletas de San Sebastián tienen estas tarifas, donde \(t\) son las horas de uso. Empresa A: los primeros 30 minutos son gratis; después 1,50 € por hora (proporcional) hasta las 3 horas; a partir de las 3 horas, 3 € por hora. Empresa B: 2,50 € fijos hasta 1 hora y luego 2 € por hora.

1. Escribe la función de coste de la empresa A, \(A(t)\), y la de la empresa B, \(B(t)\).
2. Calcula el coste de cada empresa para 1 hora, 2 horas y 4 horas.
3. Estudia la continuidad de \(A\) en \(t=3\).
4. ¿En qué intervalo de tiempo es más barata la empresa A que la B?
5. Un grupo quiere alquilar 5 bicis durante 4 horas. ¿Qué empresa les conviene y cuánto se ahorran en total?

Un comercial de una empresa de Valladolid cobra un fijo de 1 000 € al mes más comisiones sobre las ventas del mes (\(v\), en euros). Cobra el 5 % de las ventas hasta 10 000 € y, por encima de esa cifra, el 8 % de la parte que exceda de 10 000 €. La empresa quiere ver cómo evoluciona el sueldo según las ventas.

1. Escribe la función \(S(v)\) del sueldo.
2. Calcula el sueldo con ventas de 6 000 € y de 15 000 €.
3. Comprueba que \(S\) es continua en \(v=10\,000\).
4. ¿Qué ventas hacen falta para cobrar 2 000 € al mes?
5. Calcula la pendiente de cada trozo e interprétala.

El perfil de un tramo de una atracción de un parque de Madrid se modela con la función \(h(x)=\begin{cases}-0{,}5x+a & \text{si } 0\le x\le 4\\ 0{,}25x^2-2x+b & \text{si } 4\lt x\le 12\end{cases}\), donde \(x\) es la distancia horizontal en decenas de metros y \(h\) la altura en decenas de metros. La altura al empezar es de 8 (es decir, 80 m).

1. Halla \(a\) imponiendo \(h(0)=8\) y calcula \(h(4)\).
2. Halla \(b\) para que la función sea continua en \(x=4\).
3. Calcula la altura en \(x=8\) y en \(x=12\).
4. Calcula la altura mínima del segundo trozo (vértice) y la distancia a la que se alcanza.
5. ¿En qué puntos del trayecto \(h\) es igual a 4?

Una piscina de un polideportivo de Gijón de 120 m³ se llena en tres fases: durante las 2 primeras horas entran 20 m³ cada hora; en las 3 horas siguientes se reduce el caudal a 10 m³/h; y después entran 5 m³/h hasta llenarse. Sea \(V(t)\) el volumen (en m³) a las \(t\) horas.

1. Escribe \(V(t)\) por tramos.
2. Calcula el volumen a las 1 h, 4 h y 6 h.
3. ¿Es continua la función? Justifícalo.
4. ¿Cuánto tarda en llenarse la piscina?
5. Calcula el caudal medio de todo el proceso.

Una pequeña conservera de Cantabria tiene un beneficio mensual (en euros) \(B(q)=-q^2+60q-500\) cuando vende \(q\) cientos de latas. Una ayuda pública le concede 150 € adicionales solo si vende más de 40 cientos de latas, de modo que \(B(q)=-q^2+60q-500\) si \(q\le40\) y \(B(q)=-q^2+60q-350\) si \(q\gt 40\).

1. Calcula el beneficio con 20 y con 50 cientos de latas.
2. Estudia la continuidad en \(q=40\).
3. Halla el máximo de la parte sin ayuda (\(q\le40\)) comprobando que el vértice está dentro del tramo.
4. Halla el máximo de la parte con ayuda y compáralo.
5. ¿Le conviene a la empresa superar los 40 cientos de latas? Razona la respuesta.

Considera la función \(f(x)=|x-1|+|x+2|\).

1. Escribe \(f\) como función definida a trozos.
2. Calcula \(f(-3)\), \(f(0)\) y \(f(4)\).
3. Resuelve \(f(x)=5\).
4. Halla el mínimo de \(f\) y dónde se alcanza.