Funciones definidas a trozos – matemáticas 1º Bachillerato CCSS: soluciones de los ejercicios para descargar en PDF

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1. Solución del ejercicio 1

   1. \(x=-3\lt 0\): \(f(-3)=-3+2=-1\). \(x=0\) cumple \(0\le x\lt 3\): \(f(0)=0^2=0\). \(x=2\): \(f(2)=4\). \(x=3\ge3\): \(f(3)=9\). \(x=5\): \(f(5)=9\).
   2. Por la izquierda (\(x\lt 0\)): \(x+2\to2\). Por la derecha (\(x\ge0\)): \(x^2\to0\). Los límites laterales son 2 y 0.
   3. Por la izquierda (\(x\lt 3\)): \(x^2\to9\). Por la derecha: \(9\). Ambos valen 9 y \(f(3)=9\).
   4. En \(x=0\) no es continua: los límites laterales (2 y 0) son distintos, hay un salto de 2 unidades. En \(x=3\) sí es continua: límite por la izquierda \(=\) límite por la derecha \(=f(3)=9\).

2. Solución del ejercicio 2

   1. \(g(-2)=3\); \(g(0)=1\); \(g(1)=2\); \(g(2)=2\); \(g(3)=2\); \(g(4)=3\); \(g(6)=5\).
   2. Primer trozo: recta de pendiente \(-1\) que llega hasta \((1,0)\) con punto vacío (porque \(x\lt 1\)). Segundo trozo: segmento horizontal a altura 2 con puntos llenos en \((1,2)\) y \((3,2)\). Tercer trozo: recta de pendiente 1 que parte de \((3,2)\) con punto vacío; coincide con el punto lleno del segundo trozo, de modo que la gráfica no se interrumpe.
   3. Dominio: todos los reales, \(\mathbb{R}\). Recorrido: el primer trozo toma valores mayores que 0 (para \(x\lt 1\), \(-x+1\gt 0\)); el segundo, 2; el tercero, valores mayores que 2. Recorrido \(=(0,+\infty)\).
   4. En el primer trozo: \(-x+1=2\) implica \(x=-1\lt 1\), válida. En el segundo: \(g(x)=2\) para todo \(x\in[1,3]\). En el tercero: \(x-1=2\) implica \(x=3\), que no cumple \(x\gt 3\). Solución: \(x=-1\) y todo el intervalo \([1,3]\).

3. Solución del ejercicio 3

   1. Por la izquierda se usa \(2x+k\): \(\lim_{x\to1^-}h(x)=2\cdot1+k=2+k\).
   2. Por la derecha se usa \(x^2+3\): \(\lim_{x\to1^+}h(x)=1+3=4\) y \(h(1)=4\).
   3. Continuidad: \(2+k=4\), luego \(k=2\).
   4. \(h(0)=2\cdot0+2=2\) y \(h(2)=4+3=7\).

4. Solución del ejercicio 4

   1. Si \(x-2\ge0\), es decir \(x\ge2\), \(|x-2|=x-2\). Si \(x\lt 2\), \(|x-2|=-(x-2)=2-x\). Entonces \(f(x)=\begin{cases}2-x & \text{si } x\lt 2\\ x-2 & \text{si } x\ge2\end{cases}\).
   2. \(f(-1)=|-3|=3\); \(f(2)=0\); \(f(5)=3\).
   3. Tiene forma de «V» con vértice en \((2,0)\), que es el mínimo. Las dos ramas tienen pendientes \(-1\) y \(1\).
   4. \(x-2=3\) implica \(x=5\), o \(x-2=-3\) implica \(x=-1\). Las dos soluciones son \(x=5\) y \(x=-1\) (se comprueba en \(f\): \(f(5)=f(-1)=3\)).

5. Solución del ejercicio 5

   1. Dos casos: \(2x-1=5\) implica \(x=3\); \(2x-1=-5\) implica \(x=-2\). Soluciones \(x=3\) y \(x=-2\).
   2. \(|x+3|\lt 4\) equivale a \(-4\lt x+3\lt 4\), es decir, \(-7\lt x\lt 1\). Solución: el intervalo \((-7,1)\).
   3. \(|x-1|\ge2\) equivale a \(x-1\ge2\) o \(x-1\le-2\), es decir, \(x\ge3\) o \(x\le-1\). Solución: \((-\infty,-1]\cup[3,+\infty)\).
   4. Un valor absoluto nunca es negativo, así que no tiene solución.

6. Solución del ejercicio 6

   1. \(c(3)=60\) €; \(c(4)=80\) €; \(c(6)=15\cdot6+30=120\) €.
   2. Por la izquierda: \(20\cdot4=80\). Por la derecha: \(15\cdot4+30=90\).
   3. No es continua en \(x=4\): los límites laterales (80 y 90) son distintos. Hay un salto de 10 € en la cuota al pasar de 4 horas a un poco más de 4 horas.
   4. Para continuidad se necesita \(15\cdot4+b=80\), es decir, \(60+b=80\) y \(b=20\). Con \(b=20\), no hay salto.

7. Solución del ejercicio 7

   1. Tramo 1 (\(0\le x\le10\)): \(P=6+0{,}8x\). Tramo 2 (\(10\lt x\le25\)): \(P=6+8+1{,}2(x-10)=1{,}2x+2\). Tramo 3 (\(x\gt 25\)): \(P=6+8+18+2(x-25)=2x-18\). Se cumple que 8 € es lo que cuestan los primeros 10 m³ y 18 € lo que cuestan los 15 m³ siguientes.
   2. \(P(8)=6+6{,}4=12{,}40\) €. \(P(18)=1{,}2\cdot18+2=23{,}60\) €.
   3. \(P(30)=2\cdot30-18=42\) €. Comprobación por tramos: \(6+8+18+2\cdot5=42\) €.
   4. Sí. En \(x=10\): \(6+0{,}8\cdot10=14\) y \(1{,}2\cdot10+2=14\). En \(x=25\): \(1{,}2\cdot25+2=32\) y \(2\cdot25-18=32\). Coinciden porque cada precio solo se aplica a los m³ de su tramo, y no a todo el consumo.

8. Solución del ejercicio 8

   1. Solo el primer tramo: \(10000\cdot0{,}19=1900\) €.
   2. \(12450\cdot0{,}19+(18000-12450)\cdot0{,}24=2365{,}50+1332=3697{,}50\) €.
   3. \(2365{,}50+(20200-12450)\cdot0{,}24+(30000-20200)\cdot0{,}30=2365{,}50+1860+2940=7165{,}50\) €.
   4. Tipos medios: \(\dfrac{1900}{10000}=19\,\%\); \(\dfrac{3697{,}50}{18000}=20{,}54\,\%\); \(\dfrac{7165{,}50}{30000}=23{,}89\,\%\). El tipo medio crece con la base, pero siempre es menor que el tipo del último tramo: el sistema es progresivo.

9. Solución del ejercicio 9

   1. 10 minutos: \(0\) € (dentro del cuarto de hora gratuito). 40 minutos: se paga 1 hora o fracción: \(1{,}20\) €. 2 horas: \(2{,}40\) €.
   2. 2 h 10 min: 2 horas ya pagadas más una hora o fracción: \(2{,}40+1{,}80=4{,}20\) €. 3 h 30 min: \(2{,}40+1{,}80\cdot2=6{,}00\) €.
   3. La gráfica son tramos horizontales (escalones) con saltos hacia arriba al empezar cada nueva hora o fracción. Una función escalón es constante en tramos y salta de uno a otro.
   4. No es continua: tiene saltos en \(t=0{,}25\) h (de 0 a 1,20 €), \(t=1\) h, \(t=2\) h y \(t=3\) h. En cada uno, el precio aumenta de golpe.

10. Solución del ejercicio 10

    1. \(T(x)=3{,}20+1{,}10x\) si \(0\le x\le10\); para \(x\gt 10\): \(T(x)=3{,}20+11+1{,}50(x-10)=1{,}5x-0{,}8\).
    2. \(T(6)=3{,}20+6{,}60=9{,}80\) €. \(T(18)=1{,}5\cdot18-0{,}8=26{,}20\) €.
    3. Sí: por la izquierda \(3{,}20+11=14{,}20\) y por la derecha \(1{,}5\cdot10-0{,}8=14{,}20\).
    4. Como \(T(10)=14{,}20\lt 31{,}40\), se está en el segundo tramo: \(1{,}5x-0{,}8=31{,}40\), \(x=\dfrac{32{,}2}{1{,}5}=21{,}47\) km. Salen unos 21,5 km.

11. Solución del ejercicio 11

    1. \(F(x)=12\) si \(0\le x\le20\); \(F(x)=12+0{,}5(x-20)=0{,}5x+2\) si \(x\gt 20\).
    2. \(F(15)=12\) €. \(F(32)=0{,}5\cdot32+2=18\) €.
    3. \(0{,}5x+2=20\) implica \(x=36\) GB.
    4. La primera costaría 18 € con 32 GB, lo mismo que la segunda. A partir de \(0{,}5x+2\gt 18\), es decir \(x\gt 32\) GB, la primera es más cara y conviene la segunda (hasta 40 GB).

12. Solución del ejercicio 12

    1. \(f(-2)=4\); \(f(1)=1\); \(f(3)=0\); \(f(4)=-1\); \(f(7)=-1\).
    2. En \(x=1\): por la izquierda \(1^2=1\); por la derecha \(3-1=2\). No es continua (salto de 1). En \(x=4\): por la izquierda \(3-4=-1\); por la derecha \(-1\), y \(f(4)=-1\). Es continua.
    3. En \((-\infty,0)\) decrece (\(x^2\) baja hacia 0); en \((0,1)\) crece; en \((1,4)\) decrece (recta de pendiente \(-1\)); en \((4,+\infty)\) es constante.
    4. Primer trozo: valores en \([0,+\infty)\) pero solo con \(x\le1\), es decir, \([0,+\infty)\) (para \(x\le0\) toma todos los valores no negativos). Segundo: \([-1,2)\). Tercero: \(\{-1\}\). Recorrido total: \([-1,+\infty)\).

13. Solución del ejercicio 13

    1. Primer trozo: \(2x+3=5\) implica \(x=1\lt 2\), válida. Segundo: \(x^2-1=5\) implica \(x^2=6\), \(x=\pm\sqrt6\); solo \(x=\sqrt6\approx2{,}45\ge2\) es válida. Soluciones: \(x=1\) y \(x=\sqrt6\).
    2. Primer trozo: \(2x+3=8\) implica \(x=2{,}5\), no válida (\(x\lt 2\)). Segundo: \(x^2=9\), \(x=3\) (válida) o \(x=-3\) (no). Solución: \(x=3\).
    3. Primer trozo: \(2x+3=0\) implica \(x=-1{,}5\), válida. Segundo: \(x^2=1\), \(x=1\) no cumple \(x\ge2\); \(x=-1\) tampoco. Solución: \(x=-1{,}5\).
    4. Primer trozo: \(2x+3=7\) implica \(x=2\), que no cumple \(x\lt 2\). Segundo: \(x^2=8\), \(x=2\sqrt2\approx2{,}83\ge2\), válida. Una solución.

14. Solución del ejercicio 14

    1. Tramo 1 (\(1\le n\le10\)): \(C=12n\). Tramo 2 (\(10\lt n\le30\)): \(C=120+9(n-10)=9n+30\). Tramo 3 (\(n\gt 30\)): \(C=120+180+7(n-30)=7n+90\).
    2. \(C(8)=96\) €. \(C(25)=9\cdot25+30=255\) €. \(C(40)=7\cdot40+90=370\) €.
    3. Precio medio \(=C(n)/n\): \(\dfrac{96}{8}=12\) €; \(\dfrac{255}{25}=10{,}20\) €; \(\dfrac{370}{40}=9{,}25\) €. Baja con la cantidad.
    4. \(C(40)=370\lt 400\). En el tercer tramo: \(7n+90=400\) implica \(n=\dfrac{310}{7}=44{,}29\). Se pueden comprar 44 camisetas (coste \(7\cdot44+90=398\) €).

15. Solución del ejercicio 15

    1. \(A(t)=0\) si \(0\le t\le0{,}5\); \(A(t)=1{,}5(t-0{,}5)\) si \(0{,}5\lt t\le3\); \(A(t)=3{,}75+3(t-3)\) si \(t\gt 3\). \(B(t)=2{,}5\) si \(0\le t\le1\); \(B(t)=2{,}5+2(t-1)\) si \(t\gt 1\).
    2. 1 h: \(A=0{,}75\) €, \(B=2{,}50\) €. 2 h: \(A=2{,}25\) €, \(B=4{,}50\) €. 4 h: \(A=3{,}75+3=6{,}75\) €, \(B=2{,}5+6=8{,}50\) €.
    3. Por la izquierda: \(1{,}5\cdot2{,}5=3{,}75\). Por la derecha: \(3{,}75\). Y \(A(3)=3{,}75\). Es continua en \(t=3\).
    4. Hasta 3 horas A es mucho más barata (por ejemplo, 2,25 frente a 4,50 en 2 horas). Para \(t\gt 3\): \(3{,}75+3(t-3)\lt 2{,}5+2(t-1)\) implica \(3t-5{,}25\lt 2t+0{,}5\), es decir, \(t\lt 5{,}75\). A es más barata mientras \(t\lt 5{,}75\) horas.
    5. Con 4 horas: A cuesta 6,75 € y B 8,50 €. Por 5 bicis: A \(33{,}75\) € y B \(42{,}50\) €. Se ahorran \(8{,}75\) € con A.

16. Solución del ejercicio 16

    1. \(S(v)=1000+0{,}05v\) si \(0\le v\le10\,000\); \(S(v)=1000+500+0{,}08(v-10\,000)=0{,}08v+700\) si \(v\gt 10\,000\).
    2. \(S(6000)=1000+300=1300\) €. \(S(15000)=0{,}08\cdot15000+700=1900\) €.
    3. Por la izquierda: \(1000+0{,}05\cdot10000=1500\). Por la derecha: \(0{,}08\cdot10000+700=1500\). Coinciden: es continua.
    4. Con 15 000 € se llega a 1 900 €, así que hace falta más: \(0{,}08v+700=2000\) implica \(v=16\,250\) €.
    5. La pendiente 0,05 del primer trozo indica que cada euro vendido aporta 5 céntimos; la pendiente 0,08 del segundo, que cada euro por encima de 10 000 aporta 8 céntimos.

17. Solución del ejercicio 17

    1. \(h(0)=a=8\), luego \(a=8\). \(h(4)=-0{,}5\cdot4+8=6\).
    2. Por la derecha: \(0{,}25\cdot16-8+b=-4+b\). Igualamos a 6: \(b=10\).
    3. \(h(8)=0{,}25\cdot64-16+10=10\). \(h(12)=0{,}25\cdot144-24+10=22\).
    4. Vértice en \(x=\dfrac{2}{2\cdot0{,}25}=4\). Pero \(x=4\) está en el borde del tramo (pertenece al primero). En el segundo trozo, \(h\) es creciente para \(x\gt 4\) (derivada \(0{,}5x-2\gt 0\)). No hay mínimo interior: el mínimo del segundo trozo se alcanza en el extremo, con altura 6.
    5. Primer trozo: \(-0{,}5x+8=4\) implica \(x=8\), que no está en \([0,4]\). Segundo trozo: \(0{,}25x^2-2x+10=4\) implica \(x^2-8x+24=0\), discriminante \(64-96\lt 0\): sin solución. Nunca llega a 4.

18. Solución del ejercicio 18

    1. \(V(t)=20t\) si \(0\le t\le2\); \(V(t)=40+10(t-2)=10t+20\) si \(2\lt t\le5\); \(V(t)=70+5(t-5)=5t+45\) si \(t\gt 5\).
    2. \(V(1)=20\) m³. \(V(4)=60\) m³. \(V(6)=75\) m³.
    3. Sí. En \(t=2\): \(40\) y \(10\cdot2+20=40\). En \(t=5\): \(70\) y \(5\cdot5+45=70\). El volumen no puede dar saltos.
    4. \(5t+45=120\) implica \(t=15\) horas. Se llena en 15 h (comprobación: 5 h para llegar a 70 m³, y 50 m³ más con 5 m³/h son 10 h).
    5. Caudal medio \(=\dfrac{120}{15}=8\) m³/h.

19. Solución del ejercicio 19

    1. \(B(20)=-400+1200-500=300\) €. \(B(50)=-2500+3000-350=150\) €.
    2. Por la izquierda: \(-1600+2400-500=300\). Por la derecha: \(-1600+2400-350=450\). No es continua: salto de 150 € en \(q=40\).
    3. Vértice \(q=30\le40\): \(B(30)=-900+1800-500=400\) €.
    4. La parábola del segundo trozo tiene vértice en \(q=30\), que no cumple \(q\gt 40\); allí es decreciente, así que su máximo está cerca de \(q=40\): \(B(40^+)\approx450\) €.
    5. Sí: con 40,01 cientos de latas se cobra la ayuda y el beneficio es de unos 450 €, mayor que el máximo normal (400 € a las 30). Conviene vender justo por encima de 40, porque el salto de la ayuda compensa la caída de la parábola.

20. Solución del ejercicio 20

    1. Los puntos críticos son \(x=-2\) y \(x=1\). Si \(x\lt -2\): \(f=(1-x)+(-x-2)=-2x-1\). Si \(-2\le x\lt 1\): \(f=(1-x)+(x+2)=3\). Si \(x\ge1\): \(f=(x-1)+(x+2)=2x+1\).
    2. \(f(-3)=-2(-3)-1=5\); \(f(0)=3\); \(f(4)=2\cdot4+1=9\).
    3. En \(x\lt -2\): \(-2x-1=5\) implica \(x=-3\), válida. En \([-2,1)\): \(f=3\ne5\). En \(x\ge1\): \(2x+1=5\) implica \(x=2\), válida. Soluciones: \(x=-3\) y \(x=2\).
    4. El mínimo vale 3 y se alcanza en todo el intervalo \([-2,1]\) (es la distancia entre \(-2\) y \(1\)).